高等数学下册公开课一等奖课件省课获奖课件

高等数学—“十三五”一般高等教育规划教材—GAODENGSHUXUE第1页向量代数与空间解析几何6.１空间直角坐标系6.２向量概念及线性运算6.３向量数量积与向量积6.４曲面方程与空间曲线方程6.５平面方程与空间直线方程6.６常见二次曲面06第2页一、空间直角坐标系在空间中取定一点O，过点O作三条两两互相垂直数轴Ox、Oy、Oz，给它们取相同长度单位，则称点O为坐标原点，分别称三条数轴为x轴（或横轴）、y轴（或纵轴）、z轴（或竖轴）．各坐标轴正向按右手系法则确定，即右手展开四指所指方向为Ox轴正方向，四指与掌心成９０°角时方向为Oy轴正方向，这时大拇指指向就是Oz轴正方向（图６-１），这样就建立了空间直角坐标系，常记这个坐标系为Oxyz．第一节空间直角坐标系第3页三个坐标平面将空间提成八个部分，每个部分称为一种卦限，这八个卦限用下述办法要求其次序，如图６-３所示．第一节空间直角坐标系第一卦限x＞０，y＞０，z＞０；第二卦限x＜０，y＞０，z＞０；第三卦限x＜０，y＜０，z＞０；第四卦限x＞０，y＜０，z＞０；第五卦限x＞０，y＞０，z＜０；第六卦限x＜０，y＞０，z＜０；第七卦限x＜０，y＜０，z＜０；第八卦限x＞０，y＜０，z＜０．第4页二、空间两点间距离设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),为空间中两点，如图６-４所示，过M1M2点分别作垂直于三条坐标轴平面，这六个平面围成一种以M1M2为体对角线长方体，其长、宽、高分别为第一节空间直角坐标系因此，有即第5页第一节空间直角坐标系例1在空间直角坐标系Oxyx中，若点P（x，y，x）坐标满足xyx<0，则点P也许在哪几个卦限内？

解由已知条件xyx<0可知，点P也许在第二、四、五或七卦限.例2已知两点M1（2，5，一1），M₂（一3，1，1），求|M1M2|.

解由空间两点间距离公式，有例3已知点A（4，1，9），B（10，一1，6），C（2，4，3），试判断△ABC几何形状.

解由空间两点间距离公式，有

由于|AB|=|AC|，且有|AB|2+|AC|2=|BC|2，因此△ABC是等腰直角三角形第6页第二节向量概念及线性运算一、向量基本概念

现实世界中，我们经常见到量能够分为两类，其中一类是只有大小量，称为数量（也称为标量或纯量），如温度、时间、长度、质量等；另一类是现有大小，又有方向量，称为向量（或矢量），如力、速度、加速度、电场强度等.几何上，向量常用有向线段来表达，起点为A，终点为B向量记为AB（图6-5）.向量大小（长度）称为向量模，记作|AB|.有向线段方向称为向量方向.一般地，向量也可用黑体小写字母表达，如a、b等，有时为了书写方便也用a、b表达向量.第7页第二节向量概念及线性运算二、向量线性运算

1.向量加法由物理学可知，作用于同一质点两个力F1与F2协力F可由平行四边形法则（图6-6）或三角形法则求得.据此能够定义向量加法.设a与b为不在同一条直线上两个向量，将它们始点移至同一点O，并记a=OA，b=OB.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图6-7所示，则称向量OC=c为向量a与b和向量，记作c=a+b.这种求向量和办法称为向量加法平行四边形法则.由于向量能够平移，因此，若把向量b起点放到向量a终点上，则自a起点到b终点向量即为向量a与b和向量，如图6-8所示.这种求向量和办法称为向量加法三角形法则.第8页第二节向量概念及线性运算向量加法满足：交换律：a+b=b+a；结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.2.向量减法定义:向量a减向量b等于向量a加上向量b负向量，即a-b=a+（-b）.向量a减向量b运算成果称为向量a与b差.向量减法也可按三角形法则进行，只要把a与b起点放在一起，则以b终点为起点，以a终点为终点向量即是a-b（图6-9）.3.向量与数乘法定义设入为任意实数，向量a与实数入λ乘积是一种向量，记作λa，并且要求：（1）（2）当λ>0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反.（3）当λ=0时，a=0（零向量）第9页第二节向量概念及线性运算三、向量代数表达1.向量坐标表达在空间直角坐标系中，设任一点M（x，y，z），则起点在原点O、终点在点M向量a=OM，称为点M向径（图6-10）.由向量线性运算中数与向量乘法运算，有OA=xi,OB=yj,OC=zk,由向量加法三角形法则，有OM=ON+NM=(OA+AN)+NM=xi+yi+zk,即a=OM=xi+yj+zk由以上论述可知，有序数组（x，y，x）与向量a之间存在一一对应关系，故可用它来表达向量a，记作a=OM=（x，y，z）上式称为向量a坐标表达式，数x，y，x称为向量a坐标.第10页第二节向量概念及线性运算2.向量M1M2坐标表达

在空间直角坐标系中，设两点M1（x1，y1，z1），M2（x2，y1，z2），则对于以M1为起点，以M2为终点向量M1M2（图6-11），有M1M2=OM2-OM1

=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)

=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，则向量M1M2坐标体现式为M1M2=(x2-x1，y2-y1，z2-z1）.3.向量线性运算坐标表达

利用向量坐标表达，能够将向量线性运算转化为坐标间代数运算.设向量a=（x1，y1，z1），b=（x2,y2,z2），则有（1）a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）；（2）a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）；（3）a=（x1，y1，z1）.（为实数）第11页第二节向量概念及线性运算4.向量模及方向余弦坐标表达（1）向量模在空间直角坐标系中，设点M(ax，ay，az)，以原点O为起点，以M为终点向径OM为向量a，由空间两点间距离公式，可知向量a=(ax，ay，az)模，即为

（2）向量方向角及方向余弦向量a=（ax，ay，az）方向能够用a与x轴、y轴、z轴正方向夹角来确定，如图6-12所示.

定义非零向量a与Ox轴、Oy轴、Ox轴正向夹角称为向量a方向角，分别记作α,β,γ（其中，0≤a≤π，0≤β≤π，0≤γ≤π），则方向角余弦cosa，cosβ，cosγ称为非零向量a方向余弦.第12页第三节向量数量积与向量积一、两向量数量积1.数量积定义及性质定义：设两个向量a、b，其夹角为（a，b），则称数|a||b|cos（a，b）为向量a与b数量积（或点积），记作a·b，即a·b=|a||b|cos(a,b)(0≤(a,b)≤π).

