高中数学人教A版（2019）必修第二册《6 4 平面向量的应用》提升训练（含解析）

人教A版（2019）必修第二册《6.4平面向量的应用》提升训练一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）在ΔABC中，，则ΔABC的形状一定是(    A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且asinAA.3 B.33 C.63 3.（5分）在ΔABC中，a=3，A=30°，B=15°，则c等于A.1      B.2 C.32 4.（5分）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，a=4，则此三角形面积的最大值为A.4 B.42 C.43 5.（5分）在ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若asinA+bsinB−cA.π6 B.π4 C.π36.（5分）如图，在等腰RtΔABC中，斜边AB=2，D为直角边BC上的一点，将ΔACD沿直线AD折叠至ΔAC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD 

A.(1,2) B.(22,1) 7.（5分）设ΔABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a+c=2b，3sinBA.π3 B.2π3 C.3π48.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、B、C成等差数列，且2asinA+2csinC=A.33 B.43 C.23二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是()A.若A>B，则sinA>sinB

B.若acosB−bcosA=c，则△ABC为直角三角形

C.若acosA=b10.（5分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件可以得出ΔABCA.a=b=4，c=3 B.a=3，b=5，sinA+sinC=2sinB

C.ΔABC中的最小角为11.（5分）在ΔABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中，三角形有解的是A.a=6，b=63，C=105° B.a=5，b=6，c=8

C.a=23，b=5，A=60° D.A=45°，B=60°12.（5分）在ΔABC中，下列等式成立的是A.c=a2+b2−2abcosC 13.（5分）对于ΔABC，有如下命题，其中正确的有(A.若sin2A=sin2B，则ΔABC是等腰三角形

B.若ΔABC是锐角三角形，则不等式sinA>;cosB恒成立

C.若sin2A+sin2三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）如图，已知O为ΔABC的重心，且∠BOC=90°，若9|BC15.（5分）如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A，B测得山顶的仰角分别为α，β，且该两点间的距离是l米，则此山的竖直高度ℎ为________米(用含α，β，l的式子表达)．16.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=19，且17.（5分）在锐角ΔABC中，D为BC的中点，AB=3，AC=7，且18.（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A+B)=13，a=3，c=4四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为ΔABC的面积，且4S=3(a2+b2−c2) 

(1)20.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，且(2c−b)cosA−acosB=0． 

(1)求角A的大小； 

(2)若b=321.（12分）如图所示，锐角ΔABC中AC=52，点D在线段BC上，且CD=32，ΔACD的面积为62，延长BA至E，使得EC⊥BC． 

(Ⅰ)求AD的值； 

(22.（12分）在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为S，已知2a(1)求证：2(a+c)=3b；

(2)若cosB=23.（12分）在ΔABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c， 

(1)若a=2且(2+b)⋅(sinA−sinB)=(c−b)sinC，求ΔABC面积S的最大值 

(2)ΔABC

答案和解析1.【答案】C;【解析】该题考查向量模的性质；向量的运算法则；向量垂直的充要条件．利用向量的模的平方是向量的平方，再用向量的运算法则得到AC→.2BA解：由(BC得AC→.(BC→+BA−AC→)=0， 

即AC→.(BC2.【答案】B;【解析】解：因为asinA=b33， 

所以由正弦定理可得sinAsinA=sinB333.【答案】C;【解析】解：因为在ΔABC中，a=3，A=30°，B=15°，所以C=135°， 

由正弦定理asinA=csinC，∴c=asinCsinA=3×4.【答案】C;【解析】解：由题意，p=6， 

S=6(6−a)(6−b)(6−c) 

=6(6−4)(6−b)(6−c) 

=12(6−b)(6−c) 

=23⋅36−6(b+c)+bc 

=23⋅bc−12⩽23⋅(b+c2)25.【答案】A;【解析】 

此题主要考查正余弦定理，属于基础题.由正弦定理得a2+b2−c2=3ab，再由余弦定理即可得解. 

解：asinA+bsinB−csinC=3asinB， 6.【答案】B;【解析】 

此题主要考查立体几何中的折叠问题及余弦定理的应用，属于中档题，要分清折叠前后量的变化情况，设CD=t，t∈(0,1)，用t表示x是关键. 

解：因为三角形ABC为等腰直角三角形，斜边AB=2，所以AC=BC=1， 

设CD=t，C1H=1−x2， 

有题意知，C1H⊥面ABC，C1H⊥HD，C1D=t， 

C1D2=C1H7.【答案】B;【解析】解：∵3sinB=5sinA， 

∴由正弦定理，可得3b=5a， 

∴a=35b， 

∵a+c=2b， 

∴c=7b5， 

∴cosC=a2+b2−c22ab8.【答案】B;【解析】解：∵角A、B、C成等差数列， 

∴2B=A+C， 

又∵A+B+C=π， 

∴B=π3，sinB=32， 

∵2asinA+2csinC=34ac+3b=12acsinB+2bsinB， 

∴由正弦定理可得2sin2A+2sin2C=12csinAsinB+2sin2B，可得a2+c9.【答案】ABD;【解析】解：在△ABC中，正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R， 

