2021-2022学年高一数学下学期期末考试好题汇编：06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法（解析版）

专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法

题型一：求异面直线所成角

题型二：证明线线、线面平行的方法

题型三：证明面面平行的方法

题型四：证明线线、线面垂直的方法

题型五：证明面面垂直的方法

潺经典基础题

题型一：求异面直线所成角

一、单选题

1.（2019江苏苏州•高一期末）正方体A88-A8CR中，异面直线44与BC所成角的大小为（）

A.3伊B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】利用异面直线4A与BC所成角的的定义，平移直线BC,即可得答案.

【详解】在正方体ABCO-A4G。中，易得NAAD=90。.

vAD//BC

••・异面直线4A与8c垂直，即所成的角为90。.

故选：D.

【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.

2.（2020•宁夏银川•高一期末）下图的正方体A8CD-A'3'C'D中，异面直线AV与BC'所成的角是（）

A.30'B.45"C.60D.90

【答案】B

【解析】只需将异面直线A4'与3C平移至同一个平面内，转化为两条相交直线，即可求出它们所成的

角.

【详解】在正方体/WCO-A'B'C'。中，因为A4//88',

所以N3'8C'即为异面直线A4'与BC所成的角,

因为N8'8C'=451所以异面直线A4'与BC'所成的角为45.

故选：B.

【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动

直线，把异面问题转化为共面问题来解决，根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点

位置无关，往往可以选在其中•条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解.

3.（2021•陕西•西安市远东一中高一期末）如图，在正三棱锥£>-4SC中，AD_LDC,点尸为棱AC的中

点，则异面直线。尸与AB所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】取BC的中点E,回DFE即为所求，结合条件即求.

【详解】如图取8c的中点E,连接E凡DE,

则£7回48,aDFE即为所求，

设£>F=a,在正三棱锥。一ABC中，ADLDC,

故AB=AC=8C=2a,D4=O8=OC=伍，

0EF=DE=DF=a,

raZDFE=60.即异面直线DF与AB所成角的大小为60.

故选：c.

4.（2021•湖北孝感•高一期末）在正方体力8cO-A8G〃中，M为AC和BQ,的交点，则异面直线与

AA所成的角为（）

兀71_7171

A.-B.—C.-D.一

6432

【答案】A

【分析】平移直线A2至BG，将直线P8与A。所成的角转化为总与8a所成的角，解三角形即得结果.

【详解】如图，连接8G，M8,因为ARE1BJ,

所以NMBG或其补角为直线例8与AR所成的角，

因为1平面AAG2,所以BB、1MG,

乂MCt_L8Q,BB]CB、D,=B\,BB、,BQu平面MBB、,

所以MC|_L平面MBq，所以

设正方体棱长为2,则BC,=2五,Mg=gAG=夜，

MC,V2_1

sinNMBG而直角三角形中NM5G是锐角,

BCi~2^2~2

所以ZMBC\=T，即异面直线BM与A%所成的角是?

故选：A.

5.（2021•贵州毕节•高一期末）在空间四边形A3CD中，AB=CD,E,F分别为BC,4。的中点，若

A8与CO所成的角为40。，则“与AB所成角的大小为（）

A.20°B.70°

C.20。或70。D.40。或140。

【答案】C

【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求E尸与43所成角的大小.

【详解】取AC的中点M,的中点N,连接ME,EN，NF,FM,EF,

；M,E,N,尸分别是AC,BC,BD,AD的中点，，ME//AB,NF/MB,

ME//NF,同理ENIIMF,

四边形MEN尸是平行四边形，

又•；AB=CD,

:.ME=EN,四边形MENF是菱形，

AB与CO所成的角为40，:.NMEN=40或140,

•••EF与AB所成角是NMEF=；4MEN=20。或70,

故选：C

二、多选题

6.（2021•江苏常州•高一期末）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A.BF//CDB.DGLBH

