量子力学课件薛定谔方程清华大学课件公开课一等奖课件省课获奖课件

回忆：叠加原理几率振幅。第1页常数相位绝对常数相位没故意义相对常数相位才是故意义依赖于能够在测量成果中反应第2页变化相位是故意义（能够在测量中反应出来）

第3页波函数所包括物理内容不但仅是几率密度，尚有相位！第4页§2.2薛定谔方程1.薛定谔方程

量子力学基本定律是波函数所满足偏微分方程。这个基本定律在本质上是一种假说。

第5页

德布罗意物质波概念推广第6页薛定谔方程“建立”寻找deBroglie波满足方程，并加以推广这不是严格推导（薛定谔方程不能由旧理论严格导出）第7页由deBroglie波

寻找deBroglie波满足方程因此又因有第8页再推广到具有势能U情况两边作用于波函数第9页记住便于记忆形式第10页第11页单粒子情况t=0t=T标准上，能够由薛定谔方程给出所有也许状态，U（r）决定态演化规律。初始状态（依赖于试验制备）决定任意T时刻状态，即“态演化过程”是确定（但位置x有不确定性，几率分布由波函数给出）。x第12页多粒子（N个粒子）情况非定域性：整个体系状态用3N个空间坐标和一种时间坐标描述。第13页2.几率守恒定律与几率流密度

由薛定谔方程导出一种反应几率守恒定律，从而引入几率流密度概念。

几率密度根据薛定谔方程第14页几率流密度推导（单粒子）几率密度时间演化：薛定谔方程第15页定义流密度记则这是薛定谔方程造成成果，代表一种守恒定律

。由于w是几率密度，因此J能够理解为几率流密度。第16页理解（推导积分形式）对任何体积V，对上式积分等式右方用Gauss定理，得VSV内部几率变化由边界流入或流出量。第17页薛定谔方程能够满足全空间几率守恒代表全空间几率守恒，事实上也就是粒子数守恒。相对论情况薛定谔方程不成立，以上成果也不成立；事实上相对论情况有粒子产生和消灭，粒子数一般不守恒！，第18页电流密度几率流密度电流密度能够应用于原子内部电子运动电流计算能够应用于超导体等量子系统电流计算第19页几率流密度体现式另一种形式c.c.代表前面一项复共轭。第20页例题对平面波情况求几率流密度第21页3.薛定谔方程求解——定态薛定谔方程方程求解-分离变量法：设代入薛定谔方程先寻找特解（一系列基本函数），再叠加生成通解两边同步除以第22页左边（t）=右边（r）任意t，r均成立，而左边与r无关，因此右边与r也应当无关，右边与t无关，因此左边也应当与t无关。因此两边都等于一种与t，r都无关常数E第23页时间部分第24页空间部分（定态薛定谔方程）定态薛定谔方程第25页定态概念完整定态波函数（定态薛定谔方程解乘以时间因子）对比deBroglie波，我们发觉常数E物理意义正是粒子能量。定态就是能量E确定状态。第26页定态下可观测量（如空间按几率密度、几率流密度、动量几率密度等）都是稳定（不随t变化）与玻尔原子模型中定态概念类似，不过没有“轨道运动”假设第27页定态薛定谔方程就是能量本征方程第28页思考题两个不一样定态叠加生成态是否是定态？提醒：第29页4.波函数应满足条件

从波函数几率解释以及波函数满足二阶微分方程这一要求，一般地说，波函数应当满足下列三个条件：(1)单值性；(2)有限性；(3)连续性。连续性一般意味着和都连续，但在势能有没有穷大跳跃地方，允许不连续。第30页作业作业：p.52,#2.2，注意：在球坐标中,第31页§2.3一维运动问题一般分析

1.一维定态薛定谔方程解一般性质

一维定态薛定谔方程是二阶常微分方程，容易求解它解有如下规律第32页Wronskian定理若都是方程解(能量相同)，则(c是与x无关常数)，称为Wronskian定理。第33页Wronskian定理证明

证明：定态方程两个解满足第34页另外两个定理共轭定理：若是定态行薛定谔程解，则也是该方程解(且能量相同)。

反射定理：对(原点对称势)，那么若是该方程解，则也是该方程解(且能量相同)。（由定态薛定谔方程能够直接证明，请自己完成）第35页2.一维定态分类：束缚态与非束缚态若则束缚态相反情况是非束缚态（或称为散射态）第36页例子束缚态：原子中“束缚”电子人工量子微构造束缚态几率分布被限制在有限空间范围内。非束缚态：如自由电子；电离态原子第37页3.一维束缚态一般性质先引入一种概念－简并与非简并假如对一种给定能量，只有一种线性独立波函数存在（即只有一种状态），则称该能级是非简并，不然称它是简并，其线性独立波函数个数称为它简并度。线性独立定义：对常数c1，c2第38页一维束缚态不简并定理定理：一维束缚态必是非简并态（能够由Wronskian定理证明）。En第39页不简并定理证明

证明（反证法）：利用Wronskian定理与束缚态性质，推导如下：

假设简并，则方程有两个线性独立解，不过由第40页两个函数不是线性独立（对应同一种状态），因此不简并。与题设矛盾，故定理得证。*更严格证明应当考虑波函数有节点（为零点）情况，这时需要分段考虑每个节点之间区域，再利用波函数连续性条件证明以上常数C对每一段是同一种常数（可参照曾谨言量子力学卷1，83页）第41页对定理补充说明（1）此定理仅对一维情况成立；二维、三维束缚态能量仍然也许简并（如氢原子、二维、三维谐振子等）；（2）非束缚态能量一般是简并。第42页非束缚态例子例如：一维自由粒子能量是2度简并：即同一种能量E，有两个线性独立波函数，能够取为：第43页两个推论推论1：一维束缚态波函数相位必是常数。即因此波函数能够取为实函数第44页宇称宇称是态主要量子力学性质，它具有“纯量子力学”特性，在典型力学中没有对应物。第45页推论2(宇称定理)：假如则一维束缚态波函数必有确定宇称。第46页束缚态能量离散性定理：束缚态(不只是一维)能级是不连续（仅当能量取某些离散数值时，方程才有符合单值、有限、连续条件解）。这就是一般意义“量子化”。后来将用例子说明能够由波动理论自然地导出能量不连续性。E第47页作业作业(补充题2.2)：证明本节中推论1和推论2。第48