浙江2022年数学高三年级上册期中测试卷（含答案解析）

浙江地区2022学年高三上

期中测试数学卷参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.解：因为集合4={-1,0,1},B={\,3,5},C={0,2,4},

所以A0|8={1},

则（An8）|JC={0,1,2,4）.

故选：C.

2.解：若a>0,b>0,。>2且匕>2贝Ua+〃>4,/.“a>2且匕>2"="。+匕>4"；

由a+6>4,比如a=l,6=4但是不一定〃>2且6>2.“a+0>4”推不出"a>2且b>2”；

“a>2且b>2”是“a+b>4”的充分不必要条件.

故选：A.

3.解：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面谢，平面BCDE,四棱锥的高

为1,四边形3CDE的边长为1正方形，

则5皿=3以1=：'SABC=SABE=；X1XO=与，SACD=lxlx>/5,

4.解：・・・/（T）=G）sg）_』/（x）,

36

二.函数/（©为偶函数，其图象关于y轴对称，排除

/（%）=—四，排除C,

6

/•（^.）=A（sin±_l）<o,排除3,

1236122

故选：A.

5.解：由题意可得，甲在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为。❷学60。。1^,

同理，乙在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为0.99360a0.03,

丙在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为0.99攻。0.03,

故甲、乙、丙三人在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为0.033=0.000027,

故甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为1-0.000027=0.999973,

故选：B.

71

tan——btana

1+tana1

6,解：•/tan(—+a)=--------------------------------二—，

4i冗

1-tan—tana1-tana2

4

.•.3tana=-l,

解得：tana=--；

3

sin2a-cos2a2sinacosa-cos2a1115

------------------=---------------z-----------=tana——=---------=——

1+cos2a2cos-a2326

故选：B.

7.解：因为20=3,2"=6,2c=12,根据对数定义得:a=log^,b=log^,c=log^2；

ffi]/?-6Z=10g2-10g2=10g2|=10g^=1；

C-0=k)g；2-log；=噫=1,

所以〃一a=c—b,数列〃、b、c为等差数歹

而2片£,所以数列a、b、c不为等比数列.

ab

故选：A.

8.解：以。为原点，A4为工轴，DC为y轴，0A为z轴，建立空间直角坐标系,

贝IJ尸(1,0,半)，0(g,g,0),E(0,0,亭,B.d，1,a),

—■11r—■11J2

OBX=(―,—,>/2),OE=(——,—,

22222

一112拒一•'J?

OF=4-),E线=(1,1,二)，£F=(1,O,^-),

22326

设平面。与E的法向量沅=(x,y,z),

m.+；y+&z=0

则取x=l,得用=(1,-1,0),

m--OnpE———1x1yd,-----z=0n

222

同理可求平面。87的法向量为=(-5^,-72,3),

平面OEF的法向量)=(-[，¥，3),平面EF耳的法向量"=-0,3).

m-n近，cos”ni'p4734mq_V46

cosa=COS/=

Iwllnl61\m\-\p\34\tn\'\q\46

:.y>a>0.

故选：D.

9.解：函数f（x）=d—2x+火=（x-l）2+Z-l,

•.•啜k2,

x=1时,f（x）min=k-\；x=2时，f（x）皿=k,

•对定义域内的任意实数占、々、/不等式/（西）+/（々）+/（凡）>/*4）恒成立，

3（攵-1）>k,

,3

:.k>一,

2

实数左的取值范围是g,+00）.

故选：B.

10.解：直线y=尤+1上有两点A（q,仇），B（a2,瓦）,且6>。2.

设砺和砺的夹角为6,

所以21+b\b21=Jq2+b：Ja^+么2,

即2x|OA.OB\=2\OA\4OB\<OS0\=\OA\iOB\,

所以cos6=±L,

2

所以e=工或e=空.

33

若|AB|=2+a,

所以y=x-1上存在两个符合条件的点C,每个C点都确定唯一一个点A,

所以这样的点A共有4个.

故选：D.

二.填空题（共7小题）

11.解：•・,复数z满足（l-i）z=2i（，为虚数单位），

._21_2/（1+0..

..z=---=----------=-1+z，

1-i（l-z）（l+Z）

故IZ|=拒，

故答案为：—1+/;母.

12.解：(x+3-4)5的展开式中，令x=l,可得所有项的系数和为1.

X

(x+3-4)5的展开式中，通项公式为(+1=C；.(x+-)5-r4^)r.

XX

对于(X+与T,通项公式为TM=C1M*,

X

令5-r-2%=4,r=0,1,2,3,4,5,k=0,1,2,....5-r,

可得r=1、k=0,故/项的系数为C；.(-4)i.C：4°=—20,

故答案为：1;-20.

