2022-2023学年湖北省黄冈市武穴市九年级下期中抽测数学试卷含解析

第第页2022-2023学年湖北省黄冈市武穴市九年级（下）期中抽测数学试卷（含解析）2022-2023学年湖北省黄冈市武穴市九年级（下）期中抽测数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若在实数范围内有意义，则的取值范围是()

A.B.C.且D.且

2.我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是()

A.B.C.D.

3.关于的方程有两个不等的实数根，，且，那么的取值范围是()

A.B.C.D.

4.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上．顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为()

A.B.C.D.

5.如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接，线段绕点顺时针旋转至线段，过点作直线轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标为()

A.B.C.D.

6.如图，已知是矩形内一点，且，，，那么的长为()

A.

B.

C.

D.

7.如图所示，在矩形纸片中，，，点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点则下列结论成立的是()

；

当点与点重合时，；

的面积的取值范围是；

当时，．

A.B.C.D.

8.对于二次函数，规定函数是它的相关函数已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为()

A.或B.或

C.或D.或

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖如图，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是______．

10.已知关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围______．

11.若方程组的解是，则方程组的解为______．

12.如图，为等边内一点，，，，则的面积为______．

13.已知实数满足，则的值为______．

14.如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______．

15.已知抛物线经过点，若，两点都在抛物线上，且，则的取值范围为______．

16.如图，是的直径，是弦，的平分线交于点，于，过点作的切线交的延长线于，若，则______．

17.若，求的最小值______．

18.已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；的实数，其中正确结论的序号有______．

三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

若，化简．

20.本小题分

如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：

已知关于的方程，，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

已知、满足，，求的值；

已知、、满足，，求正数的最小值．

21.本小题分

某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润元与国内销售数量千件的关系为：；若在国外销售，平均每件产品的利润元与国外的销售数量千件的关系为：．

用的代数式表示为：______；当时，与的函数关系式为：______；当______时，；

求每年该公司销售这种健身产品的总利润千元与国内的销售数量千件的函数关系式，并指出的取值范围；

该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

22.本小题分

如图，在中，，将沿翻折，点恰好与点重合，点在边上，连接．

如图，若点是的中点，连接，且，，求的长；

如图，若于点，并延长交于点，当点是的中点时，连接，求证：；

在的条件下，连接，请直接写出的度数．

23.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．

求该二次函数的表达式；

连接，在该二次函数图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

如图，直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点若点为轴上方二次函数图象上一动点，过点作直线，分别交直线于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：依题意得：且．

解得且．

故选：．

根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．

本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2.【答案】

【解析】解：，

故选：．

类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数．

本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．

3.【答案】

【解析】解：，

解得；，

，

，

，

解得；，

．

解得：，

，

故选：．

首先解关于的方程，求出的解，再根据，求出的取值范围．

此题主要考查了解一元二次方程与不等式的解法，此题综合性较强，解题的关键是利用求根公式求出，再求不等式的解集是解决问题的关键．

4.【答案】

【解析】解：作关于的对称点，连接交于，连接，，过作于，

则此时的值最小，

，

，

，

，，，由勾股定理得：，

由三角形面积公式得：，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，由勾股定理得：，

，

，

在中，由勾股定理得：，

即的最小值是，

故选：．

作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，则此时的值最小，求出，求出，求出、，根据勾股定理求出，即可得出答案．

本题考查了三角形的内角和定理，轴对称最短路线问题，勾股定理，含度角的直角三角形性质的应用，关键是求出点的位置，题目比较好，难度适中．

5.【答案】

【解析】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，

，

，，

，

，

，，

在和中，

≌，

，，

，

设，，

，

，

则，

，即．

直线，

，

在中，由勾股定理得：，

在中，由勾股定理得：，

则的坐标是，

设直线的解析式是，

把代入得：，

即直线的解析式是，

即方程组得：，

即的坐标是

故选：．

过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证≌，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．