C.CH与BG成60。角D.BE与平面ABCD所成角为45。

【答案】BCD

【分析】由正方体的平面展开图还原原正方体，再由正方体的结构特征结合空间角的概念逐个分析判断即

可

【详解】由正方体的平面展开图还原原正方体如图所示，

由正方体的结构特征可知，BF与异面垂直，所以A错误,

DG1CH,而“为3〃在平面。CGH上的射影，所以。G_L8H,所以B正确，

连接AH，由ABEJGH，AB=GH,可得四边形43GH为平行四边形，则AHI38G,所以NA/7C或其补

角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC,可得AAHC为等边三角形，得CH与BG成60。角，所以C正

确，

因为平面A8C。，所以/E84为8E与平面438所成角为45。，所以D正确，

故选：BCD

7.（2020•天津市红桥区教师发展中心高一期末）正方体A8CO-A8GA中，异面直线48与8。所成角的

大小为.

【答案】y

【分析】连接A。、BD,证明AD//BC，可得ZDAB即为异面直线A2与BC所成角，在△以〃求

ND4.8即可求解.

【详解】

A---------0R

如图，连接A。、BD,

因为所以四边形4与8是平行四边形，

所以AD//BC，

所以ND4/即为异面直线AB与BC所成角，

设正方体ABC。—AMG。］的棱长为。，在△ZM/中，DJ\=AyB=BD=,

所以△〃乃是等边三角形,

所以ND4|B=（,即异面直线AB与BC所成角为（，

故答案为：—

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，具体步骤如下

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,],当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

8.（2022・陕西西安•高一期末）在正方体48co-AqG。中，则异面直线Aq与的夹角为.

【答案】y

【解析】先证明AR//BG，可得NRA用或其补角即为异面直线A耳与8G所成的角，连接。耳，在AABR

中求N"44即可.

【详解】

在正方体ABCO-ABCR中，

AB//DC.AB=CD,。G〃"，2G=。。，

所以AB〃QG，4B=RG，

所以四边形A8CQ是平行四边形，所以明//明，

所以NRAg或其补角即为异面直线AB｝与BC,所成的角，

连接口鸟，由ABCD-ABCR为正方体可得A44R是等边三角形,

7T

所以/R4用=§.

故答案为：—

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直

线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,擀，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

9.（2020•湖北湖北•高一期末）已知M是长方体A8C3-A8GA的棱的中点，底面ABCD为正方形且

AAt=2AB,则AM与鸟。所成角的大小用弧度制可以表示为.

【答案】y

【分析】取AA中点N,连接片MAN,可判断即为AM与8a所成角，求出即可.

【详解】如图，取AA中点N,连接B、N,D\N,设AA=248=2,

是中点，可知4'//8m且47=8附，

二四边形是平行四边形，.•.AM//BN,

则即为AM与片口所成角，

诃知B\N=Ji,B\D\=G,,D\N=O,

\?DRN即AM与BQ所成角为

故答案为：y.

【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，属于基础题.

10.（2021•吉林•长春市第二十中学高一期末）如图，在正方体中，E,F依次是4。1和

&Q的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为.

【答案】|3

【解析】先推导出8用AE,从而如FC是异面直线AE与CF所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直

线AE与CF所成角的余弦值.

（详解］解：在正方体ABCD-AiBiCiDi中，

团E,F依次是45和&G的中点，

E1BFEL4E,H3BFC是异面直线AE与CF所成角（或所成角的补角），

设正方体ABCD-AiB^iDi中棱长为2,则BF=CF="TT=加,

5+5-43

团cos（38FC=/=7=—~.

2xy/5xyj55

3

13异面直线AE与CF所成角的余弦值为j

3

故答案为：j.

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

11.（2021•山西吕梁•高一期末）已知正三棱柱中中，AB=2,3耳=4,。，E分别是棱

8片的中点，则异面直线与。与AE所成角的正切值为.

【答案】叵

3

【分析】作出辅助线，证得/。4尸或其补角为异面直线片。与AE所成角，然后求出相关线段的长度，进

而在4片。尸中，利用余弦定理求出余弦值，进而可以求出结果.

