弹性力学数学基础

弹性力学数学基础2023/8/141第1页，课件共43页，创作于2023年2月第二章数学基础第一节标量和矢量第二节笛卡尔张量第三节二阶笛卡尔张量第四节高斯积分定理2023/8/142第2页，课件共43页，创作于2023年2月第一节标量和矢量一、标量和矢量的定义（definition）标量（scalar）Ascalarisaquantitycharacterizedbymagnitudeonly,forexample:mass.矢量（vector）Avectorisaquantitycharacterizedbybothmagnitudeanddirection,suchasdisplacement,velocity.2023/8/143第3页，课件共43页，创作于2023年2月二、矢量的表示大小和方向确定分量

AiscompletelydefinedbyitsmagnitudeAandbyitsthreedirectionanglesθ1,θ2andθ3矢量A在三个坐标轴上的投影（分量）Ax1x2x3

1

2

3o2023/8/144第4页，课件共43页，创作于2023年2月分量（投影）确定矢量已知分量，矢量的大小和方向可由几何关系得到Ax1x2x3

1

2

3o

ThethreecomponentsA1,A2,A3maybewrittensimplyasAi

withtherangeconvention,thatanysubscriptistotakeonthevalues1,2,and3unlessotherwisestated.

2023/8/145第5页，课件共43页，创作于2023年2月三、坐标变换（CoordinateTransformation）

考虑坐标原点重合的直角坐标系x

1,x

2,x

3和x1,x2,x3如图所示。用aij表示新旧坐标轴x

i和xj之间的夹角的余弦x2x1x3x

1x

2x

3TheCosineofTheAnglesBetweenx'iandxj

Axesx1x2x3x'1a11a12a13x'2a21a22a23x'3a31a32a33矢量在某轴上的投影=分量在同一轴投影的代数和2023/8/146第6页，课件共43页，创作于2023年2月

Usingtheaboverangeconvention,theseequationsmaybewrittenmorecompactlyas所以应有关系x2x1x3x

1x

2x

3A矢量A向新坐标轴x'1投影（类似于合力投影定理）2023/8/147第7页，课件共43页，创作于2023年2月记坐标变换矩阵则有2023/8/148第8页，课件共43页，创作于2023年2月

Wemayachieveafurthersimplificationbyadoptingthesummationconventionrequiringthattwice-repeatedsubscriptsinanexpressionalwaysimplysummationovertherange1-3.Inthiscase,wehaveItisimportanttonoticethattherepeatedsubscriptjinthisequationisaso-calleddummyindex,whichcanequallywellbereplacedwithanothersubscript,sayk.同理，可得到由新坐标的分量表示旧坐标系的分量2023/8/149第9页，课件共43页，创作于2023年2月四、正交关系（OrthogonalityRelations）

Weintroducetheso-calledKroneckerdeltasymbolδijdefinedas

AnysetofvectorcomponentsAimaybewrittenas根据求和约定2023/8/1410第10页，课件共43页，创作于2023年2月Inasimilarway,wemayalsoobtainTheseequationsarereferredtoasorthogonalityrelations.ItthusfollowsthatAboveequationmaybeexpressedintheform2023/8/1411第11页，课件共43页，创作于2023年2月五、矢量运算（VectorOperations）矢量相加TheresultofadditionorsubtractionoftwovectorsAandBisdefinedtobeathirdvectorC矢量与标量相乘

ThemultiplicationofascalarmandavectorAisdefinedtobeasecondvectorC2023/8/1412第12页，课件共43页，创作于2023年2月两个矢量的标量积（ScalarProductoftwovectors）ThescalarproductoftwovectorsAandBisexpressibleasAB

