中考数学真题：2021年河南省普通高中招生考试试卷

2021年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.)1.－2的绝对值是()A.2B.－2C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)2.河南人民济困最“给力”！据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到2.94亿元，数据“2.94亿”用科学记数法表示为()A.2.94×107B.2.94×108C.0.294×108D.0.294×1093.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是()4.下列运算正确的是()A.(－a)2＝－a2B.2a2－a2＝2C.a2·a＝a3D.(a－1)2＝a2－15.如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为()第5题图A.90°B.100°C.110°D.120°6.关于菱形的性质，以下说法不正确的是()A.四条边相等B.对角线相等C.对角线互相垂直D.是轴对称图形7.若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是()A.－1B.0C.1D.eq\r(3)8.现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)第8题图9.如图，▱OABC的顶点O(0，0)，A(1，2)，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D，将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为()第9题图A.(2eq\r(3)，0)B.(2eq\r(5)，0)C.(2eq\r(3)＋1，0)D.(2eq\r(5)＋1，0)10.如图①，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA－PE＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为()第10题图A.4B.5C.6D.7二、填空题(每小题3分，共15分)11.若代数式eq\f(1,x－1)有意义，则实数x的取值范围是.12.请写出一个图象经过原点的函数的解析式.13.某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示.则产品更符合规格要求的厂家是(填“甲”或“乙”).第13题图14.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在eq\o(AD,\s\up8(︵))上，∠BAC＝22.5°，则eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为.第14题图15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A′处，如图②；第二步，将纸片沿CA′折叠，点D落在D′处，如图③.当点D′恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为第15题图三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(10分)(1)计算：3－1－eq\r(\f(1,9))＋(3－eq\r(3))0；(2)化简：(1－eq\f(1,x))÷eq\f(2x－2,x2).17.(9分)2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时，某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下.调查问卷1.近两周你平均每天睡眠时间大约是小时.如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题2.影响你睡眠时间的主要原因是(单选)A.校内课业负担量B.校外学习任务重C.学习效率低D.其他平均每天睡眠时间统计图图①影响学生睡眠时间的主要原因统计图图②第17题图平均每天睡眠时间x(时)分为5组：①5≤x<6；②6≤x＜7；③7≤x<8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10.根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第(填序号)组，达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为；(2)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.18.(9分)如图，大，小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积.第18题图19.(9分)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度，如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度(结果精确到0.1m.参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77).第19题图20.(9分)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图②.第20题图请仅就图②的情形解答下列问题.(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；(2)若⊙O的半径为5，AP＝eq\f(20,3)，求BP的长.21.(9分)猕猴嬉戏是王屋山景区的大特色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：类别价格A款玩偶B款玩偶进货价(元/个)4030销售价(元/个)5645(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？(注：利润率＝eq\f(利润,成本)×100%)22.(10分)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围.第22题图23.(10分)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.小明：如图①，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.