2020年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷

2020年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题1.下列二次根式中，与eq\r(3)是同类二次根式的是()A.eq\r(6)B.eq\r(9)C.eq\r(12)D.eq\r(18)2.用换元法解方程eq\f(x＋1,x2)＋eq\f(x2,x＋1)＝2时，若设eq\f(x＋1,x2)＝y，则原方程可化为关于y的方程是()A.y2－2y＋1＝0B.y2＋2y＋1＝0C.y2＋y＋2＝0D.y2＋y－2＝03.我们经常将调查、收集得来的数据用各种统计图进行整理与表示，下列统计图中，能表示由数据所表现出来的部分与整体的关系的是()A.条形图B.扇形图C.折线图D.频数分布直方图4.已知反比例函数的图象经过(2，－4)，那么这个反比例函数的解析式是()A.y＝eq\f(2,x)B.y＝－eq\f(2,x)C.y＝eq\f(8,x)D.y＝－eq\f(8,x)5.下列命题中，真命题是()A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6.如果存在一条线把一个图形分割成两部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，下列图形中，平移重合图形是()A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆二、填空题7.计算：2a·3ab＝__________.8.已知f(x)＝eq\f(2,x－1)，那么f(3)的值是__________.9.已知正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的增大而__________.(填“增大”或“减小”)10.如果关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是__________.11.如果从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任意选取一个数，那么选到的数恰好是5的倍数的概率是__________.12.如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是__________.13.为了了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数为__________.14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图所示，在进口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为__________米．第14题图15.如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a→，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b→，那么向量eq\o(BD,\s\up6(→))用向量a→、b→表示为__________.第15题图16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行__________米．第16题图17.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联接AD.如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为__________.第17题图18.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，⊙O的半径为2，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO的长取值范围是__________．第18题图三、解答题19.计算：27eq\s\up6(\f(1,3))＋eq\f(1,\r(5)＋2)－(eq\f(1,2))－2＋|3－eq\r(5)|.20.解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＞7x＋6,x－1＜\f(x＋7,3))).21.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3eq\r(5).(1)求梯形ABCD的面积；(2)联接BD，求∠DBC的正切值．第21题图22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.(1)求证：△BEC∽△BCH；(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.第23题图24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，直线y＝－eq\f(1,2)x＋5与x轴、y轴分别交于A、B，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A.(1)求线段AB的长；(2)如果抛物线y＝ax2＋bx经过AB上的另一点C，且BC＝eq\r(5)，求这条抛物线的表达式；(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．第24题图25.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.(1)求证：∠BAC＝2∠ABD；(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；(3)当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．第25题图2020上海中考数学真题解析1.C【解析】eq\r(6)与eq\r(3)不是同类二次根式，故选项A不符合题意；eq\r(9)＝3，eq\r(9)与eq\r(3)不是同类二次根式，故选项B不符合题意；eq\r(12)＝2eq\r(3)，eq\r(12)与eq\r(3)是同类二次根式，故选项C符合题意；eq\r(18)＝3eq\r(2)，eq\r(18)与eq\r(3)不是同类二次根式，故选项D不符合题意．故选C.2.A【解析】根据题意，原方程可化为y＋eq\f(1,y)＝2，整理得y2－2y＋1＝0.故选A.3.B【解析】根据统计图的特点，能表示由数据所表现出来的部分与整体的关系的统计图是扇形图．故选B.4.D【解析】∵反比例函数的图象经过(2，－4)，∴xy＝2×(－4)＝－8，∴反比例函数解析式为y＝－eq\f(8,x).故选D.5.C【解析】对角线互相垂直的梯形不一定是等腰梯形，也可以是一般梯形，故选项A错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故选项C正确；对角线平分一组对角的梯形不是直角梯形，故选项D错误．故选C.6.A【解析】过平行四边形对边中点的直线，把平行四边形分成两部分，将其中一部分平移后能与另一部分重合，在等腰梯形、正六边形、圆中不存在这样的直线．故选A.7.6a2b【解析】根据单项式乘以单项式的法则，可得2a·3ab＝6a2b.8.1【解析】当x＝3时，f(3)＝eq\f(2,3－1)＝eq\f(2,2)＝1.9.减小【解析】∵函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴y的值随x的值增大而减小．10.4【解析】∵关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.11.eq\f(1,5)【解析】∵1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中，只有5和10这两个数是5的倍数，∴P(选到的数是5的倍数)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).12.y＝x2＋3【解析】根据抛物线平移的规律可知平移后的抛物线的解析式是y＝x2＋3.13.3150【解析】估计该区会游泳的六年级学生人数为8400×eq\f(150,400)＝3150(名)．