晶体结构的几何理论课件

第8章晶体结构的几何理论第8章晶体结构的几何理论1十四种空间格子*晶胞*空间格子中点的坐标、行列及面网符号*晶体内部结构的对称要素*空间群#等效点系#晶格缺陷主要教学内容十四种空间格子*主要教学内容28.1十四种布拉维空间格子8.1十四种布拉维空间格子3空间格子

是表示晶体结构中质点重复规律的立体几何图形。空间格子要素

结点、行列、面网、单位平行六面体。单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子.空间格子4⑴单位平行六面体的划分⑴单位平行六面体的划分5⑴单位平行六面体的划分划分原则①所选平行六面体的对称性与整个空间格子相同。②在满足①的前提下，棱与棱之间的直角最多。③在满足①②的前提下，体积最小。⑴单位平行六面体的划分划分原则63165423156724二维平面点阵中平行四边形的划分四方(4mm)平面点阵斜方(mm2)平面点阵YX3165423156724二维平面点阵中平行四边形的划分四方7在三维空间做同样分析，可以从空间格子中划分出一个最小的重复单位—单位平行六面体，它由六个两两平行且相等的平面组成。这样划分出来的单位平行六面体，其对称性与相应空间格子相同。无数个平行并置的单位平行六面体就构成整个空间格子在三维空间做同样分析，可以从空间格子中划分出一个最小的重复单8单位平行六面体沿Z轴沿Y轴ZYX沿X轴单位平行六面体沿Z轴沿Y轴ZYX沿X轴9

⑵单位平行六面体参数cabαγβα：c∧bβ：c∧

aγ：a∧

b单位平行六面体的棱长a，b，c和棱的交角α、β、γ称为单位平行六面体参数。⑵单位平行六面体参数cabαγβα：c∧b单位平行六10①等轴晶系a=b=c；α=β=γ=90°。⑶各晶系单位平行六面体的形状cabαγβ立方格子①等轴晶系⑶各晶系单位平行六面体的形状cabαγβ立方格子11②四方晶系cabαγβ⑶各晶系单位平行六面体的形状四方格子a=b≠c；α=β=γ=90°。

②四方晶系cabαγβ⑶各晶系单位平行六面体的形状四方格子a12③斜方晶系a≠b≠cα=β=γ=90°cabαγβ⑶各晶系单位平行六面体的形状斜方格子③斜方晶系cabαγβ⑶各晶系单位平行六面体的形状斜方格子13④单斜晶系a≠b≠cα=γ=90°β≠90°cabαγβ⑶各晶系单位平行六面体的形状单斜格子④单斜晶系cabαγβ⑶各晶系单位平行六面体的形状单斜格子14⑤三斜晶系a≠b≠cα≠β≠γ≠90°γcabαβ三斜格子⑶各晶系单位平行六面体的形状⑤三斜晶系γcabαβ三斜格子⑶各晶系单位平行六面体的形状15⑥六方晶系a=b≠c，α=β=90°；γ=120°⑶各晶系单位平行六面体的形状γcabαβ六方格子⑥六方晶系⑶各晶系单位平行六面体的形状γcabαβ六方格子16⑦三方晶系a=b=c；α=β=γ≠90°、60°、

109°28′16″γcabαβ⑶各晶系单位平行六面体的形状菱面体格子⑦三方晶系γcabαβ⑶各晶系单位平行六面体的形状菱面体格子17α=90°时，可划分成立方原始格子。α=109°28′16″时，可划分成立方体心格子。α=60°时,可划分成立方面心格子。90°109°18′06″60°三方菱面体格子α=90°时，可划分成立方原始格子。90°109°18′0618⑷单位平行六面体中的结点分布原始格子P

C心格子底心格子体心格子I面心格子FA心格子B心格子⑷单位平行六面体中的结点分布原始格子PC心格子底体面心格19综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布，空间格子共有14种。称为14种布拉维空间格子。⑷十四种布拉维空间格子综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布，空间格子共有14种。20原始格子（P）底心格子（C）体心格子（I）面心格子（F）三斜