简述理由如下：图①图②第23题图由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO.则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线.小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图②，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.……任务：(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是(填序号)；①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由；(3)如图③.已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝eq\r(3)＋1，点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长.图③第23题图

2021年河南省普通高中招生考试数学解析一、选择题1．A2．B【解析】∵1亿＝108，∴2．94亿＝2．94×108．3．A【解析】主视图是指在平面内由前向后观察物体得到的视图，∴该几何体的主视图如选项A所示．4．C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A(－a)2＝a2≠－a2×B2a2－a2＝a2≠2×Ca2·a＝a2＋1＝a3√D(a－1)2＝a2－2a＋1≠a2－1×5．D【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°．∵∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝120°．第5题解图6．B【解析】∵菱形的性质有四条边相等，对角线互相垂直平分，∴A、C选项正确，不符合题意；菱形是轴对称图形，∴D选项正确，不符合题意；∵菱形的对角线不一定相等，∴B选项错误，符合题意．7．D【解析】∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0没有实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×m＝4－4m<0，∴m>1，故选D．8．A【解析】列表如下：北斗天问高铁九章北斗北斗，天问北斗，高铁北斗，九章天问天问，北斗天问，高铁天问，九章高铁高铁，北斗高铁，天问高铁，九章九章九章，北斗九章，天问九章，高铁由列表可知，共有12种等可能的情况，其中两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的情况有2种，∴P(这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)．9．B【解析】∵将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，A(1，2)，∴AD＝A′D′＝1，OD＝OD′＝2．∵AB∥OC，∴∠DAO＝∠D′OC．∵∠ODA＝∠OD′C＝90°，∴△ODA∽△CD′O，∴eq\f(DA,D′O)＝eq\f(OD,CD′)，即eq\f(1,2)＝eq\f(2,CD′)，∴CD′＝4．∴在Rt△OCD′中，OC＝eq\r(OD′2＋CD′2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，∴C(2eq\r(5)，0)．10．C【解析】由题图可知，当x＝0时，点P与点B重合，∴y＝PA－PE＝AB－BE＝1，∴BE＝AB－1．在△APE中，PA－PE＝y＜AE，∴当点P与点E重合时，y取最大值，由题图可得，y＝PA－PE＝PA＝5，∴在Rt△ABP中，AB2＋BE2＝AP2，即AB2＋(AB－1)2＝52．解得AB＝4或AB＝-3(舍去)，∴BE＝3，∴BC＝2BE＝6．二、填空题11．x≠1【解析】由题意得x－1≠0，解得x≠1．12．y＝x(答案不唯一)13．甲【解析】由题图可知，乙的波动大于甲的波动．∵甲、乙的平均质量相等，∴产品更符合规格要求的厂家是甲．14．eq\f(5π,4)【解析】如解图，作AD、AB的垂直平分线相交于点O，连接OC，∴OB＝OC＝5．∵∠BAC＝22.5°，∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为eq\f(45π×OB,180)＝eq\f(45π×5,180)＝eq\f(5π,4)．第14题解图15．eq\f(1,2)或2－eq\r(3)【解析】如解图①，当点D′落在BC边上时，则∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝eq\f(1,3)∠ACB＝30°．∵∠B＝30°，AC＝1，∴∠A＝60°，∠ACA′＝60°，∴△AA′C是等边三角形，∴AA′＝AC＝1，∴A′D′＝AD＝A′D＝eq\f(1,2)AA′＝eq\f(1,2)；如解图②，当点D′落在AB边上时，此时A′C⊥AB，A′C交AB于点E，设A′E＝x．∵∠CA′D＝∠A＝60°，∴∠A′D′E＝30°，∴A′D′＝AD＝A′D＝2A′E＝2x，DE＝D′E＝eq\r(3)A′E＝eq\r(3)x．在Rt△ACE中，AE＝AC·cos60°＝eq\f(1,2)，∴2x＋eq\r(3)x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(2－\r(3),2)，∴A′D′＝2x＝2－eq\r(3)．第15题解图一题多解如解图①，当点D′落在BC边上时，则∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝eq\f(1,3)∠ACB＝30°．∵∠B＝30°，AC＝1，∴∠A＝60°，∠ACA′＝60°，∴△AA′C是等边三角形，∴AA′＝AC＝1，∴A′D′＝AD＝eq\f(1,2)AA′＝eq\f(1,2)；如解图②，当点D′落在AB边上时，此时A′C⊥AB，设A′C交AB于点E，∵S△CED＝eq\f(1,2)EC·CD·sin∠ECD，S△CAD＝eq\f(1,2)AC·CD·sin∠ACD，∴eq\f(S△CED,S△CAD)＝eq\f(CE,CA)．∵S△CED＝eq\f(1,2)EC·DE，S△CAD＝eq\f(1,2)CE·AD，∴eq\f(S△CED,S△CAD)＝eq\f(ED,AD)，∴eq\f(CE,CA)＝eq\f(ED,AD)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)．