等体积法求线面角测试题(含答案)

等体积法求线面角测试题(含答案)等体积法求线面角1.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，底面是边长为a的正三角形，体积为V，若P为底面A1B1C1的中心，则直线PA与平面ABC所成角的大小为多少度？答案：60°解题思路：根据题目条件，三棱柱的底面积为a^2*√3/4，高为2V/a^2，底面中心为P，连接PA，得到PA的长度为√(a^2+(2V/a^2)^2)，再根据勾股定理求得PA与底面的距离，即√(3/4*a^2+(V/a^2)^2)，由此得到PA与平面ABC的夹角正弦值为1/2，即60°。2.如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=AB=PAD所成角的正弦值为x，若M为PA的中点，则直线BM与平面ABCD所成角的正弦值为多少？答案：√(1-x^2)解题思路：连接MB，由于PA=AB=PAD，所以∠PAB=∠PBA，∠PAD=∠PDA，即三角形PAB和三角形PDA全等，所以∠APB=∠DPB，又因为M是PA的中点，所以MB⊥PA，即∠BMP=90°，故∠BMA=∠PMA-∠PMB=arcsin(x)-90°，所以BM与平面ABCD所成角的正弦值为sin(arcsin(x)-90°)=√(1-x^2)。3.如图，在三棱锥中，已知平面与侧棱BC垂直，侧棱AB和AC的夹角为α，BC的长度为a，则与平面所成角的正弦值为多少？答案：cos(α)解题思路：连接BA和CA，由于平面与侧棱BC垂直，所以平面与三角形ABC的高重合，故平面与三角形ABC的底面面积相等，即平面与三角形ABC的底面BC所成的角相等，即∠ABC=90°-α，所以平面与三角形ABC的夹角为α，其正弦值为sin(α)，而cos(α)=BC/AB=a/√(a^2+(2a*sin(α))^2)=a/√(a^2+4a^2*sin^2(α))=a/√(a^2*(1+4*sin^2(α)))=1/√(1+4*sin^2(α))，故答案为cos(α)。4.如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA=3，则直线AB与平面SBC所成角的正弦值为多少？答案：3/4解题思路：连接SB和SC，由于底面ABC是等边三角形，所以角BAC=60°，又因为SA⊥底面ABC，所以∠SAB=∠SAC=30°，所以∠BSC=∠SAB+∠SAC+∠BAC=120°，又因为直线AB在平面SBC上，所以直线AB与平面SBC所成角的正弦值等于直线AB到平面SBC的距离与直线AB的长度之比，而直线AB到平面SBC的距离为SA*sin(∠BSC)=3*√3/2，所以答案为(3*√3/2)/2=3/4。5.如图，已知PA=PB=PC，且PA，PB，PC两两垂直，则PA与平面ABC所成角的正弦值为多少？答案：1/√3解题思路：连接PA，PB，PC，由于PA，PB，PC两两垂直，所以它们构成了一个正交坐标系，设PA=PB=PC=k，平面ABC的法向量为n，则PA与平面ABC所成角的正弦值等于PA到平面ABC的距离与PA的长度之比，而PA到平面ABC的距离为n·PA/|n|=n·PA/√(n^2)，因为PA在正交坐标系中的坐标为(k,0,0)，而平面ABC的法向量为(1,1,1)，所以n·PA=k/√3，故PA与平面ABC所成角的正弦值为k/√3=k/k√3=1/√3。6.如图，已知P是正四面体ABCD的棱AC的中点，则直线PD与平面BCD所成角的正弦值为多少？答案：1/√10解题思路：连接PB，PC，PD，由于P是棱AC的中点，所以∠APD=90°，又因为正四面体的底面面积是侧棱长的平方乘以√3/4，所以正四面体的底面面积为a^2*√3/4，其中a为侧棱长，又因为P是棱AC的中点，所以正四面体的高为a/2，所以正四面体的体积为a^3*√2/12，故PD的长度为3