河南省商丘市永城第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析

河南省商丘市永城第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos（﹣α）得答案．【解答】解：如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1，∴∠BOC=，∠AOB=，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（）=sin∠AOB=，cos∠AOB=∴sinα=sin（）=sincos∠AOB﹣cossin∠AOB=，cosα=cos（）=coscos∠AOB+sinsin∠AOB=．∴cos（﹣α）==．故选：B．2.向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x等于

()A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D3.执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入（

）

（A）（B）（C）（D）参考答案：C第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，此时，所以条件应为，选C.4.某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为（

）A．60万吨

B．61万吨

C．63万吨

D．64万吨

参考答案：C略5.集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则A∩（?RB）等于（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵B={x|x＜﹣1}，∴?RB={x|x≥﹣1}，又A={x|﹣2≤x≤3}，∴A∩（?RB）={x|﹣1≤x≤3}．故选：D．6.（定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0（其中m＞2）有n个不同的实数根x1，x2，…xn，则f（xi）的值为（） A． B． C． D． 参考答案：B7.函数的定义域为（

）A．B．

C．

D．参考答案：C略8.曲线在点处的切线为．若直线与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为

A.

B.

C.2

D.参考答案：【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值.

B11

E6A

解析：∵，∴即，可得A(,0)，B(0,)，∴△OAB的周长，当且仅当时等号成立.故选A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线的方程，从而求得A、B的坐标，进而用表示△OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.

9.函数在区间上有反函数，则的取值范围是（）A、

B、

C、

D、参考答案：D10.设集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是函数图象上的任意一点，该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①;

②；

③；

④.则在区间上具有“性质”的函数为_____________.参考答案：①③④略12.二项式的展开式中常数项是

．（用数字作答）参考答案：7考点：二项式定理与性质通项公式为：

当时，为常数项

故答案为：713.一个几何体的正视图是长为3、宽为1的矩形，侧视图是腰长为2的等腰三角形，则该几何的表面积为______参考答案：14.的二项展展开式中，x的系数是___________.参考答案：-8015.设是等差数列的前项和，且，则=

.参考答案：无略16.已知点，抛物线的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，,与抛物线C的准线相交于点N，若，则实数a的值为______．参考答案：【分析】过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义得，由，得，利用斜率得a的方程求解即可【详解】依题意得焦点坐标为，过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义知，因为，所以，又，，所以，解得.故答案为【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题17.数列满足，且，是数列的前n项和。则=__________参考答案：6略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数上为增函数，且，，．（1）求的值；（2）当时，求函数的单调区间和极值；

（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

参考答案：解答：（1）由已知在上恒成立，

即，∵，∴，

故在上恒成立，只需，

即，∴只有，由知；

……4分

（2）∵，∴，，

∴，

令，则，

∴，和的变化情况如下表：

+0极大值

即函数的单调递增区间是，递减区间为，

有极大值；

……9分

（3）令，

当时，由有，且，

∴此时不存在使得成立；

当时，，

∵，∴，又，∴在上恒成立，

故在上单调递增，∴，

令，则，

故所求的取值范围为．

……14分略19.（本题满分14分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．①证明：当（）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数，证明：也成立．参考答案：（1）设，是上的任意两个数，则．函数在上是“凸函数”．（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得若，可以取任意值．若，得，，．综上所述得．（3）①当时由已知得成立．假设当时，不等式成立即成立．那么，由，得．即时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．②比如证明不等式成立．由①知，，，，有成立．，，，，，从而得．20.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。参考答案：解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。由方程组，消去y，得，即(k?1)x2+x?1=0。由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k?1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4)。同理可求得直线l2的方程为…(5)。(4)?(5)得，因为x1≠x2，故有…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。21.（满分12分）如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；（Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值．参考答案：解：(1)证明：连交于点，连.则是的中点，∵是的中点，∴∵平面，平面，∴∥平面.…6分

(2)法一：设,∵,∴,且，作，连∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.…………12分解法二：如图，建立空间直角坐标系.则，，，∴，，，设平面的法向量是，则由，