高中各种函数图像及其性质(精编版)

高中各种函数图像及其性质(精编版)高中各种函数图像及其性质一次函数函数定义域的确定方法：1.当关系式为整式时，函数定义域为全体实数；2.当关系式含有分式时，分式的分母不等于零；3.当关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；4.当关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；5.在实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx又叫做正比例函数。正比例函数及性质：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。1.解析式：y=kx（k是常数，k≠0）2.必过点：（0，0）、（1，k）3.走向：当k>0时，直线y=kx经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。4.增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x增大而减小。5.倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴。一次函数及性质：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx又叫做正比例函数。1.解析式：y=kx+b（k、b是常数，k≠0）2.必过点：（0，b）和（-b/k，0）3.走向：当k>0时，图象经过第一、三象限；当k<0时，图象经过第二、四象限。4.增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x增大而减小。5.平移：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b/k，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）1.当$b>0$时，一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、三象限；当$b<0$时，图象经过第一、三、四象限；对于$b=0$的情况，图象经过原点。2.直线$y=kx+b$的斜率$k$的正负决定了图象的走向。当$k>0$时，图象从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大；当$k<0$时，图象从左到右下降，$y$随$x$的增大而减小。3.图象的倾斜度由斜率$k$的绝对值决定。$|k|$越大，图象越接近于$y$轴；$|k|$越小，图象越接近于$x$轴。4.图像的平移由常数$b$决定。当$b>0$时，将直线$y=kx$的图象向上平移$b$个单位；当$b<0$时，将直线$y=kx$的图象向下平移$|b|$个单位。5.一次函数$y=kx+b$的图象可以看作是由直线$y=kx$平移$b$个单位长度而得到。6.正比例函数$y=kx$是一种特殊的一次函数，其中$k$为比例系数。正比例函数的图象是一条直线，经过点$(0,0)$和$(1,k)$。⑵a决定了二次函数的开口方向和开口程度，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；⑶二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax2+bx+c；⑷二次函数的对称轴为x=-b/2a，关于对称轴对称的两个点的函数值相等；⑸当二次函数的判别式b2-4ac>0时，二次函数有两个实根，图象与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，二次函数有一个实根，图象与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，二次函数没有实根，图象与x轴没有交点；3.二次函数的图象：⑴当a>0时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴上方，随着x的增大，y的值增大；⑵当a<0时，二次函数的图象开口向下，顶点在y轴下方，随着x的增大，y的值减小；⑶当二次函数的判别式b2-4ac>0时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，二次函数的图象与x轴没有交点；4.二次函数的应用：⑴二次函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用，如自由落体运动、抛物线轨迹、成本函数、收益函数等；⑵二次函数的图象可以帮助我们更直观地理解和分析问题，如确定最值、求解方程和不等式等；⑶二次函数的性质和特点，可以帮助我们更深入地理解和掌握函数的概念和方法。常数项k的作用是将抛物线整体上移或下移k个单位。a的符号开口方向顶点坐标对称轴向上性质ah，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．a向下h，kX=h二次函数的顶点坐标对称轴和开口方向都是重要的性质。当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h。在对称轴两侧，x的增大会使y增大或减小，而x=h时，y有极值k。平移二次函数的图象可以通过保持抛物线形状不变，将顶点移动到(h,k')处来实现。具体的平移方法是，向上或向下平移|k-k'|个单位，向左或向右平移|h-h'|个单位。平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。另一种平移方法是，将一般式的二次函数y=ax^2+bx+c沿y轴或x轴平移m个单位。向上或向下平移m个单位，y=ax^2+bx+c变成y=ax^2+bx+c±m；向左或向右平移m个单位，y=ax^2+bx+c变成y=a(x±m)^2+b(x±m)+c。二次函数y=ax^2+bx+c与y=a(x-h)^2+k是两种不同的表达形式，其中后者是通过配方法得到前者的。解析式上的转换可以得到顶点坐标(h,k)和开口方向的性质。绘制二次函数的图象可以使用五点绘图法。首先将一般式的二次函数转化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标。然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。选取的五个点包括顶点、与y轴的交点、与x轴的交点（如果没有，则取两组关于对称轴对称的点）以及关于对称轴对称的点。