空间向量与立体几何+全章复习与巩固练习 高二上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固1.空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质向量的加法1平行四边形法则：加法交换率：加法结合率：2三角形法则：向量的减法三角形法则：向量的乘法是一个向量，满足：>0时，与同向；<0时，与异向；=0时，=0∥向量的数量积1．是一个数：；2．，或=0．2.用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（//）//（分别为直线的方向向量）线线垂直（）（分别为直线的方向向量）线面平行（//），即（是直线的方向向量，是平面的法向量）．线面垂直（）//（是直线的方向向量，是平面的法向量）面面平行（//）（分别是平面，的法向量）面面垂直（），即（，分别是平面，的法向量）2.用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）二面角（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）要点诠释：①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。3.用向量方法求距离图示向量证明方法点到平面的距离（为平面的法向量）与平面平行的直线到平面的距离（是平面的公共法向量）两平行平面间的距离（是平面，的一个公共法向量）【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算例1．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【变式1】在四边形中，＝，且·＝0，则四边形是（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形类型二：空间向量的直角坐标运算例2．已知空间三点，，．设，．（1）求；（2）求和的夹角的余弦值；（2）若向量+与－互相垂直，求的值．举一反三：【变式1】已知三点坐标分别为，求点坐标使得=【变式2】已知向量，，若，⊥，则的值是（）A．或B．或C．D．【变式3】设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定类型三：共线和共面向量定理的应用例3．已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，．求证：（1）四点共面；（2）平面//平面．举一反三：【变式1】已知，，且不共面．若，求的值．【变式2】下列各组向量共面的是（）A．=(1，0，-1)，=(1，1，0)，=(0，1，1)B．=(1，0，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，1)C．=(1，1，1)，=(1，-1，0)，=(1，0，1)D．=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)类型四：空间向量在立体几何中的应用例4．正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图②所示)．在图②中求平面ABD与平面EFD的夹角的余弦值．举一反三：【变式1】四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离．【变式2】正方形的边长为1，⊥平面，且，分别是的中点．(1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离．例5．如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论．举一反三：【变式】如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)(Ⅰ)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【巩固练习】一、选择题1．平行六面体中，是的中点，则（）A．B．C．D．2．向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．与共线B．与同向C．与反向D．与共面3．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（）A．（1，-1，1）B．（1，3，）C．（1，－3，）D．（－1，3，）4．已知点，则面的法向量可以是（）A．（1，1，1）B．C．D．（-1，0，1）5．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（）A．B．C．D．6．已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝(0≤≤1)，则点G到平面D1EF的距离为()A．B．C．D．二、填空题8．已知＝(x，2，-4)，＝(-1，y，3)，＝(1，-2，z)，且，，两两垂直，则(x，y，z)＝______．9．已知向量，的夹角为。10．设，则的中点到点的距离＝________．三、解答题13.如图，四面体中，，，，，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离.14.如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC