恒定电流场专业知识讲座

恒定电流场专业知识讲座恒定电流场专业知识讲座第1页1、恒定电场在分界面上折射关系为若,则。在理想导体表面上，和都垂直于边界面。当电流由理想导电体流出进入普通导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。§4.1恒定电流场边界条件

Boundarycondition恒定电流场专业知识讲座第2页

关于边界条件说明：1、因为导体内存在恒定电场，依据边界条件可知，在导体表面上电场现有法向分量又有切向分量。电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面。2、若媒质2是良导体，媒质1是极不良导电媒质，只要不靠近，就能够近似地把良导体表面看作等位面。恒定电流场专业知识讲座第3页例：同轴线填充两种介质，结构如图所表示。两种介质介电常数分别为和，导电率分别为和，设同轴线内外导体电压为U。求：(1)导体间，，；

(2)分界面上自由电荷分布。解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。例题:先假设电流为I求出电流密度J表示式求出E1和E2确定出电流恒定电流场专业知识讲座第4页由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。由边界条件，边界两边电流连续。恒定电流场专业知识讲座第5页恒定电流场专业知识讲座第6页

在面上：

在面上：2）由边界条件：

在面上：恒定电流场专业知识讲座第7页在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是一个不可逆能量转换。这种能量损失将由外源不停补给，以维持恒定电流。dlU

JdS§4.2恒定电场能量损耗圆柱体端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，dt

时间内有dq电荷自圆柱左端面移至右端面，那么电场力作功为

恒定电流场专业知识讲座第8页电场损失功率P

为单位体积中功率损失为当J和E方向不一样时，上式能够表示为下面普通形式表示某点功率损耗等于该点电场强度与电流密度标积。焦耳定律微分形式恒定电流场专业知识讲座第9页设圆柱体两端电位差为U，则，又知，那么单位体积中功率损失可表示为可见，圆柱体中总功率损失为这就是电路中焦耳定律。恒定电流场专业知识讲座第10页例1

已知一平板电容器由两层非理想介质串联组成，如图示。其介电常数分别为

1

和

2

，电导率分别为

1

和

2

，厚度分别为d1

和d2

。当外加恒定电压为V

时，试求两层介质中电场强度，单位体积中电场储能及功率损耗。

1

1

2

2d1d2U解：因为电容器外不存在电流，能够认为电容器中电流线与边界垂直，求得恒定电流场专业知识讲座第11页恒定电流场专业知识讲座第12页§4.3.恒定电流场与静电场比拟静电场和恒定电场性质比较：相同点：场性质相同，均为无旋场；场均不随时间改变；均不能存在于理想导体内部；不一样点：源不一样。静电场源为静止电荷，恒定电场源为运动电荷。存在区域不一样。静电场只能存在于导体外，恒定电场能够存在于非理想导体内。恒定电流场专业知识讲座第13页当恒定电流场与静电场边界条件相同时，电流密度分布与电场强度分布特征完全相同能够利用已经取得静电场结果直接求解恒定电流场可用边界条件与静电场相同电流场来研究静电场特征静电比拟恒定电流场专业知识讲座第14页比如，两电极间电流场与静电场对应分布以下列图示：PN

电流场PN

静电场那么，利用已经取得静电场结果能够求解恒定电流场。恒定电流场专业知识讲座第15页静电场与恒定电场对偶关系恒定电流场专业知识讲座第16页§4.4

电阻计算一、电介质隔开导体之间漏电阻计算若已知两电极之间电容，依据上述两式，即可求得两电极间电阻及电导。恒定电流场专业知识讲座第17页比如，已知面积为S，间距为d

平板电容器电容，若填充非理想介质电导率为

，则平板电容器极板间漏电导为又知单位长度内同轴线电容。那么，若同轴线填充介质含有电导率为

，则单位长度内同轴线漏电导假如同轴线长度为l，总漏电阻为R/l恒定电流场专业知识讲座第18页二、特定等位面之间导体材料电阻计算(1)假设两电极间流过电流I,然后按(2)假设两电极电压U，然后按步骤计算。计算步骤：步骤计算。恒定电流场专业知识讲座第19页例2

设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间电阻。Uyxtab

r0(r,

)0解显然，必须选取圆柱坐标系。设两个端面之间电位差为U，且令当角度时，电位。当角度时，电位。那么，因为导电媒质中电位

仅与角度

相关，所以电位满足方程式为此式通解为恒定电流场专业知识讲座第20页

利用给定边界条件，求得导电媒质中电流密度J

为那么由端面流进该导电媒质电流I

为所以该导电块两个端面之间电阻R

为恒定电流场专业知识讲座第21页例：电导率为

无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2理想导体小球，两球之间距离为d(d>>R1

，d>>R2)，试求两小导体球面间电阻。解:

此题可采取静电比拟方法求解。假设两小球分别带电荷q和-q，因为两球间距离d>>R1、d>>R2

，可近似认为小球上电荷均匀分布在球面上。由电荷q和-q电位叠加求出两小球表面电位差，即可求得两小导体球面间电容，再由静电比拟求出两小导体球面间电阻。恒定电流场专业知识讲座第22页由静电比拟，得到两小导体球面间电导为两小球表面电位为两小导体球面间电容为故两个小导体球面间电阻为恒定电流场专业知识讲座第23页一、矢量磁位引入式中：称为恒定磁场矢量磁位。引入矢量磁位意义：引入辅助函数，可经过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。§4.5

矢量磁位与标量磁位

VectorandscalarMagneticpotential1、矢量磁位定义含有普遍性，既适合用于静磁场也适合用于时变场2、矢量磁位不是唯一。实际上，若

是任意连续可微标量函数，令，显然有；说明：恒定电流场专业知识讲座第24页而：上式表明：和为性质不一样两种矢量场。这意味着满足有没有限多个。3、为了确定矢量磁位空间分布，还需要求矢量磁位散度这种新引入限定条件称为规范条件。在恒定磁场中，普通采取库仑规范条件注意：规范条件是人为引入限定条件，可依据问题设定不一样规范条件。为任意标量场恒定电流场专业知识讲座第25页二、矢量磁位求解矢量泊松方程在直角坐标系中，矢量泊松方程可分解为三个标量泊松方程恒定电流场专业知识讲座第26页体电流、面分布电流和细导线电流回路产生矢量磁位分别为1、不一样电流分布时矢量磁位恒定电流场专业知识讲座第27页在无源区中，

=0，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程

说明：在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量标量方程。格林函数法以及分离变量法均可用于求解矢量磁位

各个直角坐标分量所满足标量泊松方程及拉普拉斯方程。镜像法也可适合用于求解恒定磁场边值问题。2、无源区矢量磁位恒定电流场专业知识讲座第28页说明：1、矢量磁位方向与电流方向相同。2、引入矢量磁位能够大大简化磁场计算。小结：求解磁场方法1、场源积分法（毕奥－萨伐尔定律）2、非齐次方程法（)3、安培环路定律4、经过矢量磁位间接求解恒定电流场专业知识讲座第29页其中l为曲面S边界三、利用矢量磁位求磁通恒定电流场专业知识讲座第30页四、标量磁位式中标量

m

称为标量磁位。说明：1、标量磁位满足拉普拉斯方程。这么，依据边界条件，求解标量磁位满足拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。2、标量磁位应用仅限于无源区。

无源区中磁感应强度B是无旋，能够表示为一个标量场梯度

令scalarMagneticpotential恒定电流场专业知识讲座第31页在磁场作用下，磁介质将产生磁化现象。一、磁化与磁化强度矢量1、分子电流模型电子绕核运动，形成份子电流。分子电流将产生微观磁场。分子电流磁特征可用分子极矩表示。§4.6

物质磁化现象电子运动形成微观电流分子电流所围面元恒定电流场专业知识讲座第32页2、介质磁化现象磁化前磁化前，分子极矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特征。磁化后磁介质内存在外加磁场时：大量分子分子极矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特征。这一过程即称为磁化。3、磁化强度矢量

磁化强度矢量描述磁介质被磁化程度。物理意义：单位体积内分子磁矩矢量和。MagnetizationVector恒定电流场专业知识讲座第33页磁介质被磁化后，内部和表面可能会出现附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）。若媒质磁化强度为，则：二、磁化电流磁化电流体磁化电流密度面磁化电流密度媒质表面外法向方向恒定电流场专业知识讲座第34页1、若媒质被均匀磁化，无体磁化电流；磁化电流只会出现在介质表面上

2、磁化介质表面普通存在磁化电流；3、磁化电流依然遵照电流守恒关系；4、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自由电流处存在磁化线电流。说明：恒定电流场专业知识讲座第35页当磁介质中存在磁场时：

磁介质中磁通量为：磁场强度矢量，定义三、磁场强度矢量

Magneticfieldintensity普通介质被磁化程度与外加磁场强度成正比，即：式中：为磁介质磁化率（磁化系数）恒定电流场专业知识讲座第36页磁媒质本构关系式中：称为媒质相对磁导率称为媒质磁导率((relative)permeability)