C=II=FF=P单斜

I=FF=C斜方

原始格子（P）底心格子（C）体心格子（I）面心格子（F）三斜21四方三方六方等轴C=PF=I与本晶系对称不符与本晶系对称不符与本晶系对称不符I=F与空间格子条件不符F=P与空间格子条件不符四三六等C=PF=I与本晶系对称与本晶系对称与本晶系对称I=22单位平行六面体有七种形状和四种结点分布方式，空间格子仅有14种，为什么？有些格子类型与所在晶系的对称不符。有些格子类型与空间格子的条件不符。有些格子类型可以被改划为其它格子。单位平行六面体有七种形状和四种结点分布方式，空间格子仅有1423三斜面心→三斜原始格子三斜面心→三斜原始格子24单斜底心→单斜原始单斜体心→单斜底心单斜底心→单斜原始单斜体心→单斜底心25四方底心→四方原始格子四方底心→四方原始格子26晶体结构中，与单位平行六面体对应的基本单位称为晶胞。8.2晶胞立方面心格子NaCl晶胞结点（相当点）质点质点晶体结构中，与单位平行六面体对应的基本单位称为晶胞。8.227晶体结构的几何理论课件28ab在一个晶胞中，反映了晶体结构中对称要素和质点的种类及分布规律。对一个晶胞进行分析，就可以知道整个晶体结构中对称要素和质点分布规律。ab在一个晶胞中，反映了晶体结构中对称要素和质点的种类及分布29晶胞参数：a、b、c和α、β、γ。晶胞是能反映晶体结构特征(对称性和质点分布)的最小构造单位。无数晶胞在三维空间平行并置，就构成整个晶体结构。晶胞参数：a、b、c和α、β、γ。30NaCl的单位晶胞如图所示：晶胞中NaCl的分子数：Na：8×(1/8)+6×（1/2）=4Cl：12×(1/4)+1=4Z=4

单位晶胞中分子数(Z)计算NaCl的单位晶胞如图所示：单位晶胞中分子数(Z)计算31空间格子中点的坐标、行列及面网符号*晶体内部结构的对称要素*主要教学内容空间格子中点的坐标、行列及面网符号*主要教学内容32①空间格子中坐标系的建立坐标轴单位平行六面体三条棱的方向。坐标原点单位平行六面体的角顶。坐标轴度量单位单位平行六面体的棱长a、b、c。bacXYZ8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号①空间格子中坐标系的建立bacXYZ8.3空间格子中点的33②空间格子中点的坐标x，y，z

用单位平行六面体的棱长a、b、c作为坐标轴度量单位时的坐标系数。0,0,00,0,10,0,1/21/2,1/2,01,0,0,0,1,0,XYZabc②空间格子中点的坐标0,0,00,0,10,0,1/2134XYZ③行列（晶向）符号(Crystaldirections)表示行列方向的符号，[xyz]若行列经过坐标原点，把该行列上距原点最近的结点坐标x，y，z放在“[]”内，[xyz]即为该行列的行列符号。[111]XYZ③行列（晶向）符号(Crystaldirection35[001][100][010][011][110][101][201][001][100][010][011][110][101]36(111)(110)(210)(020)(010)④面网符号(111)(110)(210)(020)(010)④面网符号37晶体结构中对称要素包括两部分宏观对称要素对称轴、对称面、旋转反伸轴、对称中心