2023/8/1413第13页，课件共43页，创作于2023年2月两个矢量的矢量积（VectorProductofTwoVectors）

ThevectorproductoftwovectorsAandBistobeathirdvectorCperpendiculartoAandB

whereedenotesunitvectoralongthevectorC,andi1,

i2,

i3areunitvectorsalongx1,x2andx3.ABC

2023/8/1414第14页，课件共43页，创作于2023年2月Ifthesymboleijk

isdefinedasfollows:

eijk=+1

fori=1,j=2,k=3oranyevennumberofpermutationsofthisarrangement(e.g.,e312)

eijk=-1

foroddpermutationsofi=1,j=2,k=3(e.g.,e132)

eijk=0

fortwoormoreindicesequal(e.g.,e113)

thecomponentsofvectorCcanbewrittenas利用符号eijk可以方便地表示3阶行列式的值2023/8/1415第15页，课件共43页，创作于2023年2月标量三重积（ScalarTripleProduct）Thescalartripleproductorboxproduct[ABC]isascalarproductoftwovectors,inwhichanyvectorisavectorproductofothertwovectors,i.e.2023/8/1416第16页，课件共43页，创作于2023年2月第二节笛卡尔张量一、笛卡尔张量的定义一阶笛卡尔张量ACartesiantensoroforderoneisdefinedasaquantityhavingthreecomponentsTiwhosetransformationbetweenprimedandunprimedcoordinateaxesisgovernedbyandAfirst-ordertensorisnothingmorethanavector.和2023/8/1417第17页，课件共43页，创作于2023年2月二阶笛卡尔张量Similarly,aCartesiantensorofordertwoisdefinedasaquantityhavingninecomponentsTijwhosetransformationbetweenprimedandunprimedcoordinateaxesisgovernedbytheequationsandoror2023/8/1418第18页，课件共43页，创作于2023年2月高阶笛卡尔张量Third-andhigher-orderCartesiantensorsaredefinedanalogously.零阶笛卡尔张量ACartesiantensorofzerothorderisdefinedtobeanyquantitythatisunchangedundercoordinatetransformation,thatis,ascalar.2023/8/1419第19页，课件共43页，创作于2023年2月IfAij

andBij

denotecomponentsoftwosecond-ordertensors,theadditionorsubtractionofthesetensorsisdefinedtobeathirdtensorofsecondorderhavingcomponentsCij

givenby二、笛卡尔张量的运算（OperationofCartesianTensors）AdditionofCartesianTensorsTheadditionorsubtractionoftwoCartesiantensorsofthesameordertobeathirdCartesiantensorofthesameorder.2023/8/1420第20页，课件共43页，创作于2023年2月MultiplicationofCartesianTensorsThemultiplicationofCartesiantensorscanbeclassifiedintotwocategories,outerproductsandinnerproducts.Theouterproductsoftwotensorsisdefinedtobeathirdtensorhavingcomponentsgivenbytheproductofthecomponentsofthetwo,withnorepeatedsummationindices.AninnerproductoftwoCartesiantensorsisdefinedasanouterproductfollowedbyacontractionofthetwo;thatis,byanequatingofanyindexassociatedwithonetensortoanyindexassociatedwiththeother.2023/8/1421第21页，课件共43页，创作于2023年2月二阶张量的商规则（QuotientRuleforSecond-OrderTensors）

Supposeweknowthefollowingequationtoapply

whereAi

denotescomponentsofanarbitraryvector,Bj

componentsofavector.Then,thequotientrulestatesthecomponentsTij

areindeedthecomponentsofasecond-orderCartesiantensor.书上有证明下一章要利用这个法则2023/8/1422第22页，课件共43页，创作于2023年2月一、对称张量和反对称张量的定义定义（Definition）第三节二阶笛卡尔张量

IfTij

=Tji

,thenthetensorissaidtobesymmetric.Ontheotherhand,ifTij

=-Tji

,thenthetensorissaidtobeantisymmetric.二阶张量的九个分量可以用33矩阵表示：2023/8/1423第23页，课件共43页，创作于2023年2月例题2.1试证明任意二阶张量可以表示为对称张量和反对称张量之和证：设Tij是任意二阶张量的分量，则有其中二阶对称张量二阶反对称张量2023/8/1424第24页，课件共43页，创作于2023年2月证：例题2.2设Aij是二阶对称张量的分量，Bij是二阶反对称张量的分量，试证明关系AijBij=0。因为所以所有指标都是哑指标2023/8/1425第25页，课件共43页，创作于2023年2月反对称张量的分量（Anti-symmetricTensorComponents）Aspecialcharacteristicofananti-symmetirctensoristhatitsoperationonavectorisequivalenttoanappropriatelydefinedvector-productoperation.IfAidenotescomponentsofavectorandifTij

denotescomponentsofasecond-orderanti-symmetrictensor,thenwhereWjdenotesvectorcomponentsdefinedas2023/8/1426第26页，课件共43页，创作于2023年2月二、对称张量的特征值和特征矢量（EigenvaluesandEigenvectorsofSymmetricTensors）

