第二节 与圆有关的位置关系

第二节与圆有关的位置关系第二节与圆有关的位置关系一、课标导航本节主要介绍点与圆、圆与直线的位置关系，以及圆的切线性质及判定方法。二、核心纲要1.点与圆的位置关系设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系如下表所示：|d<r|点P在圆内||d=r|点P在圆上||d>r|点P在圆外|2.确定圆的条件(1)圆的确定确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点）确定圆的位置，半径（定长）确定圆的大小。(2)过已知点作圆①经过点A的圆：以点A以外的任意一点为圆心，以OA的长度为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个。②经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点为圆心，以OA的长度为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个。③过三点的圆：若三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若三点A、B、C不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个。④过n（n≥4）个点的圆：只可以作一个或者没有，当只能作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心。(3)定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。注：①“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；②“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”。(4)三角形的外接圆①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②三角形的外心的性质(i)三角形的外心是指此三角形外接圆的圆心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；(ii)三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；(iii)锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。3．直线和圆的位置关系(1)设圆的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表所示：|d<r|直线L与圆有两个交点||d=r|直线L与圆有一个交点||d>r|直线L与圆没有交点|(2)直线和圆的位置关系还可以如下表所示：|直线L在圆内部|直线L与圆没有交点||直线L与圆相切|直线L与圆有一个交点||直线L在圆外部|直线L与圆有两个交点|4.切线的性质及判定(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。(2)切线的判定①定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。②距离法：圆心到直线的距离等于圆的半径，这条直线是圆的切线。定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线长的定义为在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。根据定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切夹角。内切圆的定义为和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这角形叫做圆的外切三角形。类似地，和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形。两个圆的位置关系如下表所示，其中⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d：|d>R+r|两圆相离||d=R+r|两圆相切||R-r<d<R+r|两圆相交||d=R-r|两圆内切||d<R-r|两圆内含|本节重点讲解三个位置关系、三个定理（切线的判定和性质定理、切线长定理）。基础演练：1.由于最大距离为半径加上最小距离，所以⊙O的半径为4（选项C）。2.由于大圆的一条弦与小圆相切，所以这条弦垂直于小圆的半径，且这条弦为小圆的直径。因此，AB的长为小圆的直径，即4cm（选项A）。3.∠ABC为圆心角，而BC与⊙O相切于点B，所以∠ABC为切线与半径的夹角，根据切线性质定理可得∠ABC=90-20=70（选项D）。4.直线L与圆有公共点，即直线L与圆相交。由于圆的半径为5，所以圆心到直线L的距离为5-d。根据题意可得3≤5-d≤4，即1≤d≤2。因此，d的取值范围为1到2。6.根据勾股定理可得BC=10，而△ABC的面积为24，所以△ABC的外接圆半径长为5（选项A）。7.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，可知B、C、D在⊙A的外部。（2）以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点外，可知圆的半径r需满足3<r<4。8.连接OE，由于OE是直径，所以∠OGE=90度。又因为CD是AB边上的高，所以∠BDC=90度。根据切线性质定理可得GE是⊙O的切线。9.（1）根据切线性质定理可知∠PCD=90度，所以PB与⊙相切。（2）由于PC=4，所以PA=4+3=7。又因为P0在∠APB的平分线上，所以∠PP0C=∠CP0B。根据正弦定理可得CE=2Rsin(∠CP0B)=2×3×sin(∠CP0B)。由于∠APC为直角，所以sin(∠CP0B)=sin(∠APB/2)=sin(45度)=√2/2。因此，CE=3√2。10.如下图所示，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD。(1)判断直线PD是否为圆的切线，并说明理由。(2)如果∠BDE=60°，PD=3，求PA的长度。11.已知圆的半径为8cm，直线L上有一点B到圆心的距离等于8cm，则直线L和圆的位置关系是()。A.相离B．相切C．相交D．相交或相切12.如下图所示，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，圆C的圆心坐标为（-1，1），半径为1。若D是圆C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是()。A.2B.1C.2-2D.2-2213.△ABC内接于圆O，AB=AC，BC=6，点到BC的距离为4，则AB=？14.在直角△ABC中，AC=3，BC=4，若以点C为圆心，R为半径作与斜边AB只有一个公共点的圆，则R的取值范围是？15.如下图所示，平面直角坐标系中，圆的半径长为1，点P（a，0），圆P的半径为2，把圆P向左平移，当圆P与圆相切时，a的值为？16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，圆A的半径是2，圆P的半径是1，满足与圆A及x轴都相切的圆P有个切点。17.如下图所示，AB是圆的直径，AC是弦，直线EF和圆相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。(1)求证：∠CAD=∠BAC。(2)如下图所示，若把直线EF向上移动，使得EF与圆相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC、AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由。18.如下图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，且AD+BC=CD。(1)以CD为直径作圆，求证：AB与圆相切。(2)以AB为直径作圆O，求证：CD与圆O相切。19.如下图所示，已知直线L与圆O相离，OA⊥L于点A，OA=5，OA与圆O相交于点P，AB与圆O相切于点B，BP的延长线交直线L于点C。(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由。(2)若PC=25，求圆O的半径。(3)若在圆O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求圆O的半径r的取值范围。中考链接20.如图24-2-10所示，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧DE上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，求Rt△MBN的周长。21.如图24-2-11所示，⊙O的半径为4cm，直线L与⊙O相交于A、B两点，AB=43cm，P为直线L上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点，设PO=dcm，求d的取值范围。22.如图24-2-12所示，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，求∠BPC的度数。23.如图24-2-13所示，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD。(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离。24.在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k为常数且k≠0)，分