微观对称要素平移轴、螺旋轴、滑移面。

区别：微观对称要素包含平移操作。

8.4

晶体内部结构的对称要素晶体结构中对称要素包括两部分8.4晶体内部结构的对称要38⑴平移轴(translationalaxis)概念

为晶体结构中的直线方向，沿此直线平移一定距离以后，每一个质点都与相同质点重合，整个结构亦自相重合。对称操作：平移平移轴移距使相同质点重复的最小平移距离。⑴平移轴(translationalaxis)概念39晶体结构的空间格子中，任何一个行列都是一个平移轴；移距等于行列上的结点间距。ba空间格子中的(001)面网移距=b移距=a移距=(a+b)/2晶体结构的空间格子中，任何一个行列都是一个平移轴；移距等于行40能够反映晶体结构特征的三个代表性平移轴组合称为平移群，共有14种，即14种空间格子。14种空间格子又称为为14种平移群。平移群能够反映晶体结构特征的三个代表性平移轴组合称为平移群，41概念晶体结构中的假想直线，绕此直线旋转一定角度(α)并沿此直线平移一定距离(t)之后，每一个质点皆与相同质点重合，整个结构亦自相重合。对称操作：绕轴旋转+沿轴平移⑵螺旋轴(ScrewAxes)21绕轴旋转180°沿轴平移1/2T概念⑵螺旋轴(ScrewAxes)21绕轴旋转180°42ns

n：轴次，n=1，2，3，4，6(n=360°/α)s：小于n的自然数按照n和s的不同，螺旋轴共有11种：

21；(Two-foldScrewAxes)31、32；41、42、43；61、62、63、64、65。

晶体中不可能出现5次和高于6次的螺旋轴。

螺旋轴的国际符号ns螺旋轴的国际符号43使结构复原的最小平移距离。右旋操作t=(s/n)T左旋操作t=[(n–s)/n]TT：螺旋轴方向的结点间距。32T1/3T2/3T螺旋轴的移距(t)

右旋32右旋和左旋的移距左旋使结构复原的最小平移距离。32T1/3T2/3T螺旋轴的440<s<n/2：

右旋螺旋轴－31,41,61,62n/2<s<n：

左旋螺旋轴－32,43,64,65s=n/2：

中性螺旋轴－21,42,

63螺旋轴的类型0<s<n/2：螺旋轴的类型4561、62、63、64、652131、3241、42、43螺旋轴的作图符号61、62、63、64、652131、3241、42、43461/2螺旋轴及投影图示2211/2螺旋轴及投影图示221471/32/31/32/3313231/32/31/32/3313234841431/41/23/41/41/23/4441431/41/23/41/41/23/4449421/21/24242在旋转和平移时有两个点在同时动作，质点绕42旋转360°，沿螺旋轴方向平移两个结点间距。

42为双轨螺旋轴。421/21/24242在旋转和平移时有两个点在同时动作，5061651/61/32/35/61/21/61/31/22/35/6661651/61/32/35/61/21/61/31/22/516262在旋转和平移时有两个点在同时动作，质点绕62旋转360°，沿螺旋轴方向平移两个结点间距。

62为双轨螺旋轴。6262在旋转和平移时有两个点在同时动作，5264

64在旋转和平移时有两个点在同时动作，质点绕64旋转360°，沿螺旋轴方向平移两个结点间距。

64为双轨螺旋轴。6464在旋转和平移时有两个点在同时动作，5363636363636354abYxNaCl晶体结构中的螺旋轴（001）面上的质点分布abYxNaCl晶体结构中的螺旋轴（001）面上的质点分布55晶体结构中的假想平面，当对此平面反映，并沿此平面滑移一定距离之后，每一个质点皆与相同质点重合。整个结构亦自相重合。操作：对此平面反映+沿此平面滑移⑶滑移面-像移面(glide-reflections)1/21/21/21/2bcnYX晶体结构中的假想平面，当对此平面反映，并沿此平面滑移一定距离56ax1/2a滑移面滑移方向滑移距离by1/2bcz1/2cnx+yx+zy+z1/2(a+b);1/2(a+c);1/2(b+c)dx+yx+zy+z1/4(a+b);1/4(a+c);1/4(b+c)滑移面的种类ax1/2a滑移面滑移方向滑移距离by1/2bcz1/2cn57滑移面的图示符号a,b,c在图面内滑移离开图面滑移nd

b1/21/2c滑移面的图示符号a,b,c在图面内滑移离开图面滑移nd58bb/2cnb+c/2d

b1/21/2cn1/2d1/43/41/2∥(100)面网的滑移面XYZc/2b+c/4bb/2cnb+c/2db1/21/2cn1/2d1/459XYZacnda1/21/2c1/2na/2∥(010)面网的滑移面c/2(a+c)/2(a+c)/41/43/41/2dXYZacnda1/21/2c1/2na/2∥(010)面网60XYZabnd(a+b)/4∥(001)面网的滑移面a/2b/2(a+b)/2XYZabnd(a+b)/4∥(001)面网的滑移面a/2b61abYx