本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．

6.【答案】

【解析】解：如图，过作于，交于；过作于，交于

设，，，，

所以，

所以

即

所以

同理有

所以

又因为即

得

所以

所以

故选：．

过作于，交于；过作于，交于，设，，，，则可得，，整理得，即可解题．

本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中整理计算的长度是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：是定值，，的长是变化的，

的值也是变化的，

与不一定相等，故错误．

四边形是矩形，

，

，

由翻折的性质可知，，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，

，

当，重合时，设，则有，

，

，，，

，

，

，故正确，

当，重合时，的面积最大，最大值，

，故错误，

如图中，当时，，

，

，故正确．

故选：．

错误．说明的长度是变化的即可．

正确．利用面积法求出即可．

错误．求出面积的最大值，即可判断．

正确，利用勾股定理求出，可得结论．

本题考查矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法解决线段问题，属于中考常考题型．

8.【答案】

【解析】解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

所以当时，，即，解得．

如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线与轴交点纵坐标为，

，解得：．

当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，

．

如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，

，解得：．

时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

综上所述，的取值范围是或，

故选：．

首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键．

9.【答案】

【解析】

【解答】

解：法一：因为三个茶杯只有花色不同，两个盖杯随机地搭配在一起，共种结果，花色完全搭配正确的结果只有一种，所以其概率是．

法二：假设杯无盖，总共有种搭配结果，依次是：第一种：杯盖；杯盖；杯；第二种：杯盖；杯；杯盖；第三种：杯盖；杯盖；杯；第四种：杯盖；杯；杯盖；第五种：杯；杯盖；杯盖；第六种：杯；杯盖；杯盖，共种搭配方式，只有第一种完全满足颜色正确搭配，

故概率为．

【分析】

本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

列举出所有情况，看花色完全搭配正确的情况占所有情况的多少即为所求的概率．

10.【答案】

【解析】解：，

解得：，

解得：，

方程组只有三个整数解，则整数解一定是，，．

根据题意得：，

解得：．

故答案是：．

首先解两个不等式，根据方程组只有三个整数解，即可得到一个关于的不等式组，从而求得的范围．

本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

11.【答案】

【解析】解：把方程组的解代入原方程组中得：

，此式代入所求的方程得：

，

解得．

故答案为．

方法、方程组，每个方程左右两边同时除以，

可化为Ⅰ

设，，

方程组Ⅰ可化为Ⅱ

方程组Ⅲ的解是，

对照方程组Ⅱ和Ⅲ的特点，得

，

，

故答案为．

方法、把方程组的解是代入原方程组中可得到，再把关于的代数式代入所求的方程组即可得解．

方法、先将所求的方程组每个方程除以，得出新的方程组再和方程组对照，得出新方程组的解，即可得出结论．

本题考查了运用代入法解二元一次方程组的方法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．

12.【答案】

【解析】解：为等边三角形，

，，

把绕点逆时针旋转得到，

，，，≌，

为等边三角形，

，，，

在中，，，，

，

为直角三角形，，

而，

，，

，

，

，

，

，

为直角三角形，

，

．

故答案为．

根据等边三角形的性质，，则把绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质有，，，≌，于是可判断为等边三角形，所以，，，接着利用勾股定理的逆定理证明，则，，所以，然后证明为直角三角形，则，所以．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是勾股定理的应用和证明．

