2023年广东省中考数学第一轮复习卷：11圆

/2023年广东省中考数学第一轮复习卷：11圆一．选择题（共12小题）1．（2022•深圳）下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形2．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（）A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2−3．（2020•封开县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠A．60° B．55° C．50° D．45°4．（2022•台山市校级一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．2−π2 B．1−π4 C．2−5．（2022•香洲区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．π3cm2C．(π3−6．（2022•香洲区校级一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（）A．42 B．43 C．8 D．98．（2022•新兴县校级模拟）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．3π2cm B．2πcm C．5π2cm D．39．（2022•蓬江区一模）同圆中，已知AB所对的圆心角是80°，则AB所对的圆周角度数（）A．40° B．80° C．100° D．120°10．（2022•濠江区一模）如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（）A．3 B．72 C．35211．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．53 B．8 C．6 12．（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4 B．5 C．3 D．2二．填空题（共8小题）13．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是．（结果保留π）14．（2022•南海区校级模拟）如图，已知抛物线y=−316（x﹣1）（x﹣9）与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最小值为15．（2022•南海区校级四模）如图，在边长为4的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是．16．（2022•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为．17．（2022•韶关模拟）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠D＝22.5°，AB＝8，则半径OA的长为．18．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为DE的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为．19．（2022•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为．20．（2022•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为．三．解答题（共10小题）21．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH=34，求（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．22．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB=2，AD＝1，求CD23．（2022•南海区校级四模）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧BD的长；（2）求证：BF=12（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明理由．24．（2022•台山市校级一模）点E为正方形ABCD的边CD上一动点，直线AE与BD相交于点F，与BC的延长线相交于点G．（1）如图①，若正方形的边长为2，设DE＝x，△DEG的面积为y，求y与x的函数关系；（2）如图②，求证：CF是△ECG的外接圆的切线；（3）如果把正方形ABCD换成是矩形或菱形，（2）的结论是否是否仍然成立？25．（2022•珠海校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于D点，连接CD，且tan∠D=2（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求AEAC26．（2022•新兴县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠BDC=12∠ABD，过点C作AD的平行线交AB延长线于点E，连接（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当tan∠BAC=12，DC＝6时，求27．（2022•茂南区一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．28．（2022•东莞市校级一模）如图，⊙O经过A、B、C三点，且圆心O在▱ABCD的BC边上，AD的中点E也在⊙O上．（1）求∠B的度数．（2）连接BD，求sin∠ABD的值．29．（2022•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E．（1）求证，直线DE是⊙O的切线；（2）尺规作图：过点B作直线DE的垂线，垂足为点F，（不写作法，保留作图痕迹）；（3）若⊙O的半径为5，AD＝8，求BF的长．30．（2022•濠江区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD＝DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．（1）求证：DE是⊙A的切线；（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求tan∠FED．

2023年广东省中考数学第一轮复习卷：11圆参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2022•深圳）下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以A选项说法正确，故B选项不符合题意；C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：C．2．（2022•深圳）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（）A．1：3 B．1：2 C．2：2 D．（2−【解答】解：如图，连接OC，∵BC是⊙O的切线，OC为半径，∴OC⊥BC，即∠OCB＝90°，∴∠COD+∠OBC＝90°，又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，∴∠ABC＝∠COD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，∴∠A＝∠OCD，在△ABC和△COD中，∠A=∠OCD∠ABC=∠COD∴△ABC≌△COD（AAS），又∵EO＝DO，∴S△COD＝S△COE=12S△∴S△ABC=12S△即△ABC和△CDE面积之比为1：2，故选：B．3．（2020•封开县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠A．60° B．55° C．50° D．45°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵DF=BC，∠∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：C．4．