2023学年完整公开课版平面向量

第一讲平面向量的概念及运算回归课本1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示(2)减法①法则：三角形法则．②几何意义：如下图所示4．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μ

a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.5．两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.6．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．7.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标．a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．考点1平面向量的基本概念例1：判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若a＝b，则|a|＝|b|；(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；(4)若a∥b，b∥c，则a∥c；(5)若|a|＝0，则a＝0；(6)若λ＝0，则λa＝0；(8)若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点构成的图形是一个单位圆．解题思路：本题主要考查零向量、单位向量、相等向量、平行向量等向量的基本概念．判断的主要依据是这些概念的定义．解析：(1)不正确，因为a与b的方向不一定相同．(2)正确，因为相等的两个向量的长度一定相等．(3)正确．∵a＝b，∴a与b的长度相等且方向相同；∵b＝c，∴b与c的长度相等且方向相同；∴a与c的长度相等且方向相同，∴a＝c.(4)不正确，因为当b＝0

时，a与c不一定平行．(5)正确，因为长度为零的向量就是零向量．(6)不正确，因为当λ＝0

时，λa＝0.(7)不正确，因为A、B、C、D可能四点共线．(8)正确，因为单位向量的长度都等于1，若它们的起点相同，则它们的终点在同一个单位圆上．若要判定命题不正确，则只需举出一个反例．若要判定命题是正确的，则需要证明．1．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB(t∈R)．【互动探究】

(1)当t为何值时，点P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．→→→考点2向量共线或平行问题例2：已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求满足a＝xb＋yc的实数x、y的值；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．

解题思路：向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，

一个整体，向量的许多运算都可以用这个