性质：两个非零向量a与b垂直（记作a⊥b）充要条件是a·b=0.不难证明，数量积满足下列运算规律：（1）交换律：a·b=b·a；（2）结合律：（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b），其中为实数；（3）分派律：a·（b+c）=a·b+a·c.第13页第三节向量数量积与向量积2.数量积坐标表达

设向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则有a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)=axbx(i·i)+axby(i·j)+axbz(i·k)+aybx(j·i)+ayby(j·j)+aybz(j·k)+azbx(k·i)+azby(k·j)+azbz(k·k)于是可得a·b=axbcx+ayby+azbz.上述公式称为数量积坐标表达式.由此可知，两个非零向量a与b垂直充要条件是尤其地，当a=b时，有由数量积坐标表达式还可得到两个非零向量a与b夹角余弦坐标表达式第14页第三节向量数量积与向量积3.向量在轴上投影如图6-14所示，PR=b，PQ=a，∠RPQ=，S是点R在直线PQ上垂足，那么PS就称为向量b在向量a上投影向量，记作projab.数值|b|cos称为b在a上投影，记作compab.当0≤<

时，projab与a同向，compab>0；当<0≤x时，projab与a反向，compab<0；当=时，即b⊥a，projab=0，compab=0.由于a·b=│a││b│cos=│a│（│b│cos）=│a│compab，因此，a与b数量积又可解释为b在向量a上投影与a模乘积.又由于因此b在向量a上投影可由b与a方向上单位向量作数量积而得.第15页第三节向量数量积与向量积二、两向量向量积1.向量积定义及性质定义：已知向量a与b，若向量c按下列方式给出：

正方向按右手系法则确定，即当右手四指从a正向转向b正向时，大拇指所指方向即是c正方向，则向量c称为向量a与b向量积（或叉积，或外积），记作a×b，即c=a×b.2.向量积坐标表达设向量a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），则有a×b=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)=axbx(i×i)+axby(i×j)+axbz(i×k)+aybx(j×i)+ayby(j×j)+aybz(j×k)+azbx(k×i)+azby(k×j)+azbz(k×k),因此a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,上式称为向量积坐标表达式.第16页第四节曲面方程与空间曲线方程一、曲面方程1.曲面方程定义：假如曲面S与三元方程F（x，y，z）=0有下述关系：（1）曲面S上任一点坐标都满足方程，（2）不在曲面S上点坐标都不满足方程，则称方程F（x，y，x）=0是曲面S方程，而曲面S就是方程F（x，y，z）=0图象.由上述定义可知，作为点几何轨迹曲面S能够用其上点（x，y，x）坐标间方程F（x，y，x）=0来表达.反过来，三个变量x，y，x之间方程F（x，y，x）=0表达点（x，y，x）轨迹所形成曲面S.由此，方程F（x，y，2）=0与空间曲面S建立了对应关系.空间解析几何有关曲面研究，有下列两个基本问题：（1）已知曲面S作为点M（x，y，x）几何轨迹，建立该曲面方程F（x，y，x）=0；（2）已知有关x，y，x方程F（x，y，x）=0，研究该方程所示曲面S几何特性.第17页第四节曲面方程与空间曲线方程2.母线平行于坐标轴柱面方程在xOy坐标平面上，方程F（x，y）=0表达一条曲线C.在空间直角坐标系中，方程F（x，y）=0表达一种曲面.在曲线C上任取一点M0（x，y，0），过该点作平行于Oz轴直线L，在该直线上任取一点M（x，y，z），则点M坐标肯定满足方程F（x，y）=0，可知过点M0且与Ox轴平行直线L落在曲面F（x，y）=0上.由于M0任意性，可理解为由平行于Oz轴直线L沿曲线C移动，所得到曲面上点必满足方程F（x，y）=0.具有这种特性曲面称之为柱面.对应平面曲线C称为柱面准线，平行于Oz轴移动直线L称为柱面母线.3.以坐标轴为旋转轴旋转曲面平面曲线C绕同一平面上定直线L旋转一周所形成曲面，称为旋转曲面.曲线C称为旋转曲面母线，定直线L称为旋转曲面旋转轴.若给定yOz平面上一条曲线C：将C绕Oz轴旋转一周所成曲面称为旋转曲面，称Oe轴为旋转曲面旋转轴（图6-18）.第18页第四节曲面方程与空间曲线方程二、空间曲线方程1.曲线一般式方程一般地，空间两曲面相交，它们交线为一条曲线.设F1（x，y，z）=0和F2（x，y，x）=0为空间两曲面方程，若它们交线为曲线C，则C上任一点坐标肯定满足这两个曲面方程.反之，坐标同步满足这两个曲面方程点也肯定在它们交线C上因此空间曲线方程为此方程称为曲线一般式方程.2.曲线参数方程在平面中，常用参数方程x=x(t),y=y(t)表达一条平面曲线.同理，也能够用参数方程表达一条空间曲线.一般地，空间曲线参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t).其中变量t称为参数.第19页第四节曲面方程与空间曲线方程3.空间曲线在坐标平面上投影曲线方程设空间曲线C方程为

过曲线C上每一点作xOy面垂线，这些垂线在xOy面上垂足所形成曲线就是曲线C在xOy平面上投影.而过曲线C上每一点作xOy面垂线就相称于作一种母线平行于Oz轴柱面，使曲线C位于该柱面上，此柱面称为投影柱面，则这个投影柱面与xOy平面交线就是曲线C在xOy平面上投影.第20页第五节平面方程与空间直线方程一、平面方程1.平面点法式方程