14.7【解析】∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴eq\f(AC,BD)＝eq\f(AE,BE)，∵AB＝1.6，BD＝1，BE＝0.2，∴eq\f(AC,1)＝eq\f(1.6－0.2,0.2)，解得AC＝7，故井深AC为7米．15.2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＋eq\o(a,\s\up6(→))＝2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)).16.350【解析】设线段AB的解析式为y＝kx＋b，把点(8，960)，(20，1800)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8k＋b＝960,20k＋b＝1800))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝70,b＝400))，∴线段AB的解析式为y＝70x＋400(8≤x≤20)，∴当x＝15时，y＝70×15＋400＝1450，∴到学校还需步行1800－1450＝350米．17.eq\f(3\r(3),2)【解析】如解图，作EF⊥BC于点F，∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝4，∵AB＝4，∴AB＝BD，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝120°，由翻折的性质可知∠ADE＝∠ADC＝120°，CD＝DE＝3，∴∠BDE＝60°，在Rt△DEF中，EF＝DE·sin∠BDE＝3×sin60°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，即点E到BD的距离为eq\f(3\r(3),2).第17题解图18.eq\f(10,3)＜AO＜eq\f(20,3)【解析】在矩形ABCD中，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴sin∠CAD＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，如解图①，当⊙O与AD相切于点E时，连接OE，则OE⊥AD，在Rt△AOE中，sin∠CAD＝eq\f(3,5)＝eq\f(OE,AO)，OE＝2，∴AO＝eq\f(10,3)；如解图②，当⊙O与BC相切于点F时，同理可得OC＝eq\f(10,3)，∴AO＝10－eq\f(10,3)＝eq\f(20,3)，∴eq\f(10,3)＜AO＜eq\f(20,3).第18题解图19.解：原式＝3＋eq\r(5)－2－4＋3－eq\r(5)＝0.20.解：解不等式10x＞7x＋6，得x＞2，解不等式x－1＜eq\f(x＋7,3)，得x＜5，∴不等式组的解集为：2＜x＜5.21.解：(1)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形AECD是矩形，∴AE＝CD＝5.∵AB＝8，∴BE＝3.在Rt△BCE中，由勾股定理可得：CE＝eq\r(BC2－BE2)＝eq\r(（3\r(5)）2－32)＝6，第21题解图∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)×(5＋8)×6＝39；(2)如解图，过点C作CF⊥BD于点F，∵∠DAB＝90°，AB＝8，AD＝CE＝6，∴BD＝10，∵S△BCD＝S梯形ABCD－S△ABD，∴eq\f(1,2)×10·CF＝39－eq\f(1,2)×6×8，解得CF＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理可知BF＝eq\r(BC2－CF2)＝eq\r(（3\r(5)）2－32)＝6，∴tan∠DBC＝eq\f(CF,BF)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).22.解：(1)∵第七天的营业额是前六天总营业额的12%，∴这七天的总营业额为450＋450×12%＝504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”七天的总营业额为504万元；(2)∵“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，∴9月份的营业额为504万元．设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x，根据题意得350×(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，∴该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.23.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD.∵BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．∴∠BCE＝∠DCF.又∵AB∥CD，∴∠H＝∠DCF.∴∠BCE＝∠H.∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，BC∥AD.∴△BEC∽△AEG.∴eq\f(BE,AE)＝eq\f(BC,AG)，即eq\f(BE,AE)＝eq\f(AB,AG).∴BE·AG＝AB·AE.∵BE2＝AB·AE，∴BE2＝BE·AG.∴BE＝AG.∵BE＝DF，∴AG＝DF.24.解：(1)在y＝－eq\f(1,2)x＋5中，令x＝0，得y＝5，令y＝0，得x＝10，∴A(10，0)，B(0，5)．∴OA＝10，OB＝5.∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(102＋52)＝5eq\r(5)；(2)如解图，过点C作CH⊥y轴于点H，则CH∥AO，第24题解图∴△BHC∽△BOA.∴eq\f(BH,BO)＝eq\f(CH,AO)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(5),5\r(5))＝eq\f(1,5).∴BH＝eq\f(1,5)BO＝1，CH＝eq\f(1,5)AO＝2.∴OH＝4.∴点C的坐标为(2，4)，∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A、C，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100a＋10b＝0,4a＋2b＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4),b＝\f(5,2))).∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(5,2)x；(3)∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A(10，0)，∴100a＋10b＝0，即b＝－10a.∴y＝ax2－10ax，即y＝a(x－5)2－25a.∴顶点D的坐标为(5，－25a)，将x＝5代入y＝－eq\f(1,2)x＋5，得y＝eq\f(5,2)，∵抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，∴0＜－25a＜eq\f(5,2)，解得－eq\f(1,10)＜a＜0.∴a的取值范围为－eq\f(1,10)＜a＜0.25.(1)证明：如解图①，连接AO，并延长交BC于点H，∵AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，∴AH⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO＝α，即∠BAC＝2α.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠OBA＝