课题学习最短路径问题 省赛获奖 省赛获奖

八年级上册13.4

课题学习最短路径问题（第二课时）课件说明本节课以——“造桥选址问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。ABlP思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.或：在直线l上任意取一不同于点P的点P’，连接AP’,BP’∵AP’+BP’＞AB∴AB最短P’复习回顾造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA创设情境，引入探究这个问题可抽象为：BA

1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，那么，从A到B的路径是AM+MN+BN，ＭＮ

3、这与我们上节解决的问题—在直线l上找一点P，使P到A,B两地的距离之和最短—有什么不同呢？思维分析ABlPP’

上一个问题不涉及桥的长度，AP’和P’B是连在一起的，因此，可以直接连接AB，利用“两点之间，线段最短”（或三角形两边之和大于第三边）来解决。而这个问题AM和BN是断开的。要考虑桥的长度。

2、路径的长短取决于什么呢？

MN不变，所以取决于AM+NB的大小。

对照两个图形，想一想，我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧,从而利用“两点之间，线段最短”（或三角形两边之和大于第三边）来解决呢？什么图形变换能帮助我们呢？合作交流思维火花BAＭＮBA说说你的想法，并验证能否做到使AM+MN+BN的长度保持不变？BAA1MN作法：1.沿与河岸垂直的方向，向河岸平移A到A1，使ＡA1等于河宽。2.连接A1Ｂ交河岸于Ｎ3.作桥ＭＮ。此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，A1N1此时所走的路线为AM1+M1N1+N1BＮ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.最短路径AM+MN+BN可以转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而另作的路线ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１可转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋Ｎ１B.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+N1B＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN问题解决思考：1.在刚才的问题解决中，我们借助什么知识，通过怎样的过程解决问题的？因为桥长MN始终不变，所以借助平移知识把桥长MN转化为AA1，这样，问题就转化为先走了一个桥的长度到A1,然后，在河的对岸l上找一点，使从A1到B的路线最短的问题从而利用“两点之间，线段最短”（或三角形的两边之和大于第三边）解决问题。BAA1MNＮ１Ｍ１思考：2.在刚才的问题解决中，我们把A向河岸平移了一个桥长，从而得以解决问题，那么，可不可以平移B呢？怎么平移？作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。最短路线为AM+MN+NBA·BMNECD证明：在河岸上另取一点C，作桥CD，连接AC，DB，CE则从A经过桥到B的路线为AC+CD+DB由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,则最短路线可转化为AM+ME+EB同样，MN=CD=EB,BD∥CE,BD=CE,则另取的路线可转化为AC+CE+EB

在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+EB＞AE+EB,

即AC+CD+DB＞AM+MN+NB

所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处QNABMP说一说你的想法思维方法一1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至A1点，使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）A1AB2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）再沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.PQA2A1AB3、确定了PQ的位置，点P的位置确定了，也确定了BQ的位置，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．PQA2A1ABNM则分别把桥建在MN,PQ位置时，从A到B的路径最短，最短路径为AM+MN+NP+PQ+QB问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点平移到Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２＝ＰＱ；连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．思维方法二沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２＝MN；连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．延伸小结同样，当Ａ、Ｂ两点之间有3、4、5，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题．

例如：沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3，．．．，An,平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河