13.解：因为b=4,C=2A,3a=2c,

可得c=即，

2

3a

所以由正弦定理，一=—也，可得‘一=——Z-----整理可得COSA=3,

sinAsinBsinA2sinAcosA4

2

9a2

>2,2__2104------ClQ

由余弦定理可得cosA=-a=----J—=-,整理可得5/-364+64=0,

2x4x-

2

解得：〃=4或

5

故答案为：4或3.

45

67+—+/?=1

14.解：由题设知：<3

(一l)xa+0x—+1x8=-

33

解得a=-9b=—t

62

.­.O^=(-l--)2xl+(0--)2xl+(l-l)2xl=5

3633329,

故答案为：--

29

15.解：-.-^>0,a>0,所以离心率e=?=i

圆(x-c)2+y2=〃2是以尸(c,0)为圆心，半径r=a的圆，

要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直

必有|万|=&。，而焦点尸(c,0)到双曲线渐近线的距离为b,

所以|乔,

即已，血，所以e=£=Jl+(与”百,所以双曲线M的离心率的取值范围是(1,V3].

aa\a

x

44

由对勾函数的性质可知，y=]x+-\=\x\+\—\..A当且仅当x=2或1=一2时取等号，

XXf

4

.・"(x)=|x+-|Y的零点有2个，；

x

①当机＞0时，由对勾函数的性质可知，/(X)=|x+—|-4..27W-4,

X

当且仅当工=±诟时取等号，

要使得函数/(X)有4个零点，则2标＜4,

/.0＜m＜4,

②利=0时，/(X)=|x|-4有2个零点，不符合题意；

③当机＜0时，/(x)=|x+'|..()当且仅当x=±C百时，等号成立，此时函数有4个零点

X

综上可得，〃z的范围(TO,0)U(0,4)

故答案为：(-00,0)U(0,4).

17.解：如图，设。4=a],。4=a2,

1

由Iq-Ojbl,且|q-勺|e{l,2},

分别以A，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个.

故满足条件的左的最大值为6.

故答案为：6.

三.解答题(共5小题)

18.解：(I)f(x)=—cos2x+—sin2x-sin2x=—sin2x+—coslx=sin(2x+—).

22223

所以/(x)的最小正周期T=/=万，最大值为1,最小值为-1.

(II)由”万一生发由x+&2kK+—,左wZ可解得：k兀———^!kk/r+—,ICGZ.

2321212

故函数单调递增区间是枕万-碧，后乃+苴］，ZeZ.

由2ATT+2效如c+工Ikrt+—>keZ可解得：ATT+二麴kkn+—,k&T..

2321212

故函数单调递减区间是内万+2，氏+苧，keZ.

19.(I)证明：如图，以C为原点，CA,CB所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标

系，

设B4=AC=3C=2,贝UA(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,0),P(2,0,2),

3142

所以M(l,1,1),E(1,0,1),N(-,0,—)，D(-,-,0),

2233

(M,N,。三个点坐标各占一分)

所以丽=CD=4,1,0),

因为丽•丽=0,

所以MNLCD.

(H)解:由(I)知丽=(-2,2,-2),丽=(2,0,2),CD=(-,-,0),

33

设平面PCD的法向量=(x,y,z),

n.PC=0

由，

M.CD=0

2x+2z=0

可得,42，令x=],则y=—2,z=—l

—x+—y=0

133*

故平面PCD的一个法向量为n=(1,-2,-1),

设直线PB与平面PCD所成的角为6,则sind="川=「4「=_—.

|PBHn|2y/3xV63

20.解：(1)由题意可知，当”=1时，q=2“|—lnq=l.

r-1可得.”=2""~

当〃..2时，由n'=小

所以%=2"，

(2)由(1)可得5“=2"-1,

2"11

法一：既-----------------------------------------------,--------

(2用一1)2(2向-1)(2向-2)-(2,,+,-1)(2"_1)-2"-12,,+|-1

++-<J______L_,_!_______L_11=1----5—<2.

所以3+%+…H-----------：

2223n+1n+l

■"5„+12-12-12-l2-12"-l2-l2-1

2”+1I1

法二：器=2(.

n+,---2-;----r+1<----:-----------

%+1(2-l)(2"-1)(2"-1)2"-12"*i

所以各+W+…+葬<2（六一告）=2-号<2.

21.（本小题满分12分）

解：⑴•.•椭圆Q:1+y2=im>i）,",4分别是其左、右焦点,

a

以线段片鸟为直径的圆与椭圆。有且仅有两个交点，

由题意可知c=6=l,

:.a=^2,故椭圆的方程为；+V=l.

（2）设直线/方程为y=Z（x+l）,优片0）,

代入上+尸=1,得(1+2公+4产x+2公-2=0,

2

设4%，y),B(X2,y2),AB中点N(x0,%),

4公2k2-2

,.内+々=-^2=T72F-

I,、2公,,、、k

•』=#+々)=-百’％=/。+”强，

.,.4?的垂直平分线方程为y-%=」（工-不），

k

=

令"y=0,不导Xp/+