∵AE＝AC·cos60°＝eq\f(1,2)，设ED＝eq\r(3)x，则AD＝2x，∴eq\r(3)x＋2x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(2－\r(3),2)，∴A′D′＝AD＝2x＝2－eq\r(3)．三、解答题16．解：(1)原式＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＋1＝1；(2)原式＝eq\f(x－1,x)·eq\f(x2,2（x－1）)＝eq\f(x,2)．17．解：(1)③，17%；解法提示)根据统计数据，将500名学生平均每天睡眠时间按照从小到大的顺序排列，中位数是第250位、第251位数的平均数，∵第250位，第251位数在7≤x<8组，∴中位数落在第③组；达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为eq\f(85,500)×100%＝17%．(2)多数学生平均每天的睡眠时间没有达到9小时，建议学校加强管理，减轻学生的校内课业负担；建议家长不要给孩子增加过多的校外学习任务．(注：答案不唯一，合理即可)18．解：(1)∵反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过点A(1，2)，∴k＝1×2＝2．∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(2,x)；(2)如解图，∵反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象过点B，第18题解图∴正方形OCBD的面积为2．由题意可知，OE＝2，∴正方形OEFG的面积为2×2＝4．∴阴影部分的面积为4×(4－2)＝8．一题多解)(2)由题设点B坐标为(t，t)，代入y＝eq\f(2,x)中得，t＝eq\f(2,t)．∴t＝eq\r(2)，∴B(eq\r(2)，eq\r(2))．则小正方形边长为2eq\r(2)，大正方形边长为4．∴S阴影＝42－(2eq\r(2))2＝16－8＝8．19．解：设BD＝xm，在Rt△BDA中，∠BDA＝90°，∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x．在Rt△CDA中，∠CAD＝37．5°，∴CD＝AD·tan37．5°≈0．77x．∵BC＝4，∴BD－CD＝4，即x－0．77x＝4．解得x≈17．4．答：佛像BD的高度约为17．4m．20．(1)证明：如解图，连接OP，第20题解图∵AP是⊙O的切线，∴OP⊥AP，∴∠OPA＝90°，∴∠PAO＋∠POA＝90°．∵OA⊥OB，∴∠POA＋∠1＝90°，∴∠PAO＝∠1．∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠1＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；(2)解：如解图，过点P作PC⊥NO，垂足为点C．在Rt△POA中，OP＝5，AP＝eq\f(20,3)，∴tan∠PAO＝eq\f(3,4)．∵∠1＝∠PAO，∴tan∠1＝eq\f(PC,OC)＝eq\f(3,4)．设PC＝3x，OC＝4x，则OP＝eq\r(OC2＋PC2)＝5x，∴x＝1，∴PC＝3，OC＝4，∴BC＝5＋4＝9．在Rt△PBC中，BP＝eq\r(PC2＋BC2)＝eq\r(32＋92)＝3eq\r(10)．21．解：(1)设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30,40x＋30y＝1100))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20,y＝10))．答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；(2)设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30－a)个，根据题意，得a≤eq\f(1,2)(30－a)，解得a≤10．设利润为w元，则w＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)＝a＋450，∵1>0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝10时，w有最大值，w最大＝10＋450＝460，则30－a＝30－10＝20，答：应购进A款玩偶10个，B款玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为460元；(3)∵第一次销售利润为(56－40)×20＋(45－30)×10＝470，∴利润率为eq\f(470,1100)×100%≈43%．∵第二次销售利润率为eq\f(460,10×40＋20×30)×100%＝46%，43%<46%，∴从利润率的角度分析，第二次更合算．22．【思维教练】(1)利用待定系数法即可求得m和b的值；(2)要求点B的坐标，可将抛物线与直线的解析式联立求解，再根据抛物线与直线的图象得到不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)要求点M横坐标的取值范围，即利用线段MN与抛物线只有一个公共解，分情况说明．解：(1)∵抛物线y＝x2＋mx经过点A(2，0)，∴4＋2m＝0．∴m＝－2．∵直线y＝－x＋b经过点A(2，0)，∴－2＋b＝0．∴b＝2；(2)当x2－2x＝－x＋2时，x1＝－1，x2＝2．∴点B的坐标为(－1，3)．结合图象可知，不等式x2＋mx>－x＋b的解集为x<－1或x>2；(3)－1≤xM<2或xM＝3．解法提示)如解图①，∵A(2，0)，B(－1，3)，∴当点M在AB线段上(不含点A)时，线段MN与抛物线只有一个公共交点；如解图②，当线段MN经过抛物线顶点P时，线段MN与抛物线只有一个公共交点，∵P(1，－1)，∴点M的纵坐标为－1，∴xM＝3，综上所述，点M的横坐标xM的取值范围是－1≤xM＜2或xM＝3．第22题解图23．【思维教练】(2)要判段OP是否为∠AOB的平分线，可结合题干中线段的等量关系，考虑利用全等三角形及等腰三角形的性质证明；(3)要求线段OC的长，由于点C是动点，要确定点C的位置，可通过分类讨论，结合等角转换和解直角三角形的方法求解．解：(1)⑤；(2)是．(注：若没写出判断结果，但后续证明正确，不扣分)理由如下：由作图可知，OC＝OD，OF＝OE．又∵∠COF＝∠DOE，∴△COF≌△DOE．∴∠OFC＝∠OED．如解图①，连接EF，∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF．∴∠PFE＝∠PEF．∴PF＝PE．又∵OP＝OP，OF＝OE，∴△FOP≌△E