设非零向量n垂直于平面Ⅱ，则称n为平面Ⅱ法向量.显然，平面法向量有没有数个且互相平行.设平面Ⅱ过点M0（x0，y0，z0），n=（A，B，C）为其法向量，下面利用向量运算建立平面Ⅱ方程.设M（x，y，z）是平面Ⅱ上任意一点，则M0M在平面Ⅱ上，由于n⊥Ⅱ，因此，有n⊥M0M，则n·M0M=0,而M0M=（x-x0，y-y0，z-z0），因此A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(1)由于平面Ⅱ上任一点坐标都满足方程（1），而不在平面Ⅱ上点坐标都不满足方程（1），因此，方程（1）就是过点M0（x0，y0，z0）且法向量为n=（A，B，C）平面点法式方程.第21页第五节平面方程与空间直线方程2.平面一般式方程将平面点法式方程（1）展开，得Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0,令D=-Ax0-By0-Cz0，则有Ax+By+Cz+D=0（A，B，C不全为零）.(3)设（x0，y0，z0）为方程（3）一组解，则有Ax0+By0+Cz0+D=0,(4)方程（3）减去方程（4）得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(5)这正是过点（x0，y0，z0）且以n=（A，B，C）为法向量平面方程.而式（5）与式（3）同解，因此，式（3）代表一平面方程，其中n=（A，B，C）为平面法向量.式（3）称为平面一般式方程.第22页第五节平面方程与空间直线方程3.两平面位置关系为了描述平面之间位置关系，先引入两平面夹角定义.两平面法向量之间夹角称为这两个平面间夹角.设两平面Ⅱ1、Ⅱ2方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.它们法向量分别为n1=（A1，B1，C1），n2=（A2，B2，C2）.设这两个平面法向量夹角，即两平面夹角为θ（0°≤θ≤90°），则两平面夹角θ余弦为即为两平面夹角余弦公式.第23页第五节平面方程与空间直线方程4.点到平面距离已知点M0（x0，y0，z0），平面Ⅱ：Ax+By+Cz+D=0，现推寻点M0到平面Ⅱ距离公式.设点M（x，y，z）是平面Ⅱ上任意一点，则Ax+By+Cz=-D.若点M0不在平面Ⅱ上，过点M0作平面Ⅱ垂线，记垂足为N，则M0到平面Ⅱ距离d等于向量M0M在法线n上投影绝对值，即d=│compnM0M│.即为点到平面距离公式.因而d=│compnM0M│=第24页第五节平面方程与空间直线方程二、空间直线方程1.直线点向式方程若非零向量s与直线L平行，则称s为直线L方向向量.显然，一条直线方向向量有没有数个且互相平行.直线上任历来量都平行于该直线方向向量.已知直线上一点以及直线方向向量能确定直线方程.设直线L过点M0（x0，y0，z0），非零向量s=（m，n，p）是直线L一种方向向量，现推导直线L方程.设M（x，y，z）是直线L上任意一点.由于向量M0M=（x-x0，y-y0，z-z0）在直线L上，因此M0M∥s，

即有上式称为直线点向式方程，或称为标准式方程，或称为对称式方程.m，n，p称为方向数.第25页第五节平面方程与空间直线方程2.直线参数式方程对于直线点向式方程假如令其比值为t，即则有（2）上式（2）称为直线参数式方程，t称为参数.3.直线一般式方程空间直线还能够看作是两个不平行平面交线，因此可用这两个平面方程联立方程组来表达一条直线，即用两个系数不成百分比三元一次方程组成方程组第26页第五节平面方程与空间直线方程表达一条直线，称上式（3）为直线一般式方程.（3）4.两直线位置关系设两直线方程为则它们方向向量分别为s1=（m1，n1，p1），s2=（m2，n2，p2）.由两直线方向向量夹角余弦公式可知，这两直线夹角θ（0°≤θ≤90°）满足第27页第五节平面方程与空间直线方程5.直线与平面位置关系已知直线L与平面Ⅱ，其方程分别为过直线L作一种与平面Ⅱ垂直平面Ⅱ1，则称Ⅱ山与IⅡ交线L′是直线L在平面Ⅱ上投影线.直线L与它在Ⅱ投影线L′有两个交角，现定义θ（0°≤θ≤90°）为直线与平面夹角，如图6-22所示.直线L与平面Ⅱ法向量n之间夹角为或.设直线L方向向量为s=（m，n，p），由于故由两向量间夹角余弦公式，可得上述公式称为直线与平面夹角公式．第28页第六节常见二次曲面1.椭球面由方程所确定曲面称为椭球面，其中a，b，c分别为椭球面半长轴、半中轴及半短轴.如图6-23所示.当a=b=c时，椭球面即为球面.一般对所给曲面方程使用平行截痕法研究其曲面几何特性.所谓“平行截痕法”，即是用三组平行于坐标面平面截割所给曲面，通过所得截痕，分析曲面几何特性.用xOy面（x=0）来截椭球面，其截痕为xOy平面上椭圆第29页第六节常见二次曲面2.单叶双曲面由方程所表达曲面称为单叶双曲面.3.双叶双曲面由方程所表达曲面称为双叶双曲面.4.二次锥面由方程所表达曲面称为二次锥面.第30页第六节常见二次曲面5.椭圆抛物面由方程所确定曲面称为椭圆抛物面.6.双曲抛物面由方程所确定曲面称为双曲抛物面.第31页多元函数微分学7.１多元函数极限与连续7.２偏导数与高阶偏导数7.３全微分7.４复合函数与隐函数微分法7.５方向导数与梯度7.６多元函数微分法在几何上应用7.7多元函数极值07第32页一、多元函数概念第一节多元函数极限与连续1.多元函数定义定义：设有三个变量x，y和x，D是xOy坐标面上非空点集，假如对任意点（x，y）D，变量z按照一定法则f，总有唯一确定值与之对应，则称z是变量x，y二元函数.记作x=f(x,y),(x,y)D.2.二元函数定义域二元函数定义域是二维平面R2上非空点集.三元函数定义域是三维空间R3上非空点集.类似地，n元函数定义域是n维空间Rn上非空点集.求二元函数定义域与求一元函数定义域办法相类似.二元函数z=f（x，y）定义域就是使得体现式f（x，y）故意义点集合.对于实际问题，定义域还应当根据问题实际意义来确定.第33页第一节多元函数极限与连续3.二元函数几何意义在平面直角坐标系中，一元函数y=f（x）图形，一般表达xOy坐标平面上一条曲线.对于二元函数x=f（x，y），则需要在空间直角坐标系中研究它几何意义.设函数x=f（x，y）定义域是xOy坐标平面上点集D，对于D内任意一点P0（x0，y0），把所对应函数值z0=f（.x0，y0）作为竖坐标，就得到空间直角坐标系中一种确定点M0（x0，y0，z0）.当点P（x，y）取遍定义域D内所有点时，对应点M（x，y，z）轨迹就形成了空间中一张曲面（图7-4），这就是二元函数几何意义.而二元函数定义域D就是此空间曲面在xOy平面上投影.三元或三元以上多元函数没有直观几何意义.第34页二、二元函数极限第一节多元函数极限与连续定义：设二元函数z=f（x，y）定义域为D，P0（x0，y0）D，且在P0（x0，y0）任一去心邻域内都有使f（x，y）有定义点.假如对于任意给定正数，总存在正数，使得对于满足不等式一切点P（x，y），都有或恒成立，则称常数A为函数z=f（x，y）当x→x0，y→y0时极限.记作其中第35页三、二元函数连续性第一节多元函数极限与连续类似于一元函数连续定义，给出二元函数连续定义.定义1：设函数z=f（x，y）定义区域为D，P0（x0，y0）D，假如则称函数x=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.点P0称为x=f（x，y）连续点.定义2：设函数z=f（x，y）定义区域为D，且P0（x0，y0）D，P（x0+△∈x，y0+△y）∈D，假如则称函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.若函数z=f（x，y）在区域D上每一点处都连续，则称x=f（x，y）在区域D上连续.二元连续函数x=f（x，y）图形是一张曲面.第36页一、偏导数概念第二节偏导数与高阶偏导数1.偏导数定义定义：设函数x=f（x，y）在点（x0，y0）某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，对应地函数有增量△zx（称为对x偏增量），即△zx=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0),

它是平面y=y0上一条曲线z=f（x，y0）.根据导数几何意义，可知偏导数fx（x0，y0）就是曲线x=f（x，y0）在点M0（x0，y0，f（x0，y0））处切线Tx有关Ox轴斜率（图7-10）.２．偏导数几何意义几何上，二元函数z=f（x，y）图形表达空间一张曲面.当y=y0时，曲面z=f（x，y）与平面y=y0交线方程为第37页二、偏导数计算办法第二节偏导数与高阶偏导数

从多元函数偏导数定义可知，多元函数对某一变量求偏导数时，其他变量均视为常量，因此多元函数求偏导数，事实上可视为一元函数求导数.这样，一元函数求导法则和求导公式对求多元函数偏导数仍然适用.例如，求二元函数z=f（x，y）偏导数，能够将y看作常数，只需z对x求导数；求偏导数时，能够将x看作常数，只需z对y求导数.因此利用一元函数求导法则和公式求多元函数偏导数即可.第38页三、高阶偏导数第二节偏导数与高阶偏导数

设函数x=f（x，y）在区域D上有偏导数

一般地说，fx（x，y），fy（x，y）仍为x，y函数.若这两个偏导数fx（x，y），fy（x，y）偏导数仍然存在，则称fx（x，y），fy（x，y）偏导数为函数z=f（x，y）二阶偏导数.

类似地，能够定义更高阶偏导数，例如，对x三阶偏导数是

对x二阶偏导数，再对y求偏导数是

同样可得四阶、五阶乃至n阶偏导数.一种多元函数（n-1）阶偏导数偏导数称为本来函数n阶偏导数.第39页一、全微分概念第三节全微分

定义:设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）某邻域内有定义，若函数全增量可表达为其中，A，B与△x，△y无关，当→0时，o（）是比高阶无穷小，则称A△x+B△y为z=f（x，y）在点（x0，y0）处全微分，记作，即并称函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微.第40页二、全微分存在必要条件和充足条件第三节全微分

定理1（全微分存在必要条件）:若函数z=f（x，y）在点（.x0，y0）处可微，则它在点（x0，y0）处必连续，且两个偏导数fx（x0，y0），fy（x0，y0）都存在，并有

定理2（全微分存在充足条件）:若函数z=f（x，y）在点（x，y）处偏导数fx（x，y），fy（x，y）存在且连续，则z=f（x，y）在点（x，y）处可微.第41页三、全微分在近似计算中应用第三节全微分设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，则函数在该点全增量能够表达为其中由全微分定义知，当→0时，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处全增量与全微分之差是一种比高阶无穷小，因此，当|△x|和|△y|都很小时，有如下近似计算公式：或写为利用上述公式，能够计算函数f（x，y）在点（x0，y0）处全增量△z和点（x0，y0）附近函数值f（x0+△x，y0+△y）近似值.第42页一、复合函数微分法第四节复合函数与隐函数微分法

1.复合函数微分法则

定理：若函数u=（x，y），v=（x，y）在点（x，y）处有偏导数，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处有连续偏导数，则复合函数z=f[（x，y），（x，y）]在点（x，y）处偏导数存在，且有

2.全微分形式不变性我们已经懂得，一元函数有微分形式不变性.类似地，多元函数也有微分形式不变性，即对于函数z=f（u，v），无论u，v是自变量，或是中间变量，它微分形式都是同样，亦即这一性质称为全微分形式不变性.第43页二、隐函数微分法第四节复合函数与隐函数微分法

1.由二元方程F（x，y）=0所确定一元隐函数y=f（x）求导公式设隐函数关系y=f（x）由二元方程F（x，y）=0确定，那么，必然有F[x,f(x)]=0.其左端能够看作是x一种复合函数，若F（x，y）有连续偏导数，等式两端对x求全导数，有

2.由三元方程F（x，y，z）=0所确定二元隐函数z=f（x，y）求导公式与一元隐函数概念类似，把由三元方程F（x，y，x）=0所确定隐函数z=f（x，y）称为二元隐函数.由方程F（x，y，x）=0能够直接求出所确定隐函数z=f（x，y）偏导数.第44页一、方向导数第五节方向导数与梯度

定义：设函数z=f（x，y）在点P（x，y）某一邻域内有定义，自点P引一条射线l，它与Ox轴正向夹角为a，与Oy轴正向夹角为β（图7-19），在射线l上任取一点P′（x+△x，y+△y），则P与P′之间距离为

定理:假如函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微，则函数在该点沿任一方向l向导数存在，且其中，cosα，cosβ是l方向方向余弦.第45页二、梯度第五节方向导数与梯度

定义：定义设函数z=f（x，y）在点P（x，y）某一邻域内有连续偏导数，则称向量为函数z=f（x，y）在点P（x，y）处梯度，记作gradz，即梯度概念能够推广到三元函数.设函数u=f（x，y，z）在点P（x，y，z）处可微，称向量为函数u=f（x，y，z）梯度，记作gradu，即

与二元函数梯度类似，三元函数梯度也是一种向量，它方向与方向导数取得最大值方向一致，而它模为方向导数最大值.第46页一、空间曲线切线与法平面第六节多元函数微分法在几何上应用

利用多元函数微分法，能够求出空间曲线上任一点M处切线方程与法平面方程.设空间曲线L由参数方程给出

假设x（t），y（t），z（t）都可导，且导数不一样步为零.当参数t=t0时，对应于曲线L上点M0（x0，y0，z0），当参数t=t0+△t时，对应于曲线L上点M（x0+△x，y0+△y，z0+△z）.由空间解析几何可知，割线M0M方程为

曲线L在点M0处法平面方程为第47页二、空间曲面切平面与法线第六节多元函数微分法在几何上应用

1.空间曲面S由方程F（x，y，z）=0给出设曲面S上点M0（x0，y0，z0），且在点M0处有不一样步为零连续偏导数.任取曲面S上一条过点M0（x0，y0，z0）曲线L（图7-21），设曲线L参数方程为第48页第六节多元函数微分法在几何上应用

2.空间曲面S由显函数z=f（x，y）给出假如空间曲面S由函数z=f（x，y）给出，令则有于是，当函数f（x，y）在点（x0，y0）处有连续偏导数时，曲面S在点M0（x0，y0，z0）处切平面方程为fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0.即z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).曲面S在点M0（x0，y0，z0）处法线方程为在点M0处法线向量为n=（fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1）.第49页一、多元函数极值第七节多元函数极值

定义：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某个邻域内有定义.假如对于该邻域内任一异于P0点P（x，y），恒有如下不等式成立：f（x，y）≤f（x0，y0）（或f（x，y）≥f（x0，y0）），则称函数x=f（x，y）在点P0（x0，y0）处取得极大值（或极小值）f（x0，y0），并称点P0（x0，y0）为函数f（x，y）极大值点（或极小值点）.函数极大值和极小值统称为极值，函数极大值点、极小值点统称为极值点.

定理（极值存在必要条件）:设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极值，且在点P0（x0，y0）处偏导数存在，则必有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.

定理（极值存在充足条件）:设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）某个邻域内具有连续一阶、二阶偏导数，且点（x0，y0）是函数f（x，y）驻点，即fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0.记A=fxx（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fyy（x0，y0），则第50页第七节多元函数极值（1）当B2-AC<0时，函数具有极值fxx（x0，y0），且A<0时，（x0，y0）为极大值点，f（x0，y0）为极大值；A>0时，（x0，y0）为极小值点，f（x0，y0）为极小值.（2）当B2-AC>0时，f（x0，y0）不是极值.（3）当B2-AC=0时，f（x0，y0）也许是极值，也也许不是极值，此法失效，需另行鉴别.第51页二、多元函数最大值与最小值第七节多元函数极值

由连续函数性质知，假如函数f（x，y）在有界闭区域上连续，则它在该区域上一定能取得最大值和最小值，并且函数最值只也许在有界区域内部极值点处或区域边界上取得.假如函数f（x，y）在有界闭区域D内偏导数存在，且只有唯一驻点（x0，y0），而根据问题实际意义能够判定函数f（x，y）在D内一定存在最大值（或最小值），那么f（x0，y0）就是实际问题所要求最大值（或最小值）.三、条件极值

求函数z=f（x，y）在约束条件（x，y）=0下极值办法称为拉格朗日乘数法.详细求解步骤如下：（1）构造辅助函数（称为拉格朗日函数）F（x，y，λ）=f（x，y）+λ（x，y），其中λ为待定常数，称为拉格朗日系数，将原条件极值问题化为求三元函数F（x，y，λ）无条件极值问题；第52页第七节多元函数极值

（2）求F（x，y，λ）偏导数，并建立方程组解方程组，得出也许极值点（x，y）和λ；

（3）判断求出点（x，y）是否为极值点，一般可根据问题实际意义判定.拉格朗日乘数法，对于多于两个变量函数，或约束条件多于一种情况也有类似成果.例如，求函数u=f（x，y，z）在条件(x,y,z)=0,(x,y,z)=0下极值.构造辅助函数F(x,y,z,λ1,λ2)=f(x,y,z)+λ1(x,y,z)+λ2(x,y,z)求F（x，y，z，λ1，λ2）一阶偏导数，并令其为零，建立并求解方程组，得出驻点（x，y，z）就是也许极值点.第53页重积分8.１二重积分概念与性质8.２二重积分计算8.３三重积分08第54页一、两个引例第一节二重积分概念与性质

引例1（曲顶柱体体积）设函数z=f（x，y）在有界闭区域D上非负且连续，以曲面z=f（x，y）为顶、xOy平面上区域D为底，以D边界曲线为准线、母线平行于Oz轴柱面为侧面立体图形称为曲顶柱体（图8-1）.求曲顶柱体体积.

引例2（非均匀物质平面薄板质量）已知一平面薄板，在xOy平面上占有区域D，其质量分布面密度u=u（x，y）为D上连续函数，求平面薄板D质量.如图8-2所示.由于质量分布非均匀，求平面薄板D质量也通过“分割，近似替代，求和，取极限”四个步骤来处理.第55页二、二重积分定义第一节二重积分概念与性质

定义：设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上有界函数，将D任意分割成n个小区域△σi（i=1，2…，n），并以△σi，表达第i个小区域面积，在每个小区域△σi上任取一点（，），作乘积f（，）△σi（i=1，2…，n），并作和式

定理（二重积分存在定理）在有界闭区域上连续函数f（x，y）一定可积.三、二重积分物理意义与几何意义1.二重积分物理意义二重积分物理意义是非均匀密度平面薄板质量等于其面密度u=u（x，y）在区域D上二重积分第56页第一节二重积分概念与性质

2.二重积分几何意义（1）若在区域D上恒有f（x，y）≥0，则二重积分表达以区域D为底，曲面z=f（x，y）为顶曲顶柱体体积V，即（2）若在区域D上恒有f（x，y）≤0，则上述曲顶柱体在xOy平面下方，二重积分值是负数，用表达以区域D为底，曲面z=f（x，y）为顶曲顶柱体体积V，即（3）若f（x，y）在D某些子区域上为正，在D另某些子区域上为负，则表达在这些子区域上曲顶柱体体积代数和.第57页第一节二重积分概念与性质性质1有限项可积函数代数和积分等于各函数积分代数和，即四、二重积分性质性质2被积函数中常数因子能够提到积分号外面，即（k为常数）.性质3（积分区域可加性）假如闭区域D被连续曲线提成两个闭区域D1和D2，D1和D2除边界外无公共点，则性质4若在区域D上，f（x，y）=1，且区域D面积为σ，则性质5若在区域D上，f（x，y）≤g（x，y），则第58页第一节二重积分概念与性质性质6（估值定理）设M和m分别为函数f（x，y）在有界闭区域D上最大值和最小值，σ是D面积，则性质7（二重积分中值定理）设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，σ是区域D面积，则在D上最少存在一点（,），使得第59页一、在直角坐标系下计算二重积分第二节二重积分计算

1.D为X形区域若积分区域D为X形区域，即D可表达为：a≤x≤b，（x）≤y≤（x），其中函数（x），（x）在闭区间[a，b]上连续（图8-4）.如图8-6所示，在[a，b]上任取一微元小区间[x，x+dx]，其上立体薄片近似看作以S（x）为底，dx为高小直柱体，就得到体积微元为第60页第二节二重积分计算于是所求曲顶柱体体积为从而得到二重积分计算公式

2.D为Y形区域若积分区域D为Y形区域，即D可表达为：c≤y≤d，（y）≤x≤（y），其中函数（y），（y）在闭区间[c，d]上连续（图8-7）.第61页第二节二重积分计算假如D是Y形区域，在[c，d]上任意取定一点y0，过y0作垂直于Oy轴（或平行于xOz坐标面）平面，该平面截曲顶柱体所得截面是一种以区间[（y0），（y0）]为底，曲线z=f（x，0）为曲边曲边梯形，其面积为一般地，过[c，d]上任一点y且垂直于Oy轴（或平行于zOx坐标面）平面截曲顶柱体所得截面面积为在[c，d]上任取一微元小区间[y，y+dy]，其上立体薄片近似看作以S（y）为底，dy为高小直柱体，就得到体积微元为于是所求曲顶柱体体积为从而得到二重积分计算公式第62页二、在极坐标系下计算二重积分第二节二重积分计算

1.极坐标系下二重积分体现式设二元函数f（x，y）在区域D上可积，若用极坐标来描述区域D，假定从极点O出发穿过区域D内部射线与D边界曲线相交不多于两点，用以极点为中心一族同心圆和以极点为顶点一族射线把区域D提成n个小区域（图8-16）.若第i个小区域△σi；是由r=ri，r=ri+△ri，θ=θi与θ=θi+△θi所围成，由扇形面积公式可得忽视高阶无穷小有设△σ是半径为r和r+dr两圆弧与极角为θ和θ+dθ两条射线所围成小区域，则△σ面积可近似看作边长为△r和r△θ小矩形域面积，即.因此，在极坐标系下面积微元为

于是就可把直角坐标系下二重积分化为极坐标系下二重积分第63页第二节二重积分计算

2.极坐标系下二重积分计算将直角坐标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分，应注意下列问题：（1）将面积元素dσ=dxdy换为dσ=rdrdθ；（2）将x=rcosθ，y=rsinθ代入被积函数，即f（x，y）=f（rcosθ，rsinθ）；（3）将区域D边界曲线换为极坐标系下体现式；（4）将极坐标系下二重积分化为二次积分，一般情况下，先对r积分，后对θ积分，要根据积分区域类型确定对应积分限.三、二重积分应用

1.求平面图形面积由二重积分性质可知，当f（x，y）=1时，二重积分表达平面区域D面积，因此能够利用二重积分计算平面图形面积.第64页第二节二重积分计算

2.求空间几何体体积由二重积分几何意义可知，当f（x，y）≥0时，二重积分表达以区域D为底，曲面z=f（x，y）为顶曲顶柱体体积V.因此能够利用二重积分求空间封闭曲面所围成有界区域体积.

3.求空间曲面面积设空间曲面S方程为z=f(x,y),(x,y)∈Dxy,S在xOy平面上投影区域为Dxy，并设f（x，y）在Dxy上有连续偏导数.首先，将区域Dxy任意提成n个小区域△σi（i=1，2…，n），以每个△σi边界限为准线，作母线平行于Oz轴柱面，这些柱面把曲面S提成对应n小块△si.在△si上任取一点（xi，yi，zi）.设曲面S在该点切平面被对应小柱面所截得截面为△Ai，则可用平面块△A，面积近似替代曲面块△si面积（图8-27）.由于第65页第二节二重积分计算其中是曲面S在点（xi，yi，zi）处法向量与Oz轴所成夹角（取锐角），又曲面z=f（x，y）在点（xi，yi，zi）法线向量为n=（-fx（xi，yi），-f，（xi，yi），1），因此于是因此曲面面积元素为故曲面面积A能够表达为第66页第二节二重积分计算设平面D上有n个质点m1，m2…，mn（其中mi表达第i个质点质量），并设mi坐标为（xi，yi）（i=1，2，…，n）.设它质心为（，），则有故

4.求平面薄板质量与质心由二重积分物理意义可知，若平面薄板D面密度为=（x，y），则D质量为第67页一、三重积分概念与性质第三节三重积分

1.引例设在空间直角坐标系中，一空间立体Ω在点（x，y，x）处密度为μ（x，y，z），这里μ（x，y，z）非负且连续.为计算Ω质量，像引入定积分定义那样，可分“分割、近似替代、求和、取极限”四个步骤来处理这个问题.

2.三重积分定义定义:设三元函数f（x，y，z）在空间有界闭区域Ω上有定义且有界，将Ω分割成至多只有公共界面n个空间子区域△v1，△v2…，△vn，若在每一种子区域中任取一点（xi，yi，zi）（i=1，2，…，n），作积分和式第68页第三节三重积分

3.三重积分性质根据三重积分定义，容易推出三重积分一系列性质.最常用有下列几点：设f（x，y，z），g（x，y，z）在空间有界闭区域Ω上可积，则有

（3）（积分区域可加性）若f（x，y，z）在空间有界闭区域Ω1，Ω2上可积，且Ω1与Ω2除边界之外没有公共部分，则f（x，y，z）在Ω=Ω1UΩ2上也可积，且有

（4）当f（x，y，z）=1时，则有，其中V是Ω体积.

（5）若f（x，y，x）在空间有界闭区域Ω上可积，且f（x，y，z）≥0，则第69页二、直角坐标系下计算三重积分第三节三重积分

1.将三重积分化为先重后单计算公式设f（x，y，x）≥0，空间有界闭区域Ω边界面与穿越Ω内且平行于坐标轴直线至多有两个交点（当Ω不能满足后一条件时，常将Ω提成若干个符合条件区域之和，利用积分区域可加性进行处理），函数f（x，y，z）在空间有界闭区域Ω上可积.

2.将三重积分化为先单后重计算公式设空间区域Ω边界曲面与平行于Ox轴直线至多有两个交点，Ω在xOy坐标面上投影区域为D，过D内任意一点（x，y，0），作平行于Ox轴直线与Ω相交，可得到一种介于Ω内直线段.设其满足z1(x,y)≤z≤z2(x,y),则此直线段质量为若将D内每一点都作出平行于Oz轴且介于Ω内直线段，并无限累加，得第70页第三节三重积分

3.将三重积分化为三次积分计算若选定先对z积分，能够先用平行于Oz轴直线沿Oz轴正方向穿越空间区域Ω，入口曲面为z=z1（x，y），出口曲面为z=z2（x，y），则z1(x,y)≤z≤z2(x,y).再对y积分，将区域Ω投影到xOy坐标面.设投影域为D，用平行于Oy轴直线且沿Oy轴正方向穿越D，若入口曲线为y=y1（x），出口曲线为y=y2（x），则y1(x)≤y≤y2(x).最后对x积分，将D投影到Ox轴上，若投影区间为[a，b]，则a≤x≤b.这样可得三重积分化为三次积分积分公式第71页三、利用柱面坐标计算三重积分第三节三重积分

设点M（x，y，z）为空间一点，且点M在xOy坐标面上投影为M1，点M1极坐标为（r，θ），则点M对应三维有序数组（r，θ，z），（r，θ，z）称为点M柱面坐标.这表达利用以Oz轴为轴圆柱面r=常数，以过Oz轴半平面θ=常数和平行于xOy坐标面平面z=常数来确定空间中一点.这种表达空间点位置办法称为柱面坐标系.如图8-32所示.点M直角坐标（x，y，z）与柱面坐标（r，θ，z）关系为

要把三重积分化为柱面坐标下三重积分，关键在于体积元素如何体现.为此，我们用三组坐标面：r=常数（一组以Oz轴为轴圆柱面）；

θ=常数（一组过Oz轴半平面）；z=常数（一组平行于xOy坐标面平面）.第72页第三节三重积分

把区域Ω分割成n个子区域，则每一种小体积微元能够近似地看作长为dr，宽为rdθ，高为dz长方体，因此体积微元dv=rdrdθdz，如图8-33所示.

假如f（x，y，z）在空间有界闭区域Ω上连续，则有第73页四、利用球面坐标计算三重积分第三节三重积分

设点M（x，y，z）为空间一点，点M位置也可用三维有序数组（r，，θ）来确定，其中，OM=r，OM与Oz轴正方向夹角为，自OA按逆时针方向到OP所成角为θ，称（r，，θ）为球面坐标，这种表达空间点位置办法称为球面坐标系.如图8-35所示.可要求r，，θ变化范围为0≤r<+∞,0≤≤π,0≤θ≤2π.点M直角坐标（x，y，z）与球面坐标（r，，θ）关系为第74页五、三重积分应用第三节三重积分

1.求空间几何体体积根据三重积分性质，有，其中V是Ω体积，因此能够利用三重积分求空间立体体积.

2.求空间物体质量和质心由三重积分物理意义可知，非均匀密度空间物体Ω质量m等于其密度函数μ（x，y，z）在区域Ω上三重积分，即

3.求转动惯量由力学知识可知，质点系m1，m2…，mn，对于轴L转动惯量为，其中ri是第i个质点mi到轴L距离.第75页曲线积分与曲面积分9.１曲线积分9.２格林公式、平面曲线积分与途径无关条件9.３曲面积分09第76页第一节曲面方程与空间曲线方程一、对弧长曲线积分

1.对弧长曲线积分概念定义：设f（x，y）是定义在分段光滑曲线弧L（即AB）上有界函数，用分点A=M0，M1，M2…，Mn=B，将AB任意分割成n个子弧段Mi-1Mi（i=1，2…，n），并记其长为△si.在每个子弧段Mi-1M；上任取一点（，），作积分和式

2.对孤长曲线积分性质假定下列所讨论对弧长曲线积分总是存在，与定积分性质相类似，也有下列常用性质.（1），即对弧长曲线积分与积分途径方向无关。从物理上能够解释为曲线弧AB质量与曲线弧BA质量相等.（2）曲线弧AC由AB和BC两段光滑曲线弧组成，则从物理上能够解释为整个弧段上质量等于各分段弧质量之和.第77页第一节曲面方程与空间曲线方程（3）（4）（k为常数）.（5）（中值定理）设函数f（x，y）在光滑曲线弧AB上连续，s是AB长度，则在AB上最少存在一点（，），使得

3.对弧长曲线积分计算办法对弧长曲线积分在一定条件下，能够转化为定积分计算.根据微分法思想，当小曲线弧长△si很小时，能够用这段弧弦长近似替代弧Mi-1Mi长度△si.第78页第一节曲面方程与空间曲线方程二、对坐标曲线积分

1.对坐标曲线积分概念定义：设L为xOy平面上从点A到点B一条有向光滑曲线弧，函数P（x，y），Q（x，y）在L上有界，在曲线弧L上沿L方向用分点A=M0，M1，M₂…，Mn=B，将AB任意分割成n个子弧段Mi-1M（i=1，2.…，n），并记△xi=xi-xi-1，△yi=yi-yi-1.在Mi-1M上任意取定一点（，），作积分和式当各子弧段长度最大者λ→0时，若极限总存在，且此极限与曲线弧AB分法无关，也与每一种子弧段Mi-1Mi上点（，）取法无关，则称此极限值为函数P（x，y）在有向弧段L上对坐标x积分，记作或，即第79页第一节曲面方程与空间曲线方程

2.对坐标曲线积分性质假定下列所讨论对坐标曲线积分总是存在，由定义能够导出下列常用性质.其物理意义能够解释为：协力所做功等于每个分力所做功之和.（2）曲线弧ABC由AB和BC两段光滑曲线弧组成，则其物理意义能够解释为：力F对质点在某弧段上所做功等于在各子弧段上所做功之和.

（3）其物理意义能够解释为：在力F作用下，质点沿AB弧由点A到点B所做功为I，则在力F作用下，质点沿BA弧由点B到点A所做功为-I.第80页第一节曲面方程与空间曲线方程

3.对坐标曲线积分计算办法（1）将对坐标曲线积分化为对参数t定积分计算公式.（2）将对坐标曲线积分化为对x定积分计算公式.（3）将对坐标曲线积分化为对y定积分计算公式.第81页第二节格柿公式、平面曲线积分与途径无关条件格林公式

定理1（格林公式）设闭区域D是由分段光滑曲线L围成，函数P（x，y），Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是区域D边界曲线正向.