NaCl晶体结构中的滑移面（001）面网上的质点分布abNaCl结构mabYxNaCl晶体结构中的滑移面（001）面网上的质点分62晶体结构中的对称要素:平移群--14种螺旋轴--11种滑移面--5种晶体结构中的对称要素:63第8章晶体结构的几何理论第8章晶体结构的几何理论64空间群概念国际符号等效点系概念表示方法与晶体结构中质点的关系主要教学内容空间群主要教学内容65abYx晶体内部结构中的对称要素，是在三维空间按格子构造规律排列，每种对称要素都有无穷多个。而且互相平行。⑴空间群的概念晶体结构中对称要素的组合，称为空间群。8.5空间群(spacegroup)

abYx晶体内部结构中的对称要素，是在三维空间按格子构造规律66abab有些对称要素相交，交点（线）也在三维空间按格子构造规律（平行）排列，也有无穷多。晶体内部结构中对称要素的组合称为空间群。空间群共有230种。Yxabab有些对称要素相交，交点（线）也在三维空间按格子构造规67外部结构中2：2、213：3、31、324：4、41、42、436：6、61、62、63、64、65m：m、a、b、c、n、d

44

6614种空间格子（平移群）组合成32种点群组合成230种空间群外部结构中组合成32种点群组合成230种空间68点群：4(L4)空间格子类型内部对称要素原始格子P体心格子I4414243空间群P4，P41，P42，P43I4，I41×点群：4(L4)空间格子类型内部对称要素原始格子P4469点群：mm2空间格子类型：P、C、I、Fm：m、a、b、c、n、d2：

2、21；空间群(22种)Pmm2,Pmc21,Pcc2,Pma2,Pca21,Pnc2Pmn21,Pba2,Pna21,Pnn2;Cmm2,Cmc21,Ccc2;Amm2,Abm2,Ama2,Aba2;Imm2,Iba2,Ima2

Fmm2,Fdd2点群：mm270每一种点群都对应着若干种空间群；空间群的数目远超过点群数目，共有230种。每一种点群都对应着若干种空间群；71空间群的国际符号有两个组成部分：前一部分为格子类型，用P，C，I，F表示。后一部分与所属对称型的国际符号基本相同，只是某个或某些方位被替换为微观对称要素。⑵空间群的国际符号P42/mbc四方原始格子属于4/mmm点群Ima2斜方体心格子属于mm2点群空间群的国际符号有两个组成部分：⑵空间群的国际符号P42/72YxNaCl的对称要素在(001)面上的投影⑶空间群的投影图示使用作图符号，把晶体结构中一个晶胞范围内的质点和对称要素分别投影到(001)面上。NaCl晶胞YxNaCl的对称要素⑶空间群的投影图示使用作图符号，把晶体73⑴等效点系的概念空间格子中借对称要素联系起来的一组几何点。8.6等效点系(equivalentpoint)⑴等效点系的概念8.6等效点系(equivalentp74点群中对称要素联系的一组晶面同一种单形的晶面必能对称重复单形中晶面位置晶体内部结构对称要素组合空间群