(relative)Permittivity恒定电流场专业知识讲座第37页已知半径为a，长度为l圆柱形磁性材料，沿轴线方向取得均匀磁化。若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径

P点处由磁化电流产生磁感应强度。xyzlP(0,0,z)0a解取圆柱坐标系，令z

轴与圆柱轴线一致，如图示。又表面磁化电流密度式中en

为表面外法线方向上单位矢。因，所以表面磁化电流密度仅存在于圆柱侧壁，上下端面磁化电流密度为零。所以例因为是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，所以，，即体分布磁化电流密度为零。0=´Ñ=¢MJ恒定电流场专业知识讲座第38页xyzlP(0,0,z)zdz'0a显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于z处宽度为dz

环形电流为(

dz)

，那么该环形电流在轴线上z

处(z>>a)产生磁感应强度dB

为那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z

处产生合成磁感应强度为恒定电流场专业知识讲座第39页计算电流环产生BxyzlP(0,0,z)zdz'0a恒定电流场专业知识讲座第40页z-z´>>a恒定电流场专业知识讲座第41页§4.11磁介质中磁场边界条件

Boundaryconditionsformagneticfieldsinmagneticmaterial三、分界面上无自由电流时折射关系媒质两边磁场方向与媒质特征相关。BoundaryconditionsfortangentialcomponentsofHBoundaryconditionsfornormalcomponentsofB恒定电流场专业知识讲座第42页

若媒质2为空气，媒质1为铁磁媒质。即：物理意义：磁场由铁磁体物体穿出进入一个非磁性物质区域时，磁场几乎垂直于铁磁体物质表面。在铁磁媒质表面，磁场方向与表面垂直。

若媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质物理意义：磁场由非磁性物质穿出进入一个铁磁体物体区域时，对任意一个不靠近零角度

1，在磁体媒质中磁场几乎与分界面平行。恒定电流场专业知识讲座第43页五、A和φm边界条件A在分界面上切向分量连续H1t=H2tB1n=B2n恒定电流场专业知识讲座第44页无限长线电流位于z轴，介质分界面为水平面，求空间分布和磁化电流分布。分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿方向。解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边，连续而不连续。由安培环路定律：例题4恒定电流场专业知识讲座第45页求磁化电流：介质磁化强度为：体磁化电流为：面磁化电流为：恒定电流场专业知识讲座第46页在介质内r=0位置，还存在磁化线电流Im。由安培环路定律，有：分析:可由电流守恒关系求恒定电流场专业知识讲座第47页如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁心磁导率，磁环上绕有N匝线圈，通有电流I。求:(1)磁环中，。

(2)若在铁心上开一小切口，计算磁环中，。解：(1)由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得例题5恒定电流场专业知识讲座第48页(2)开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条件知在分界面上连续，大小为B,不连续。设环内外H分别为H1、H2由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得因为铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。恒定电流场专业知识讲座第49页恒定电流场专业知识讲座第50页在各向同性线性媒质中，穿过任意电流回路磁通量与回路电流强度成正比。一、电感定义电感定义：穿过某电流回路磁通量与回路中电流强度之比称为电感（电感系数），用L表示，即：§4.12电感InductanceL

称为回路电感，单位为H

（亨利）。由该定义可见，电感又可了解为与单位电流交链磁通链。

在线性媒质中，单个回路电感仅与回路形状及尺寸相关，但与回路中电流无关。说明：恒定电流场专业知识讲座第51页

若回路由N匝线圈绕成，则线圈总磁通量为各单匝线圈磁通量之和，称为磁链。若N匝线圈密绕，回路总磁通量为：恒定电流场专业知识讲座第52页

若有两个回路存在，如图示。与回路电流I1交链磁通链是由两个别磁通形成，其一是I1本身产生磁通形成磁通链

11，另一是电流I2在回路I1中产生磁通形成磁通链

12

。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1同理，与回路电流I2

交链磁通链是由本身产生磁通链

22

和电流I1在回路l2中产生磁通链

21

共同形成，即二、自感与互感恒定电流场专业知识讲座第53页L11，L22分别称为回路l1、

l2自感，

若周围媒质是线性，则比值，及均为常数，令M12

、M21分别称为回路l2

对L1、

l1对

l2互感。说明：若回路导线直径较粗，则式中：为回路内自感，即导体内部磁场与个别电流交链所形成电感。

为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感。恒定电流场专业知识讲座第54页三、互感计算诺伊曼公式恒定电流场专业知识讲座第55页1、互感含有互易关系，即