（2022•台山市校级一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．2−π2 B．1−π4 C．2−【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF＝45°，∵EF⊥AB，∴△AEF是等腰直角三角形，∵AB＝AE＝2，∴AF＝EF=2∴S阴＝S扇形ABE﹣S△AEF=45π×故选：D．5．（2022•香洲区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．π3cm2C．(π3−【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′=12∴B′C′=32（∴S扇形B′OB=120π×12360S扇形C′OC=120π×14360∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π3−π故选：B．6．（2022•香洲区校级一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：如图，连接BD，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故选：B．7．（2022•云安区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（）A．42 B．43 C．8 D．9【解答】解：设∠AEF＝n°，∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，∴r＝6，由题意得：nπ62360=12∴∠AEF＝120°，∴∠FED＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠D＝90°，∴∠EFD＝30°，∴DE=12∴BC＝AD＝6+3＝9．故选：D．8．（2022•新兴县校级模拟）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．3π2cm B．2πcm C．5π2cm D．3【解答】解：重物上升了36π×10180=2π（故选：B．9．（2022•蓬江区一模）同圆中，已知AB所对的圆心角是80°，则AB所对的圆周角度数（）A．40° B．80° C．100° D．120°【解答】解：AB所对的圆心角是80°，则AB所对的圆周角为：12故选：A．10．（2022•濠江区一模）如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（）A．3 B．72 C．352【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点E（4，﹣3），则点B是AE的中点，又∵点D是AC的中点，∴BD是△AEC的中位线，∴BD=12∴当AEC最大时，BD最大，∵点C为坐标平面内一点，且OC＝2，∴点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，∴当EC经过圆心O时，EC最大．∵OB＝4，BE＝3，∴OE＝5，∴CE的最大值为5+2＝7，∴BD的最大值=7故选：B．11．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．53 B．8 C．6 【解答】解：如图，连结CD，∵CD是直角三角形斜边上的中线，∴CD=12AB故选：D．12．（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4 B．5 C．3 D．2【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠CAB＝∠D＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC=AB2故选：D．二．填空题（共8小题）13．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是2π．（结果保留π）【解答】解：连接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵圆O与边AB相切于点D，∴∠ADO＝90°，∴∠A+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，∴劣弧DE的长是90×π×4180=2故答案为：2π．14．（2022•南海区校级模拟）如图，已知抛物线y=−316（x﹣1）（x﹣9）与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最小值为【解答】解：如图，连接BG．∵AP＝PG，AD＝DB，∴DP=12∴当BG的值最大时，DP的值最大，∵y=−316（x﹣1）（x﹣9）=−316（∴C（5，3），B（9，0），∴BC=4当点G在BC的延长线上时，BG的值最大，最大值＝5+2＝7，∴DP的最大值为3.5，故答案为：3.5．15．（2022•南海区校级四模）如图，在边长为4的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是4．【解答】解：如图所示，S阴影＝S△AOB=14S正方形故答案为：4．16．（2022•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为6+61【解答】解：如图，设△ABC的对称轴交BC于F，连接EF，∵AB＝AC，∴△ABC的对称轴DF⊥BC，∴⊙O切BC于F，∵DF是⊙O的直径，∴∠DEF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣∠DEF＝90°，∴点E在以BF为直径的圆上，∵AF⊥BC，AB＝AC＝13，∴BF＝CF＝12，∴AF=A∴AI=A∴AEmax＝AI+E′I＝6+6117．（2022•韶关模拟）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠D＝22.5°，AB＝8，则半径OA的长为42．【解答】解：连接OB，∵∠D＝22.5°，∴∠BOC＝2∠D＝45°，∵直径CD⊥AB，∴∠OEB＝90°，BE=12∴∠OBE＝90°﹣∠BOE＝45°，∴OE＝BE＝4，OB=2BE＝42∴OA＝OB＝42，故答案为：42．18．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，以A为圆心，AD为半径作圆交AB于点E，F为DE的中点，过F作CD的平行线，交AD于点G，交BC于点H，则阴影部分的面积为102−8【解答】解：连接AF，作FM⊥AB于M，∵F为DE的中点，∴∠DAF＝∠EAF＝45°，∴∠AFM＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAM＝∠AFM，∴AM＝FM，∵AF＝AD＝4，∴FM＝AM=22×∴BM＝5﹣22，∴S阴影＝BM•FM＝（5﹣22）•22=102故答案为：102−19．（2022•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为13−3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠PCD+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，∵BC＝6，∴CO＝3，∵CD＝2，∴DO=13∴PD的最小值为13−故答案为：13−20．（2022•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为50°．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝∠C＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°．故答案为：50°．三．解答题（共10小题）21．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH=34，求（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位线，∴点D是OC的中点，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH=34，∠∴NDOD设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x=4∴ND=47×3=127，∴ON=O（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+AT∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴AT的长=80×π×4180∴点N的运动路径长＝4+16922．