空间群中对称要素联系一组几何点同一套等效点系中的点必能对称重复等效点系中等效点位置一种单形一套等效点系晶面符号等效点坐标晶体外形对称要素组合点群一种点群对应最多7种单形一种空间群对应若干套等效点系点群中对称要素联系的一组晶面同一种单形的晶面单形中晶面位75等效点系的魏考夫（Wyckoff）符号一种空间群对应若干套等效点系，在一个晶胞范围内，用a,b,c,d,e,f,g……对原始点位置不同的等效点系进行编号，称为等效点系的魏考夫符号。等效点位置重复点数：在一个晶胞范围内等效点的数目等效点的坐标⑵等效点系的表示方法等效点系的魏考夫（Wyckoff）符号⑵等效点系的表示方法76XY⑶等效点系的表示方法举例Pmm2在(001)面上的投影蓝色区域为1个晶胞的范围XY⑶等效点系的表示方法举例Pmm2在(001)面上的投影77位置①Wyckoff符号：a点位置：mm重复点数：1等效点的坐标：0，0，z位置①78位置②Wyckoff符号：b点位置：mm重复点数：1等效点的坐标：0，1/2，z位置②79位置③Wyckoff符号：c点位置：mm重复点数：1等效点的坐标：1/2，

0，z位置③80位置④Wyckoff符号：d点位置：mm重复点数：1等效点的坐标：1/2，

1/2，z位置④81位置⑤Wyckoff符号：e点位置：m重复点数：2等效点的坐标：x，0，z；-x，0，z位置⑤82位置⑥Wyckoff符号：f点位置：m重复点数：2等效点的坐标：x，1/2，z；-x，1/2，z位置⑥83位置⑦Wyckoff符号：g点位置：m重复点数：2等效点的坐标：0，y，z；0，-y，z位置⑦84位置⑧Wyckoff符号：h点位置：m重复点数：2等效点的坐标：1/2，y，z；1/2，-y，z位置⑧85位置⑨Wyckoff符号：i点位置：一般位置重复点数：4等效点的坐标：x，y，z；x，-y，z；-x，y，z；-x，-y，z；位置⑨86Pmm2的9个不同原始点位置iefgabdch特殊等效点系：等效点在某个或某些对称要素之上。一般等效点系：等效点全部在对称要素之外。Pmm2的9个不同原始点位置iefgabdch特殊等效点系：87⑷等效点系与晶体结构在晶体结构中，质点分布在等效点的位置上。不同的质点，不能占据同一套等效位置。同一种质点，占据一套或几套等效位置，⑷等效点系与晶体结构在晶体结构中，质点分布在等效点的位置上。88晶体结构分析的主要内容晶体结构分析是分析一个晶胞中质点的分布规律和对称特征，一般包括以下内容：晶系晶胞参数质点在晶胞中的位置和分布规律空间群的国际符号晶胞中的分子数晶胞中等效点系的数目和重复点数原子或离子的坐标原子或离子的配位数以及配位多面体的形状晶体结构分析的主要内容晶体结构分析是分析一个晶胞中质点的分布89晶系：等轴晶系晶胞参数：a=0.5628nm质点在晶胞中的位置和分布规律

Cl1-占据晶胞的角顶和每一个面的中心，Na1+占据晶胞每一条棱的中点。空间群：Fm3m分子数：Z=4NaCl的晶体结构晶系：等轴晶系NaCl的晶体结构90等效点系的数目和重复点数Cl1-占据1套等效位置，重复点数：4Na1+占据1套等效位置，重复点数：4

NaCl的晶体结构等效点系的数目和重复点数NaCl的晶体结构91Cl1-坐标：0,0,0；1/2,1/2,0;1/2,0,1/2;0,1/2,1/2.Na1+坐标：1/2,1/2,1/2;0,0,1/2;0,1/2,0;1/2,0,0NaCl的晶体结构Cl1-坐标：Na1+坐标：NaCl的晶体结构92CsCl的晶体结构晶系：等轴晶系晶胞参数：a=0.5628nm质点在晶胞中的位置和分布规律

Cl1-位于晶胞的角顶；Cs1+位于晶胞中心。空间群：Pm3m分子数：Z=1CsCl的晶体结构晶系：等轴晶系93CsCl的晶体结构等效点系的数目和重复点数Cl1-占据1套等效位置，重复点数：1

Cl1-坐标：0，0，0Cs1+占据1套等效位置，重复点数：1

Cs1+坐标：1/2，1/2，1