单调性与最大（小）值(修改)

第3课时

函数的最大值、最小值观察某市一天24小时内的气温变化图,说出气温随时间变化的特点24681012141618202224o2468θ/0cT/h-21．最大值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有___________；(2)存在x0∈I，使得___________.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．2．最小值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有__________；(2)存在x0∈I，使得__________.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M一、函数的最大(小)值的理解1．定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素．如f(x)＝-x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对(2)中“存在”一词的理解．2．对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立．“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．要点阐释3．这两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有(2)．1．函数最大值或最小值的几何意义是什么？答：函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．自主探究题型一利用图象求函数最值【例1】如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．典例剖析点评：利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用．题型二:利用函数的单调性求函数的最值点评：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f(x)>a恒成立，等价于f(x)min>a，f(x)<a恒成立，等价于f(x)max<a.题型三最值的应用例3一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,问这个矩形的长宽各为多少m时，菜园面积最大，最大面积是多少？题型四二次函数在给定区间上的最值【例4】求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值.解：函数f(x)图象的对称轴方程为x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.综上可知f(x)的最小值为点评：探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系；①定义域区间在对称轴右侧；②定义域区间在对称轴左侧；③定义域区间在对称轴的两侧．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．解：f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a的对称轴方程是x＝1.(1)当a>0时，f(x)在[2,3]上是增函数．误区解密因忽略函数的定义域而出错【例4】求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域．错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0，所以y＝(x－1)2－1≥－1.从而知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)．错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．1．求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．2．运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法．3．探求二次函