九年级数学上册专题02 一元二次方程的解法（考点题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)(原卷版)

/专题02一元二次方程的解法【思维导图】◎题型1：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2-1＝0的根是（

）A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程的解是（

）A． B． C． D．变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（

）A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（

）A．(x＋2)2＝5 B．(x－2)2＝5 C．(x－2)2＝3 D．(x＋2)2＝3变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程，原方程可变形为（

）A． B． C． D．变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（）ABCD两边同时除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝＝2±整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D◎题型3：配方法的应用例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（

）A．6 B．9 C．2 D．变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（

）A． B． C． D．◎题型4：公式法技巧：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。例．（2022·全国·九年级课时练习）已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（

）A． B．C． D．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝变式2．（2021·河南南阳·九年级阶段练习）是下列哪个一元二次方程的根（

）A． B．C． D．变式3．（2021·湖南邵阳·九年级期末）用求根公式法解方程的解是（

）A． B．C． D．◎题型5：根的判别式【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．例．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期中）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断变式1．（2022·吉林长春·九年级期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（

）A．17 B．1 C．－1 D．－17变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(

)A． B．C． D．变式3．（2022·江西上饶·九年级期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．◎题型6：因式分解法技巧：例．（2022·全国·九年级课时练习）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（

）A．(2x－2)(3x－4)=0，∴2x－2=0或3x－4=0B．(x+3)(x－1)=1，∴x+3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3，∴x－2=2或x－3=3D．x(x+2)=0，∴x+2=0变式1．（2022·湖北恩施·九年级期末）一元二次方程的根是（

）A．x＝2 B．x＝－3 C．x＝－2 D．，变式2．（2022·北京通州·八年级期末）如果，那么的值是（

）A．0 B．2 C．0，2 D．0，变式3．（2022··八年级期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（

）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根◎题型7：换元法【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例．（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，变式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）关于x的方程的解是，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程的解是（

）A．x1＝2，x2＝-1 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝-3 D．x1＝1，x2＝-2变式2．（2021·江苏镇江·九年级期中）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程

（2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（

）A．， B．，C．， D．，变式3．（2021·全国·八年级课时练习）已知，则的值是（

）A．3或 B．或2 C．3 D．◎题型8：根与系数的关系【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2例．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．变式1．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（

）A．1