2、若dl1与dl2处处保持垂直，则互感；若处处保持平行，则互感M

值到达最大。假如需要增强两个线圈之间耦合，应彼此平行放置；若要防止两个线圈相互耦合，则应相互垂直。3、互感可正可负，其值正负取决于两个线圈电流方向，但电感一直应为正值。若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链降低，互感为负值。四、自感与互感特点：恒定电流场专业知识讲座第56页五、计算电感普通步骤：1）

假设回路中通有电流I；2）

求出磁感应强度B或矢量磁位A；3）

计算与回路交链磁通；4）

由磁通与电流比值求出电感。恒定电流场专业知识讲座第57页分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感。所以同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互感组成。设同轴线内导体载流为I，则由安培环路定律，知

求同轴线单位长度自感。设同轴线内径为a，外径为b，内外导体间为真空。导体磁导率为例题6解：同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导体互感组成。即：bcrcbaOdrIIe

a

IO恒定电流场专业知识讲座第58页a

IO如图，在内导体内半径为r处取一长为单位长度，宽为dr矩形面元，则经过该面元磁通为：令与所交链电流为I',可知若将整个内导体电流看作1匝，则与交链电流匝数为先求LibcrcbaOdrIIe

恒定电流场专业知识讲座第59页

由磁链定义，知与对应磁链为：

整个内导体单位长度内磁链为

故内导体单位长度内自感为内外导体间单位长度磁链为：求Lo恒定电流场专业知识讲座第60页求双传输线单位长度自感。设导线半径为a，导线间距为D。(D>>a)分析：导线为细导线，故只需考虑导体间互感。解：由安培环路定律，能够求得在导体间：则导体间单位长度磁通量为例题7恒定电流场专业知识讲座第61页一、电流回路系统磁场能量N个回路系统，i回路自感为Lii，i回路与j回路间互感为Lij，i回路电流为Ii，则磁回路系统磁场能量为:讨论：1、若回路为单回路系统，则§4.13

磁场能量Energyinamagneticfield考虑到回路电感，则电流为I单个回路周围磁场能量又可表示为式中

为与电流

I

交链磁通链。恒定电流场专业知识讲座第62页2、若电流为体电流分布，则其在空间中产生磁能为：

式中：为体电流在dV处产生磁位。V为整个空间。说明：

是恒定磁场总能量，且只适合用于恒定磁场；不是磁场能量密度，因为地方也存在磁场能量。若回路为双回路系统，则恒定电流场专业知识讲座第63页磁场能量二、磁能密度Magnetic

Energydensity恒定电流场专业知识讲座第64页定义：磁能密度为三、利用磁能求回路电感对于线性均匀媒质，恒定电流场专业知识讲座第65页解：设导体内电流为I，则由安培环路定律则导体内单位长度磁能为例题8求半径为a无限长直导线单位长度内自感。恒定电流场专业知识讲座第66页利用虚位移法来计算磁场力。在N个电流回路系统中，假定第i个回路在磁场力作用下产生一个虚位移

xi

。假如，磁场力做功Fi

xi，系统能量增加

Wm

，

Ws是与各电流回路相连接外电源提供能量。依据能量守恒定律，有

Ws=Fi

xi+

Wm详细计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链磁通维持不变。各回路电流不变在这种情况下，与各电流回路相连接电源提供能量为§4.14磁场力Magneticforce基础思绪：恒定电流场专业知识讲座第67页而系统增加磁能为:

Ws=Fi

xi+

Wm恒定电流场专业知识讲座第68页各回路磁通不变

magneticflux在这种情况下，与各电流回路相连接电源提供能量。

Ws=Fi

xi+

Wm

Ws

＝0注意：已要求广义力方向为广义坐标增加方向。所以，假如按照上述公式求得广义力数值为负，则表明广义力实际方向为广义坐标减小方向。磁场力应用比电场力更为广泛，而且力量更强。比如，电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力作用。恒定电流场专业知识讲座第69页

计算无限长载流导线与矩形电流环之间作用力。电流环尺寸及位置如图示。abD

0I1I2解利用虚位移方法，且设位移过程中电流不变，则导线与电流环之间相互作用力为式中例9恒定电流场专业知识讲座第70页取广义坐标l

为间距D，因L11及L22与D无关，所以相互作用力为式中负号表明，作用力实际方向为间距D减小方向，这就意味着F

为吸引力。若两个电流之一方向与图示方向相反，则M为负，F>0，表明F

为排斥力。恒定电流场专业知识讲座第71页计算电磁铁吸引力。设磁铁端面为S，气隙长度为l

，气隙中磁感应强度为B0

，如图示。B0SIl解因为铁芯能够近似看成理想导磁体，铁芯中磁场强度为零，