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB=2，AD＝1，求CD【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴AB=∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC=2∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD=3即CD的长为：3．23．（2022•南海区校级四模）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接（1）若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求劣弧BD的长；（2）求证：BF=12（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明理由．【解答】（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB＝120°，∴BCD所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD＝360°﹣240°＝120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧BD的长为：120180×π×3＝2（2）证明：连接AC，∵AB＝BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=12∵AD=∴AD+∴DAB=∴BD＝AC，∴BF=12（3）解：存在点P（不同于点B），使得PG＝PF，理由如下：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE，∵AD=∴∠CAB＝∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP＝∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=12∴BG＝BF，在△PBG和△PBF中，BG=BF∠PBG=∠PBF∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG＝PF．24．（2022•台山市校级一模）点E为正方形ABCD的边CD上一动点，直线AE与BD相交于点F，与BC的延长线相交于点G．（1）如图①，若正方形的边长为2，设DE＝x，△DEG的面积为y，求y与x的函数关系；（2）如图②，求证：CF是△ECG的外接圆的切线；（3）如果把正方形ABCD换成是矩形或菱形，（2）的结论是否是否仍然成立？【解答】（1）解：如图，延长AD，过G作RG⊥AD交AD延长线于R，由题意可知，正方形ABCD边长为2，∴AD＝RG＝2，∴S△ADG=12•AD•RGS△ADE=12•AD•DE＝∴S△DEG＝S△ADG﹣S△ADE＝2﹣x，即y＝2﹣x；（2）证明：如图，取EG中点O，连接OC，∵∠ECG＝90°，∴EG是△ECG外接圆的直径，O为圆心，在正方形ABCD中，BD是对角线，∴∠ADF＝∠CDF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF＝∠DCF，∵AD∥CG，∴∠DAF＝∠OGC，在圆O中，OC＝OG，∴∠OCG＝∠OGC，∴∠OCG＝∠DCF，∵∠OCG+∠OCE＝90°，∴∠DCF+∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥CF，∴CF是△ECG的外接圆的切线；（3）解：当正方形ABCD换成矩形ABCD时，由（2）可知，∠OCG＝∠OGC＝∠DAF，但是△ADF与△CDF不全等，∴∠DAF≠∠DCF，∴∠OCG≠∠DCF，∴∠OCG+∠OCE＝90°，∠DCF+∠OCE≠90°，∴CF不是△ECG的外接圆的切线；当正方形ABCD换成菱形ABCD时，在菱形ABCD中，BD是对角线，∴∠ADF＝∠CDF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF＝∠DCF，∵AD∥CG，∴∠DAF＝∠G，∴∠DCF＝∠G，在圆O中，连接CO并延长交圆O于H，∵CE＝CE，∴∠G＝∠H＝∠DCF，∵CH是直径，∴∠CEH＝90°，∴∠ECH+∠H＝90°，∴∠DCF+∠ECH＝90°，即OC⊥CF，∴CF是△ECG的外接圆的切线．25．（2022•珠海校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于D点，连接CD，且tan∠D=2（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求AEAC【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB于F，∵AO是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，OF⊥AB，∴OF＝OC，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接CE，∵DE为⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∴∠D+∠DEC＝90°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠ACE+∠OCE＝90°，∴∠ACE＝∠D，∵∠CAE＝∠DAC，∴△CAE∽△DAC，∴AEAC∵tan∠D=CE∴AEAC26．（2022•新兴县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠BDC=12∠ABD，过点C作AD的平行线交AB延长线于点E，连接（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当tan∠BAC=12，DC＝6时，求【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴BA⊥AD，∵AD∥EC，∴CE⊥AE，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BDC，∵∠BDC=12∠∴∠BOC＝∠ABD，∴OC∥AE，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵tan∠BAC=12，∠BDC＝∠∴tan∠BDC=BC∵CD＝6，∴BC＝3，∵CE是⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC，∴BEEC=12，即∵BE2+EC2＝BC2，∴BE2+（2BE）2＝32，∴BE=327．（2022•茂南区一模）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．【解答】（1）证明：连接OB，则OC＝OB，如图，∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分线，∴AC＝AB．在△CAO和△BAO中，AO=AOAC=AB∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥半径OC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD=O设AC＝x，则AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2解得x=2∴AC=2∴AD＝AB+BD＝AC+BD=228．（2022•东莞市校级一模）如图，⊙O经过A、B、C三点，且圆心O在▱ABCD的BC边上，AD的中点E也在⊙O上．（1）求∠B的度数．（2）连接BD，求sin∠ABD的值．【解答】解：（1）连接OA，OE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵E为AD的中点，∴AE=12∵OB=12∴AE＝