弹性力学 第四章

弹性力学第四章第1页，课件共41页，创作于2023年2月复习……典型轴对称问题解法：（1）圆环或圆筒受均布压力边界条件：位移单值条件B=0第2页，课件共41页，创作于2023年2月（2）压力隧洞r≤r≤RR≤r≤∞六个条件位移单值条件光滑接触边界条件第3页，课件共41页，创作于2023年2月工程结构中常开设孔口，最简单的为圆孔。

本节研究‘小孔口问题’，应符合:（1）孔口尺寸＜＜弹性体尺寸，故孔口引起的应力扰动局限于小范围内。（2）孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸）→孔口与边界不相互干扰。§4－8圆孔的孔口应力集中第4页，课件共41页，创作于2023年2月当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。第5页，课件共41页，创作于2023年2月1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。将外边界改造成为圆边界，作圆

则圆边界上点的应力与无孔时相同，即A的直角坐标应力：由直角坐标到极坐标的转换公式，得A点的极坐标应力第6页，课件共41页，创作于2023年2月yxjrq令q1=0,

q2=-q，且取r/R=0有问题简化为：第7页，课件共41页，创作于2023年2月2.左右受q拉，上下受q压对三角形单元体有由公式(4-7)，有A点(圆周)的应力(边界条件)

应力分量推测第8页，课件共41页，创作于2023年2月将函数带入相容方程可得：即：做Euler变换：第9页，课件共41页，创作于2023年2月写出特征方程一实根r对应解的一项：一对相等的实根r对应解的两项：一对共轭复根对应解的两项：第10页，课件共41页，创作于2023年2月得应力分量：代入得应力函数代入(4-5)第11页，课件共41页，创作于2023年2月求得系数边界条件：第12页，课件共41页，创作于2023年2月将A、B、C、D带入式，得:(4－18)3.左右受q1拉，上下受q2拉第13页，课件共41页，创作于2023年2月第14页，课件共41页，创作于2023年2月特例：单向受拉板（长柱体）令q1=q,

q2=0——基尔斯（G.Kirsch）解第15页，课件共41页，创作于2023年2月讨论：（1）孔边应力，

最大应力3q

，最小应力-q。第16页，课件共41页，创作于2023年2月（2)y轴上应力，可见，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动<5%。第17页，课件共41页，创作于2023年2月（3）x轴上应力，同样，距孔边1.5D处，由于孔口引起的应力扰动<5%。第18页，课件共41页，创作于2023年2月4.小孔口应力集中的特点：（1）集中性—孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近应力>>无孔时的应力。（2）局部性—应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般<5%。第19页，课件共41页，创作于2023年2月（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。因此，工程上应尽量避免接近直角的凹角出现。

如正方孔的角点，角点曲率半径第20页，课件共41页，创作于2023年2月5.一般小孔口问题的分析：45°相应于孔中心的应力45°孔附近应力附近应力主应力第21页，课件共41页，创作于2023年2月任意形状薄板（或长柱）受面力

作用，在距边界较远处有一小孔，只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力

（1）假设无孔，求出结构在孔心处的、、。（2）求出孔心处主应力（3）在远处的均匀应力场作用下，求出孔口附近的应力。注：以上近似方法虽然并非严格的力学推导，但实验证实是可行的。第22页，课件共41页，创作于2023年2月例：在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量sx=sy=0,txy=q,如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。解：该点的两个主应力为：则该问题可转化为：第23页，课件共41页，创作于2023年2月由4-18式:孔边只有环向正应力第24页，课件共41页，创作于2023年2月在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量sx=sy=txy=q,如果该处有一个小圆孔，试求孔边的最大正应力。

解：该点的两个主应力为：则该问题可转化为：第25页，课件共41页，创作于2023年2月由基尔斯（G.Kirsch）解答得：孔边只有环向正应力第26页，课件共41页，创作于2023年2月§4-9半平面体在边界上受集中力1.应力函数和应力采用半逆解法如图所示，无限大半平面体，在其边界上受集中力F（实际为沿厚度方向的分布力，单位是N/m，量纲为MT-2）。求其应力和位移。用量纲分析法，由于F的量纲为MT-2，应力的量纲为L-1MT-2，r为长度量纲,b、j无量纲，因此应力可能取为F/r乘以j

的某一函数的形式。Fxyo第27页，课件共41页，创作于2023年2月代入相容方程：解得：

第28页，课件共41页，创作于2023年2月由于不影响应力，可以略去。所以取：对应的应力为：第29页，课件共41页，创作于2023年2月应力边界条件为：xbFy显然满足。第30页，课件共41页，创作于2023年2月xbFy由圣维南原理，在原点附近应有：应力的合力等于F。为此如图绕P点作任意小半径r的半圆，则：第31页，课件共41页，创作于2023年2月由此解得：应力分量得解答为：第32页，课件共41页，创作于2023年2月利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得

（4-23）或将其改为直角坐标表示，有

（4-24）第33页，课件共41页，创作于2023年2月代入物理方程：当F垂直作用时：2.竖直力作用下的位移FxyO第34页，课件共41页，创作于2023年2月再代入几何方程：(a)(b)(c)第35页，课件共41页，创作于2023年2月积分式（a）得，(d)将式（d）代入式（b），有积分上式，得(e)第36页，课件共41页，创作于2023年2月将式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)第37页，课件共41页，创作于2023年2月要使上式成立，须有：以上方程求解参见§4-5第38页，课件共41页，创作于2023年2月可解得：第39页，课件共41页，创作于2023年2月由于问题的对称性，所以有：可得：即H=K=0所以位移解答为：其中的I无法再由边界条件确定，它实际上代表的是物