浙江省杭州市星桥中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

浙江省杭州市星桥中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角α的终边上有一点P（1，3），则的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣4参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得tanα=3，再根据诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用化简后代入即可求值．【解答】解：∵点P（1，3）在α终边上，∴tanα=3，∴====﹣．故选：A．2.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（

）A. B.C. D.参考答案：A3.已知平面向量，满足||=1，||=3，3+与+垂直，则，夹角为（）A． B． C．π D．π参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直，得到关于数量积的等式，进一步利用数量积公式求夹角．【解答】解：因为平面向量，满足||=1，||=3，3+与+垂直，所以（3+）?（+）=0，所以3++=0，所以3++cos＜＞=0，解得cos＜＞=，∴，夹角为；故选：C．【点评】本题考查了垂直向量的数量积为0，以及利用向量的数量积求向量的夹角；属于基础题．4.已知命题p：，则A．命题：，为假命题

B．命题：，为真命题C．命题：，为假命题

D．命题：，为真命题参考答案：D【分析】命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【详解】命题，则命题：，为真命题故选：D

5.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴.若，则该椭圆的离心率是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033

（B）1053

（C）1073

（D）1093参考答案：D设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.

8.已知M为椭圆上的一点，椭圆的两个焦点为、，且椭圆的长轴长为10，焦距为6，点为的内心，延长线段交线段于，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于(

) A．（2，4） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣2，﹣4）参考答案：C考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平行四边形对边平行相等，结合向量的运算法则，求解即可．解答： 解：∵，∴==（﹣3，﹣5）．故选：C．点评：本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．10.已知3sin2α=cosα，则sinα可以是（）A．﹣ B． C． D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式化简3sin2α=cosα，消去cosα求出sinα的值．【解答】解：3sin2α=cosα，∴6sinαcosα=cosα，若cosα≠0，则6sinα=1，解得sinα=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右图中程序框图输出的结果是

。

参考答案：答案：

12.若，其中、，使虚数单位，则_________。参考答案：13.在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝________．参考答案：4114.设，其中满足，则的最小值为__

____参考答案：15.设面积为的平面四边形的第条边的边长记为，是该四边形内任意一点，点到第条边的距离记为，若，则．类比上述结论，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，是该三棱锥内的任意一点，点到第个面的距离记为，相应的正确命题是

；参考答案：“若，则”。其正确性可证明如下：根据三棱锥的体积公式得：，即，∴，即。16.点是曲线上任意一点，则到直线的距离最小值是

。参考答案：17.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

，体积为

．参考答案：，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C：+=1交于A、B两点，且OA⊥OB．（Ⅰ）求直线l在y轴上的截距（用k表示）；（Ⅱ）求△AOB面积取最大值时直线l的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，联立，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出直线l在y轴上的截距．（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出△AOB面积取最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），∵斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C：+=1交于A、B两点，且OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*）联立，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，则，x1x2=，且△＞0，代入（*）从而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0，∴，∴t=±，∴直线l在y轴上的截距为或﹣．（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d，而由（1）知d=，且|AB|====，∴≤，当时，，解得k=，∴t=，∴所求直线方程为y=或y=．19.（本题满分12分）已知函数.（1）若函数在处取得极值，且函数只有一个零点，求的取值范围.（2）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.参考答案：解（1），由，所以，可知：当时，，单增；当时，，单减；当时，，单增；而.所以函数只有一个零点或，解得的取值范围是.（2）.由条件知方程在上有两个不等的实根，且在至少有一个根.所以；由使得：.综上可知：的取值范围是.20.如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（1）设是的中点，证明：平面；（2）证明：在内存在一点，使平面，

并求点到，的距离．参考答案：证明：（1）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

则，由题意得，因，得到,因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（2）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

略21.（本题满分13分）如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设．（Ⅰ）证明：PQ∥A1B1；（Ⅱ）是否存在，使得平面截面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面上底面=PQ，截面下底面ABC=AB，由两个平面平行的性质定理可得……………………6分（Ⅱ）假设存在这样的满足题设，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接DE，由（Ⅰ）及正三棱柱的性质可知为等腰三角形，APQB为等腰梯形，为二面角A－PQ－C的平面角，………8分连接并延长交于F，由（Ⅰ）得，………9分在中求得，在中求得若平面截面，则，，将以上数据代入整理，得，解得…………………13分22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0．且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设数列{an}的首项a1，利用等差数列{an}的