第3章一元方程

第3章 一元方程一元一次方程★已知下面两个方程，①②有相同的解，试求的值．解析 本题解题思路是从方程①中求出的值，代入方程②，求出的值．由方程①可求得，所以．由题设，也是方程②的解，根据方程解的定义，把代入方程②时，应有，，所以，．★解方程：．解析 本题将方程中的括号去掉后产生，但整理化简后可以消去，也就是说，原方程实际上仍然是一个一元次方程．将原方程整理化简得，即．⑴当时，即时，方程有唯一解；⑵当时，即或．若，即，时，方程无解；若，即时，方程有无数多个解．评注 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．★★若，解方程．解析 因为，所以原方程可变形为．化简整理为，，，所以，为原方程的解．评注 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．★★已知关于的方程．且为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数的最小值．解析 由原方程可解得．因为为正整数，所以应是大于的整数．所以，即．又因为为正整数，要使为整数，必须是10的倍数，而且为使最小，所以应取．所以．所以满足题设的正整数的最小值为2．评注 本题实际上是求的最小正整数解．★★已知关于的方程有两个不同的解，求的值．解析 一元一次方程或者有一个解，或者有无数个解，或者无解，本题中的一元一次方程有两个解，所以我们可以证明它有无数个解，进而可以确定、．设方程的两个不同的解为、，则有， ①， ②②①，得．因为，所以．把代入①式，得．所以，．★已知关于的方程无解，求的值．解析 将原方程变形为．由已知该方程无解，所以解得，所以即为所求．★★已知关于的方程有无限多个解，求、的值．解析 原方程变形为．解得，．★为何正数时，方程的解是正数？解析 按未知数整理方程得．要使方程的解为正数，需要．不等式的左端．因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，所以或即为所求．★★若、、是正数，解方程．解析 原方程两边乘以，得到方程．移项、合并同类项得，因此有．因为，，，所以，于是，即为原方程的解．★★★设为正整数，表示不超过的最大整数，解方程．解析 由于是整数，是整数，所以必为整数，故，所以原方程可化为，合并同类项得，故有 ．所以，为原方程的解．3.2 一元二次方程★若方程与方程至少有一个相同的实数根，求实数的值．解析 假定这个相同的实数根为，则将它代入两个方程，得到两个关于、的等式，视它们为关于、的方程组，即可求出的值．设是两个方程相同的根，则有，．①两式相减，得，即．所以或．当时，两个方程都是．这个方程无实根，故不合题意．当时，代入①式中任何一式，都可解得．所以所求的的值为2．★已知实数，且满足，．求的值．解析 、是关于的方程的两个根，整理此方程，得，由于，，．故、均为负数．因此．★★已知是方程的一个根，求的值．解析 因为是所说方程的根，所以，故，由此得到．．求也可用下面的方法：因，将两边同除以，易得到，故．★★三个不同实数、、使得方程和有一个相同的实数根，且使得方程和也有一个相同的实数根，求的值．解析 因为方程和有一个相同的实数根，所以，，两式相减得．又方程和也有一个相同的实数根，所以，，两式相减得（显然）．于是，故也是方程的根，所以．由和得，或者（此时，无实根，舍去），所以，，，于是．★★对于一切不小于2的整数，关于的一元二次方程的两个根记作、，求的值．解析 由根与系数的关系数得，，所

，则，．★★已知互不相等的实数、、满足，求的值．解析 由得，代入得，整理得．①又由可得，代入①式得，即，又，所以，所以．验证可知：，时，，时．因此，．★如果、都是质数，且，，求的值．解析 当时，；当时，、为方程的两个根，所以．因为、都是质数，故、的值只可能是和11，所以．★★已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，求的值．解析 设是它们的公共实数根，则，，，把上面三个式子相加，得，因为，所以，，于是．★★设实数和满足方程，，并且和的积不等于1，求的值．解析 因为，所以，第一人方程可以变形为：．又因为，所以，、是一元二次方程的两个不同的实根，所以，，即，．所以．★★★已知方程的两个根、也是方程的根，求、的值．解析 利用一元二次方程根的概念，用、表示和，再结合、之间的关系（这里用到韦达定理），从而可解出、．由条件，可知，即，于是．结合可知，．①同理，．②①、②两式相加，并利用，有．①、②两式相减，有．注意到，，故，，进而，．