【课件】基本不等式课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式1思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1新课引入正方形和直角三角形ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？

探究１：S>S′问：那么它们有相等的情况吗？新课引入ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab学习新知思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）学习新知结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R学习新知替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？学习新知证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式：学习新知特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0学习新知适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式学习新知均值不等式的运用例１．已知x>0，求的最小值和此时x的取值．典型例题变式1：把改为成立吗？变式2：把改为成立吗？不成立不成立均值不等式的运用典型例题例2.已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14归纳总结

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．当x=6,y=4时,最小值为482.已知x<0，求的最大值.巩固练习3.求x＞-1时，

的最小值.解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴=(x

+1)+

-11x+1x

+

1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当

x=0

时,取最小值是

1.x+1=

,即

x=0

时,1x+1提高练习2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y的最小值是___.181.若

0<x<,求x(1-2x)

的最大值.12解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即

x=

14∴当

x=时,

函数

x(1-2x)

的最大值是.1418求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).143.利用基本不等式求最值1.重要不等式课堂小结2.基本不等式基本不等式2若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.适用范围：a>0,b>0..学..科..网.新课引入求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值典型例题变式练习例2如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，则篱笆的长为矩形花园的面积为xym2ABDC得

144≥2xy当且仅当

时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即

xy≤

72即x=12，y=6x+2y=24x=2y典型例题变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，则篱笆的长为矩形花园的面积为xym2ABDCx+y不是

定值.2=24为

得

2