Considertheequation

whereTij

denotescomponentsofasymmetrictensor,nidenotescomponentsofaunitvector,and

denotesascalar.Anynonzerovectornsatisfyingthisequationisknownasunit

eigenvectorofthetensorand

isknownaseigenvalue

.2023/8/1427第27页，课件共43页，创作于2023年2月ExpandtheequationandrearrangingtogetTheconditionforanontrivialsolutionofthesehomogeneousalgebraicequationsisthat2023/8/1428第28页，课件共43页，创作于2023年2月Equationyieldsthecubicequation

arecalledfirst,second,andthirdinvariantofthetensorT,respectively.where2023/8/1429第29页，课件共43页，创作于2023年2月WhenthecomponentsTijarethoseofasymmetrictensor,itcaneasilybeshownthatcubicequationwillhavethreerealroots.Wedenotetheserootsby

(1),

(2),and

(3).Takingfirst

=

(1)intheequation,anytwoofthesethreeequationsandn(1)in(1)i=1canbesolvedforn(1)1,n(1)2andn(1)3,wheren(1)1,n(1)2,n(1)3denotethedirectioncosinesoftheeigenvectorassociatedwiththeeigen-value

(1).

Inasimilarway,wemayalsofindtwoadditionaluniteigenvectorsassociatedwiththeeigen-values

(2)and

(3).2023/8/1430第30页，课件共43页，创作于2023年2月Theabovethreeuniteigenvectorsaremutuallyperpendicularwhen

(1),

(2),and

(3)arealldistinct.Considertwouniteigenvectorsn(1)

andn(2)

.Thesesatisfyequation

Multiplyingthefirstoftheseequationsbyn(2)iandthesecondbyn(1)iandsubtracting,wehave2023/8/1431第31页，课件共43页，创作于2023年2月ThatisOninterchangingthedummyindicesiandjinthefirsttermontheleft-handsideofthisequation2023/8/1432第32页，课件共43页，创作于2023年2月UsingTij=Tji,wefindthat

Hence,if

(1)

(2),thenn(1)i

n(2)i=0sothatn(1)

andn(2)arethereforeperpendicular.Asimilarargumentshowsalsothatn(1)

andn(3)andthatn(2)

andn(3)arealsoperpendicularprovided

(1)

(3)and

(2)

(3),respectively.2023/8/1433第33页，课件共43页，创作于2023年2月三、对称张量的主轴和主值（PrincipalAxesandPrincipalValuesofaSymmetricTensor）ChooseanewsetofCartesianaxesx

ihavingunitvectorsalongtheseaxescoincidentwiththeuniteigenvecotrs.Forthissystemofaxes,wehavex1x2x3x

1x

2x

3n(1)=i

1n(2)=i

2n(3)=i

32023/8/1434第34页，课件共43页，创作于2023年2月i≠j：i=j：非对角线元素为零非零元素在对角线上，就是特征值2023/8/1435第35页，课件共43页，创作于2023年2月Inthissystemofso-calledprincipalaxesdefinedbytheuniteigenvectorsn(1)

,n(2),n(3)

,thetensorcomponentsarethereforeexpressibleas

ThediagonalcomponentsareknownasprincipalvaluesofsymmetrictensorT2023/8/1436第36页，课件共43页，创作于2023年2月Considerthecasewhereonlytwoeigenvalues,say

(1)and

(2),areequal.Wehave

providedonlythattheunitvectorsi

1,

i

2,i

3bechosensuchthati

3liesalongn(3)

andi

1and

i

2lieinanytwomutuallyperpendiculardirections.

2023/8/1437第37页，课件共43页，创作于2023年2月Considerfinallythecasewherealleigen-valuesareequal,say,to

(1).Wehave