三角函数的图象与性质（原卷版）

4.3三角函数的图象与性质思维导图知识点总结1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2.辅助角公式asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).[常用结论]两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）)＝eq\f(tanα－tanβ,tan（α－β）)－1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝.(2)公式C2α：cos2α＝＝＝.(3)公式T2α：tan2α＝.[常用结论]1.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).2.升幂公式：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，1±sin2α＝(sinα±cosα)2.4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1，1]最小正周期π奇偶性奇函数奇函数递增区间递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))无对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程无[常用结论]1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.典型例题分析考向一公式的基本应用例1(1)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A.eq\f(7\r(2),10) B.－eq\f(7\r(2),10)C.－eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),10)答案B解析∵α是第三象限角，∴sinα＜0，且sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(3,5)，因此，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).(2)已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为()A.－eq\f(2,11) B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2) D.－eq\f(11,2)答案A解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)，又tan(π－β)＝eq\f(1,2)，∴tanβ＝－eq\f(1,2)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ)＝eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝－eq\f(2,11).感悟提升角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考向二给值求值例2(1)(2023·淄博模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且eq\r(2)cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，则sin2α＝()A.－eq\f(3,4) B.eq\f(3,4)C.－1 答案C解析∵eq\r(2)cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)，∴cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)，∴(cosα＋sinα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－sinα－\f(1,2)))＝0，∴cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝eq\f(1,2)，由cosα＋sinα＝0平方可得1＋sin2α＝0，即sin2α＝－1，由cosα－sinα＝eq\f(1,2)平方可得1－sin2α＝eq\f(1,4)，即sin2α＝eq\f(3,4)，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以2α∈(－π，0)，sin2α＜0，综上，sin2α＝－1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，则tanα＝()A.eq\f(\r(15),15) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(15),3)答案A解析因为tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，所以eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)＝eq\f(cosα,2－sinα)，解得sinα＝eq\f(1,4).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\f(\r(15),4)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(15),15).感悟提升给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.基础题型训练一、单选题1．已知x∈[0，2π]，如果y=cosx是增函数，且y=sinx是减函数，那么（

）A． B．C． D．2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（

）A． B．y=tanxC．y=lnx D．y=x|x|3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（

）A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x4．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（）A．3 B．6 C．12 D．245．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数(

)A． B．C． D．6．已知函数，下列结论错误的是（

）A．函数是偶函数B．函数的最小正周期为C．函数在区间上单调递增D．函数的图象关于直线对称二、多选题7．若函数的最小正周期为，则的值可能是（

）A．2 B． C． D．-28．关于函数，下列结论正确的是（

）A．该函数的其中一个周期为B．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象D．该函数在区间上单调递减三、填空题9．函数的最小正周期为，则______.10．函数的最小正周期是，则______.11．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______.12．函数的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________.四、解答题13．求下列函数的最小正周期．（1）f(x)＝cos；（2）y＝4sin(a≠0)．14．利用“五点法”作出函数，的简图．15．函数的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为．（1）求函数的解析式及函数的对称中心；（2）若关于x的方程在区间上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．16．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最值.提升题型训练一、单选题1．下列函数不是偶函数的是（

）A． B．C． D．2．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．3．如图是函数的部分图像，则（

）．A． B．C． D．4．设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为()A． B．C． D．6．函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．二、多选题7．已知函数的最小正周期为π，则（

）A．B．函数为奇函数C．函数在上单调递减D．直线是图象的一条对称轴8．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空题9．为偶函数，则___________.（写出一个值即可）10．设点是的图像的一个对称中心，若到图像的对称轴的距离的