13.【答案】

【解析】解：设，则，

，

解得或，

当时，，关于的方程有实数根；

当时，，关于的方程无实数根，这种情况舍去；

；

故答案为：

设，可得，或，再检验可得答案．

本题考查解一元二次方程，解题的关键是换元法的应用和检验．

14.【答案】

【解析】解：如图，连接，作于，于．

，

，

，

，，

，

欲求的最大值，只要求出的最小值即可，

，

点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，

在中，，，

，

，

，

当，，共线，且与重合时，的值最小，

的最小值为，

的最大值，

故答案为．

如图，连接，作于，于由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．

本题考查圆，勾股定理，轨迹等知识，最值问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

15.【答案】

【解析】解：由题意，将、两点代入解析式得，，

．

抛物线的解析式为．

该抛物线的对称轴直线．

由题意，抛物线开口向上，

当时，随的增大而减小；当时，由随的增大而增大．

又，

当时，有，即此时；

当时，由，

．

此时．

当时，显然没有．

综上，．

故答案为：．

依据题意，首先将、两点代入解析式然后求出解析式，再结合对称轴，由当时，，从而分类讨论可以得解．

本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握二次函数的性质并灵活运用是关键．

16.【答案】

【解析】解：连接，

是的直径，

，

，

与相切于点，

，

，

，

，

于，

，

，

的平分线交于点，

，

，

，

，

≌，

，

，

设，，则，

解关于的方程得，不符合题意，舍去，

，

故答案为：．

连接，由是的直径，得，则，由与相切于点，证明，则，所以，再证明≌，得，则，设，，则，求得符合题意的值为，即可求得，于是得到问题的答案．

此题重点考查同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形、切线的性质定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出是解题的关键．

17.【答案】

【解析】解：，

，

将代入得，

，

由得，，

可理解为到和的距离的最小值．

作关于轴的对称点，连接，与轴交点即为．

在中，．

故答案为：．

如图：

将变形后代入，再转化为轴对称最短路径问题解答即可．

此题考查了利用两点间距离公式的几何意义解答最值问题，体现了数形结合思想的重要作用．

18.【答案】

【解析】解：由图象可知：，，，，故此选项正确；

当时，，即，错误；

由对称知，当时，函数值大于，即，故此选项正确；

当时函数值小于，，且，

即，代入得，得，故此选项正确；

当时，的值最大．此时，，

而当时，，

所以，

故，即，故此选项错误．

故正确．

故答案为：．

由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．

19.【答案】解：设，

两侧同时平方得：

又，

，

为正数，

，

所以．

【解析】用换元法简化复合二次根式，根据的取值范围进行二次根式化简即可．

本题考查了二次根式的加减，二次根式的加减先要将每个二次根式化简成最简二次根式后再进行加减运算．

20.【答案】解：设方程，的两个根分别是，，

则：，

，

若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，

则这个一元二次方程是：；

、满足，，

，是的解，

当时，，，

．

当时，原式；

，，

，，

、是方程的解，

，

，

是正数，

，

，

，

正数的最小值是．

【解析】先设方程，的两个根分别是，，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．

根据、满足，，得出，是的解，求出和的值，即可求出的值．

根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值．

本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

21.【答案】；；

【解析】解：由题意，得，

；

，

当时，，即，

此时与的函数关系为：；

当时，，即，

此时．

故答案为：；；，；

分三种情况：

当时，；

当时，；

当时，；

综上可知，；

当时，，此时时，；

当时，，此时时，；

当时，，时，；

，

当时，随的增大而减小，

时，．

故该公司每年国内、国外的销售量各为千件、千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为万元．

由该公司的年产量为千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量国外销售量千件，即，变形即为；

根据平均每件产品的利润元与国外的销售数量千件的关系及即可求出与的函数关系：

当时，；当时，；

根据总利润国内销售的利润国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：；；；

先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．

22.【答案】解：将沿翻折，点恰好与点重合，

，，，且，

是等腰直角三角形，

点是的中点，，，

，

，

，

，

，，

，

如图，过点作交的延长线于点，

，，，

，

，，

，且，，

≌

，，，

，

，

，，

，且，，

≌

，

，

；

如图，连接，

，

，

，，，

≌

，

，

，

，

点，点，点，点四点共圆，

．

【解析】由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由三角形中位线定理可求解；

过点作交的延长线于点，通过证明≌，可得，，，由“”可证≌，可得，即可得结论；

由“”可证≌，可得，可得，可求，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得．

本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关