Whensketchingaparabola,thefollowingpointsshouldbenoted:thedirectionofopening,theaxisofsymmetry,thevertex,theintersectionwiththex-axis,andtheintersectionwiththey-axis.Thepropertiesofaquadraticfunctiony=ax^2+bx+careasfollows:1.Whena>0,theparabolaopensupwards,theaxisofsymmetryisx=-b/2a,andthecoordinatesofthevertexare(-b/2a,c-b^2/4a).Whenx<-b/2a,ydecreasesasxincreases;whenx>-b/2a,yincreasesasxincreases;whenx=-b/2a,yhasaminimumvalue.2.Whena<0,theparabolaopensdownwards,theaxisofsymmetryisx=-b/2a,andthecoordinatesofthevertexare(-b/2a,c-b^2/4a).Whenx<-b/2a,yincreasesasxincreases;whenx>-b/2a,ydecreasesasxincreases;whenx=-b/2a,yhasamaximumvalue.Thequadraticfunctioncanbeexpressedinthreeforms:generalformy=ax^2+bx+c(a,b,careconstantsanda≠0),vertexformy=a(x-h)^2+k(a,h,kareconstantsanda≠0),androotformy=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1andx2arethex-coordinatesofthetwointersectionsoftheparabolaandx-axis).Notethatnotallquadraticfunctionscanbeexpressedinrootform,onlythosewithintersectionswiththex-axis,i.e.whenb^2-4ac≥0.Thesethreeformscanbeconvertedtoeachother.Therelationshipbetweenthegraphofaquadraticfunctionanditscoefficientsareasfollows:1.Quadraticcoefficienta:adeterminesthesizeanddirectionoftheopeningoftheparabola.Whena>0,theparabolaopensupwards,andthelargerthevalueofa,thesmallertheopening;whena<0,theparabolaopensdownwards,andthesmallerthevalueofa,thesmallertheopening.2.Linearcoefficientb:bdeterminestheaxisofsymmetryoftheparabola.Whena>0,ifb>0,theaxisofsymmetryistotheleftofthey-axis;ifb=0,theaxisofsymmetryisthey-axis;ifb<0,theaxisofsymmetryistotherightofthey-axis.Whena<0,theconclusionsaretheopposite.Thesignofabcanbedeterminedbytheaxisofsymmetryx=-b/2a.Iftheaxisofsymmetryistotheleftofthey-axis,thenab<0,andviceversa.Insummary,"leftsame,rightdifferent."在y轴左侧则ab>0，在y轴右侧则ab<0，表示二次函数的开口方向。常数项c也影响二次函数的图像。当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。因此，c决定了抛物线与y轴交点的位置。只要a、b、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。二次函数图像的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。关于x轴对称时，二次函数的解析式为y=-ax^2-bx-c或y=-a(x-h)^2-k；关于y轴对称时，二次函数的解析式为y=ax^2-bx+c或y=a(x+h)^2+k；关于原点对称时，二次函数的解析式为y=-ax^2+bx-c或y=-a(x+h)^2-k；关于顶点对称时，二次函数的解析式为y=-a(x-h)^2+k或y=-a(x-h)^2-k+b^2/2a；关于点(m,n)对称时，二次函数的解析式为y=-a(x+h-2m)+2n-k。y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像上，位于x轴下方的点的横坐标的集合；而一元二次方程ax^2+bx+c=0的解就是二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标。对于二次函数的解题方法，可以通过求图象与x轴的交点坐标、求最值、判断图象位置、利用对称性等方法来解决。其中，判断图象位置可以通过数形结合，或根据二次函数中a、b、c的符号来判断。而利用对称性可以求出与已知一点对称的点坐标，或者由已知与x轴的一个交点坐标来求出另一个交点坐标。最后，二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系也可以从函数的角度来看待，它们的解集与二次函数的图像上的点的横坐标有关。指数函数是一种形如y=a^x（a＞，且a≠1）的函数，其中x是自变量，函数的定义域是实数集R。需要注意的是，指数函数对外形要求严格，前系数必须为1，否则不能称之为指数函数。指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像和性质有以下规律：当两个指数函数中的底数a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。当底数a＞1时，图像上升的越快，底数越大，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当底数＜a＜1时，图像下降的越快，底数越小，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。四字口诀：“大增小减”，即当底数a＞1时，图像在实数集R上是增函数；当底数＜a＜1时，图像在实数集R上是减函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较幂式大小的方法有以下几种：当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；当底数中含有字母时要注意分类讨论；当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；对多个数进行比较，可用或1作为中间量进行比较。底数的平移也是指数函数的一种常见变化。当在指数上加上一个数时，图像会向左平移；减去一个数，则图像会向右平移。当在f(x)后加上一个数时，图像会向上平移；减去一个数，则图像会向下平移。对数函数是指数函数的反函数，记为y=log_ax（a＞，a≠1）。由于指数函数y=a在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，即对数函数y=log_ax。对数函数的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞)。对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x。为了研究对数函数y=log_ax(a＞，a≠1)的性质，我们可以在同一直角坐标系中作出函数y=log_2x，y=log_10x，y=log_1/10x，y=log_21/10x的草图。由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log_ax(a＞，a≠1)的图像的特征和性质。例如，当底数a＞1时，对数函数y=log_ax在定义域(0，+∞)上是增函数，当底数＜a＜1时，对数函数y=log_ax在定义域(0，+∞)上是减函数。幂函数的