对于A，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，A正确； 

对于B，由射影定理得acosB+bcosA=c，又acosB−bcosA=c，即bcosA=0， 

而b≠0，则cosA=0,A=π2,△ABC为直角三角形，B正确； 

对于C，由正弦定理可得2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B， 

而2A+2B∈(0,2π)，则有2A=2B或2A+2B=π， 

10.【答案】AD;【解析】解：对于A：a=b=4，c=3，利用余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc>0，同理cosB>0，cosC>0，故ΔABC为锐角三角形，故A正确； 

对于B：a=3，b=5，sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理：a+c=2b，解得c=7，由于cosC=a2+b2−c22ab<0，故C为钝角，故ΔABC为钝角三角形，故B错误； 

对于C：ΔABC的最小角为11.【答案】ABD;【解析】解：对于A，a=6，b=63，C=105°， 

利用余弦定理求出c2=a2+b2−2abcosC=36+108−2×6×63×(−6−24)=144+542−186>0， 

所以ΔABC有唯一解； 

对于B，a=5，b=6，c=8，满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 

所以ΔABC有唯一解； 

对于C，a=23，b=5，A=60°， 

利用正弦定理asinA=bsinB求出sinB=5×3223=54>1，B不存在， 

所以ΔABC无解； 

对于D，A=45°，B=60°，c=2，所以C=75°， 

利用正弦定理asinA=bsin12.【答案】AC;【解析】 

此题主要考查正弦定理和余弦定理公式及其变形，熟练掌握公式是解答该题的关键，是容易题. 

根据正弦定理和余弦定理逐一判断. 

解：A.是余弦定理的变化形式，正确； 

B.不符合正弦定理，不正确； 

C.是正弦定理的变形，正确； 

D.分母多一个b，不正确. 

故选AC.13.【答案】BD;【解析】此题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，同时考查了在三角形中正弦相等角的关系，属于中档题. 

对于A，在三角形中，正弦值相等，则角相等或互补；对于B，根据诱导公式即可判断证明； 

对于C，利用正余弦定理即可得解；对于D，利用向量数量积得到B为钝角，即可判定，解：对于A：∵sin2A=sin2B， 

∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2， 

即▵ABC是等腰三角形或直角三角形．故A不对； 

对于B：若▵ABC是锐角三角形，A+B>;π2， 

得π2>;A>;π2−B>;0， 

所以sinA>;sinπ2−B=cosB， 

则不等式sinA>;cosB恒成立，故B正确； 

对于C：，若sin2 A+sin2 B<;1−cos2C=sin2C 

∴a2+14.【答案】179【解析】解：如图所示： 

连接AO并延长与BC相交于点D，设AD=m，∠ADB=α， 

利用余弦定理：AB2=m2+BC24−2.BC2.mcosα①， 

同理：AC2=m2+BC24−2.BC2.mcos(π−α)②15.【答案】ℎ=sinαsinβ【解析】解：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=β−α， 

由正弦定理得，BCsinα=ABsin∠ACB， 

∴BC=lsinαsin(β−α)； 

在ΔBCD中，16.【答案】52【解析】 

利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2−2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值． 

该题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 

解：∵acosB+bcosA=2， 

∴a×a2+c2−b22ac+b×c2+b2−a22bc=2， 

∴c=2， 17.【答案】7;【解析】解：因为BCsinBcosC+ABsinBcosA=32AC，即asinBcosC+csinBcosA=32b， 

由正弦定理得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=32sinB， 

因为sinB>0， 

所以sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=32， 

所以sinB=318.【答案】14【解析】 

此题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 

由已知，利用三角形内角和定理，诱导公式可求sinC，进而利用正弦定理即可计算得解． 

解：∵sin(A+B)=13，A+B+C=π 

∴sinC=sin(A+B)=119.【答案】解：（1）∵S=12absinC，∴4S=2absinC=3（a2+b2-c2）， 

即sinC=a2+b2−c22ab•3=3cosC， 

∴tanC=3， 

则C=π3； 

（2）f（x）=4sinx（32cosx-12sinx）+1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6）， 

当2x+π6=2kπ+π2（k∈Z），即x=kπ+π6【解析】 

(1)利用三角形的面积公式表示出S，代入已知等式后利用余弦定理化简，求出tanC的值，即可确定出C的度数； 

(2)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出f(x)取得最大值时A与b的值，再利用锐角三角函数定义求出a与c的值，即可确定出S． 

该题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

20.【答案】解：（1）∵（2c-b）cosA-acosB=0． 

由正弦定理可得，2sinCcosA-sinBcosA-sinAcosB=0． 

即2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC， 

因为sinC≠0， 

故cosA=12， 

因为A为三角形的内角，则A=π3， 

（2）因为b=3，S△ABC=12bcsinA=32c×32=33， 

故c=4， 【解析】 

(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A； 

(2)由已知结合三角形的面积公式可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解． 

这道题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．

21.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，S△ACD=12AC•CD•sin∠ACD 

=12×52×32×sin∠ACD=62， 

所以sin∠ACD=225， 

因为0°＜∠ACD＜90°， 

所以cos∠ACD=1−(225)2=175， 

由余弦定理可得：AD2=CD2+CA2-2CD•CA•cos∠ACD=48-1217， 

可得：AD=48−1217． 

（Ⅱ）因为EC⊥BC， 

所以sin∠ACE=sin（90°-∠ACD）=cos∠ACD=-【解析】 

(Ⅰ)在ΔACD中，由已知利用三角形的面积公式可求sin∠ACD，结合范围0°<∠ACD<90°，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ACD，由余弦定理可得AD的值．