评注 运用根的概念解题这一方法是处理一元二次方程时容易忽视的技巧，这里巧妙利用根的概念，对与予以降次，将高次问题予以简化，题中、的求值问题迎刃而解．★已知方程的大根为，方程的小根为，求的值．解析 先求出、的值．由观察知，是方程的一个根，于是由韦达定理知，另一个根为，所以．又从观察知，是方程的根，从而由韦达定理知，方程的另一个根为，所以，．故．评注 对于方程，若，则是方程的根；若，则是方程的根．★★设是给定的非零实数，解关于的方程．解析 由观察知，是方程的根．又原方程等价于．由韦达定理知，，所以，方程和另一根为．★★已知、是方程的两实根，求的值．解析 不是、的对称式，所以很难用乘法公式把它化为和的表达式．我们先把“降次”．因为是方程的根，所以，故．于是，，所以．★★设一元二次方程的两个实根的和为，平方和为，立方和为，求的值．解析 设、是方程的两个实根，于是，所以 ．评注 本题是最“自然”的解法是分别用、、来表示、、，然后再求的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法．因为、是方程的两个实根，所以，于是． ①同理． ②将①、②两式相加便得．一般地，记，则有．证明方法同上，读者不妨一试．★★★设抛物线的图象与同只有一个交点，求的值．解析1 由题设，即．所以，，，．又．因为，所以，即，所以．故．解析2 由可得，所以，且，所以，，，，所以．★★若方程的两个不相等的实数根、满足，求实数的所有可能的值之和．解析 由一元二次方程的根与系数的关系可得，，所以，．又由得，所以，所以，解得，，．代入检验可知：，均满足题意，不满足题意．因此，实数的所有可能的值之和为．★★★设、是方程的两个根，、是方程的两个根．记，用表示．解析 由韦达定理，得，，，．所以 ．于是原式．判别式及其应用★已知方程没有实数根，其中是实数．试判定方程有无实数根．解析 因为方程无实数根，所以，即．则，所以方程有两个不相等的实根．★★已知常数为实数，讨论关于的方程的实数根的个数情况．解析 当时，原方程为，，即此时方程积有一个实根．当时，原方程为一元二次方程，其判别式，所以，当且时，原方程有两个不同的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．评注 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．★★若对任何实数，关于的方程都有实数根，求实数的取值范围．解析 根据判别式容易写出关于、的不等式．为了求出的取值范围，可以分离、，写成或的形式，那么不大于的最小值，或不小于的最大值．按题意，对一切实数成立．即对一切实数成立．显然，当时取最小值，故，．所以的取值范围为．★★已知关于的二次方程无实根，其中为实数，试判断二次方程的实根情况．解析 因为无实根，即无实根，所以，故．方程，即．因为，所以，，上述方程是实系数二次方程，它的判别式．由，得，，，，从而，故无实根．★★、、是不全相等且都不为零的实数，求证：，，这三个一元二次方程中，至少有一个方程有两个不相等的实数根．解析 本例即要证明三个方程的判别式至少有一个大于零．但由于、、不是具体数值，很难确定哪一个方程的判别式大于零，因此可考虑三个判别式的和．因为、、都不是零，所以三个方程都是实系数一元二次方程，它们的判别式顺次记为、、，则．因为、、不全相等，所以，从而、、中至少有一个大于零，即三个二次方程中至少有一个方程两个不相等的实数根．★对于实数、，定义一种运算“*”为：*．若关于的方程*有两个不同的实数根，求满足条件的实数的取值范围．解析 由*（*），得，依题意有解得，，或．★若方程有实根，求、的值．解析 因为方程有实根，所以它的判别式，化简后得，所以，从而解得，．评注 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．★的一边长为，另两边长恰是方程的两个根，求的取值范围．解析 设的三边长分别为、、，且，由得．此时由韦达定理，，，即，并且不等式，即．综上可知，．★求方程的实数解．解析 先把看作是常数，把原方程看成是关于的一元二次方程，即．因为是实数，所以判别式，化简后整理得，即，从而，将代入原方程，得，故．所以，原方程的实数解为，．评注 ⑴本题也可以把看作常数，把方程写成关于的一元二次方程，再用判别式业求解．⑵本题还可以用配方的方法，把原方程变形为，从而，．★★解方程组解析 引入待定系数，由①②得，或写成． ③如果③式左端是一个关于和的完全平方式，则．由此解得，．将值代回③式得，，即，．由于，，由上两式开方后，就可以求出方程组的唯一解：★★设为实常数，方程有