定理2设区域D是一种单连通域，函数P（x，y），Q（x，y）在区域D上具有一阶连续偏导数，则曲线积分与途径无关（或沿D内任意闭曲线曲线积分等于零）充足必要条件是在D内恒成立.第82页第二节格柿公式、平面曲线积分与途径无关条件

定理3设区域D是一种单连通域，函数P（x，y），Q（x，y）在区域D上具有一阶连续偏导数，则P（x，y）dx+Q（x，y）dy在区域D内为全微分式充足必要条件是在D内恒成立.第83页第三节曲面积分一、对面积曲面积分

1.对面积曲面积分概念定义：设f（x，y，z）是定义在光滑曲面∑上有界函数.将曲面∑任意分割成n个子区域△S1，△S2…，△Sn，并以△Si（i=1，2，…，n）表达第i块子区域面积.在每个子区域△Si上任取一点（，，），作积分和式.记A为n个子区域△S1，△S2，…，△Sn直径最大值，若极限存在，且此极限与曲面∑分法无关，也与每一块子区域△Si上点（，，）取法无关，则称此极限值为函数f（x，y，z）在曲面上对面积曲面积分或第一类曲面积分，记作，即定理:设f（x，y，z）在光滑曲面∑上连续，则曲面积分肯定存在.第84页第三节曲面积分

2.对面积曲面积分性质假定下列所讨论对面积曲面积分总是存在.由对面积曲面积分定义可知，它具有与对弧长曲线积分相类似性质.例如：(1)(2)(k为常数）(3)若曲面乏可分为两片光滑曲面∑1及∑2，且∑1与∑2除公共边界外再无交点，则

3.对面积曲面积分计算办法对面积曲面积分在一定条件下，能够转化为二重积分计算.设曲面方程为z=z（x，y），∑在xOy坐标面上投影区域为Dxy函数z=z（x，y）在Dxy上具有连续一阶偏导数，被积函数f（x，y，z）在∑上连续.根据对面积曲面积分定义，有第85页第三节曲面积分二、对坐标曲面积分

1.对坐标曲面积分概念定义:设R（x，y，z）是定义在光滑曲面∑上有界函数.将曲面∑任意分割成n个子区域△S1，△S2，…，△Sn，并以△Si（i=1，2…，n）表达第i块子区域面积.在每个子区域△Si任取一点（，，），记△表达△Si在xOy坐标面上投影.

2.对坐标曲面积分性质假定下列所讨论对坐标曲面积分总是存在.由对面积曲面积分定义可知，它具有与对坐标曲线积分相类似性质.例如：（1）若曲面∑可分为两片光滑曲面∑1及∑2，且∑1与∑2除公共边界外再无交点，则（2）第86页第三节曲面积分（3）

3.对坐标曲面积分计算法在一定条件下，对面积曲面积分能够转化为二重积分计算.若光滑曲面方程能够表达为单值函数z=z（x，y），记Dxy表达∑在xOy坐标面上投影区域.设z=z（x，y）在Dxy上具有一阶连续偏导数，R（x，y，x）在∑连续，设曲面积分沿上侧：（△σi,xy=cosγi·△Si为正值），于是

4.高斯公式设空间区域Ω是由分片光滑闭曲面∑所围成，∑与任一平行于坐标轴直线交点不多于两个，且P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在Ω内具有一阶连续偏导数，则有高斯公式第87页级数10.１无穷级数概念与性质10.２正项级数10.３任意项级数10.4幂级数10.5函数展开为幂级数10.6傅立叶级数10第88页第一节无穷级数概念与性质一、无穷级数基本概念

1.无穷级数基本概念定义:设数列{un}（n=1，2，3…），称体现式u1+u2+…+un+…为无穷级数，简称级数，记作，即

2.无穷级数收敛与发散定义:设级数部分和数列为S1，S2…，Sn…，若部分和数列{Sn}当n→∞时有极限S，即则称级数收敛，并称S为该级数和，记作此时，也称级数，收敛于S.若部分和数列{Sn}没有极限，即不存在，则称级数发散.

3.级数收敛必要条件定理:若级数收敛，则=0.第89页第一节无穷级数概念与性质二、无穷级数基本性质

性质1：设k为非零常数，则级数与级数同步收敛或同步发散，且当收敛时，若=S，则

性质2：若级数、分别收敛于S、σ，则级数也收敛，且其和为S±σ.

性质3：在级数中增加、减少或变化有限项，不会变化级数收敛性.

性质4：若级数收敛，则对级数项任意加括号后所形成级数仍收敛，且其和不变.第90页第二节正项级数一、正项级数收敛充足必要条件

定理:正项级数收敛充足必要条件是其部分和数列{Sn}有界。由上述定理可知：若正项级数部分和数列{Sn}无界，则肯定发散；若正项级数发散，则其部分和数列{Sn}肯定无界.二、正项级数收敛鉴别法

1.比较鉴别法设两个正项级数、，满足un≤vn(n=1,2…),（1）若级数收敛，则级数收敛；（2）若级数发散，则级数发散.第91页第二节正项级数

2.极限形式比较鉴别法设与均为正项级数，若，则（1）当0<l<+∞时，级数、同步收敛或同步发散；（2）当l=0且级数收敛时，级数也收敛；（3）当l=+∞且发散时，级数也发散.

3.比值鉴别法设正项级数，且满足（为常数），则（1）当<1时，级数收敛；（2）当>1时，级数发散；（3）当=1时，也许收敛，也也许发散，即此时不能利用比值鉴别法判定收敛性.第92页第三节任意顶级数一、交错级数

若级数各项正负符号相间，即un>0（n=1，2，…），则级数称为交错级数.二、绝对收敛与条件收敛

定理：若收敛，则肯定收敛

定义：假如正项级数收敛，而任意项级数也收敛，则称为绝对收敛；假如任意项级数收敛，而正项级数发散，则称为条件收敛.第93页第四节幂级数一、函数项级数概念

设un=un（x）是定义在区间I上函数列，则称为定义在区间I上函数项级数.二、幂级数

1.系级数及其收敛性形如（其中a0，a1，a2，…均为常数）函数项级数，称为x-x0幂级数，称a0，a1，a2，…为幂级数系数.

2.幂级数收敛半径和收敛区间假如幂级数不是仅在x=0处收敛，也不是在整个实数范围内都收敛，则总存在一种正实数R，使得第94页第四节幂级数

2.幂级数收敛半径和收敛区间假如幂级数不是仅在x=0处收敛，也不是在整个实数范围内都收敛，则总存在一种正实数R，使得（1）当|x|<R，即x∈（-R，R）时，幂级数anx”收敛；（2）当|x|>R，即x∈（-∞，-R）U（R，+∞）时，幂级数发散；（3）当|x|=R，即x=±R时，幂级数也许收敛，也也许发散.三、幂级数运算性质

性质1：幂级数和函数S（x）在其收敛区间（-R，R）内为连续函数.

性质2：若幂级数收敛半径R>0，则其和函数为S（x）在区间（-R，R）内可积，且有逐项积分公式其中|x|<R，逐项求导后所得到幂级数收敛半径也为R.第95页第四节幂级数

性质3：若幂级数收敛半径R>0，则其和函数为S（x）在区间（-R，R）内可导，且有逐项求导公式其中|x|<R，逐