【详解】

•,*1Bi

取4A的中点F,连接用£。尸，因为E分别是棱B国的中点，所以AF=BE且A尸//qE,所以四边形

AFBg为平行四边形，故尸片//E4,所以/。用尸或其补角为异面直线用。与AE所成角，因为△ABg为

等边三角形，短分别是棱AC的中点，所以BQAAC，所以4。=6,

在/中，DF=J「+22=后,

在心人钻石中，AE=V22+22=2>/2>所以"尸=2夜，

在△耳。厂中，cos=+仅©一阴=』，因为异面直线成角的范围是（o,g］，故NDB7为

12x6x204I*

异面直线BQLJAE所成角，而tanNO81F=巫，

3

故答案为：

3

题型二：证明线线、线面平行的方法

一、单选题

1.（2020•湖南师大附中高一期末）设。是直线，a是平面，则能推出a〃a的条件是（）

A.存在一条直线b,allb,buaB.存在一条直线b,alb>bLa

C.存在一个平面夕，au〃，allpD.存在一个平面尸，aVp,aVp

【答案】C

【分析】利用。ua可得到ABD的反例，利用面面平行性质知C正确.

【详解】对于A,若aua,可满足a//.bua,但无法得到a〃a,A错误；

对于B,若aua,可满足力，6_La,但无法得到a//a,B错误；

对于C,由面面平行的性质知；若切aufi,则a〃c,C正确；

对于D,若“ua,可满足。，用，a^p,但无法得到a〃a,D错误.

故选：C.

2.（2019•天津市红桥区教师发展中心高一期末）下列正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,P

分别为其所在棱的中点，能得出直线AB0平面MNP的图形的序号是（）

A.①③B.①②

C.①④D.②③

【答案】A

【分析】运用线面平行的判定、面面平行及线面相交、面面平行的性质，并结合图形即可判断结论在各图

中是否正确

【详解】图①，如图，作MC〃NP,连接NC,PC,得平面MCPN

AB//NC,NCu平面MCPNEA3〃平面MCPN

即A8〃平面MNP,故①项」卜：确；

图②，如图，连结AC,40,C。

②

由已知可得平面MNP//'Y'\h\ACD；

12AB和平面AC£）相交，

0AB不平行于平面MNP,故②项错误；

图③，如图，连接CQ

由已知可得A8〃C£>,而MP〃CD,可得

团平面AB•/平面MN尸，

又团MPu平面脑VP

EM3〃平面MNP,故③项正确;

③

④项，如图,

由DB〃MN,MNu平面MNP,若AB〃平面MNP,又=8

则平面AC8O〃平面MNP

而由图可知，平面AC3Z）不可能平行平面MNP

0AB不平行于平面MNP,故④项错误.

综上，①③符合题意.

故选：A

二、填空题

3.（2021•天津河东•高一期末）如图，a\p=CD,aly=EF,01y=AB,AB//a,则CD与E尸的位

置关系为___________

【答案】CD//EF

【分析】由线面平行的性质有"〃C£>,根据线面平行的判定可得CD〃乙最后再由线面平行的性质即可

得CD//EF.

【详解】（3AB〃a,ABu13,al/J-CD,

图AB//CD,乂ABuy,CDay,

0CDi/y,又CDua,aly-EF,

0CD//EF.

故答案为：CDHEF

DEDF

4.（2021•浙江•高一期末）空间四边形ABC。中，E,尸分别在边45,8上，且满足——=——，则直线EF

EAFC

与平面ABC的位置关系是.

【答案】平行

【分析】由已知得跳'〃AC,由此能证明EF//平面A8C.

DFDF

【详解】•.•空间四边形A8CD中，E,尸分别是A。，CD上的点，且妾==

EAFC

：.EF//AC,

•••£Fa平面A8C,4Cu平面48C,

.•.EF〃平面ABC.

故答案为：平行.

5.（2022•陕西•宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）如图，平面a//////,直线/,〃?分别与a、

B、/相交于点A、8、C和点£>、E、F,若黑=:，DF=2O,则EF=_______.

£>CJ

【答案】15

【分析】分两种情况：（1）直线/和机在同一平面内（2）直线/和加不在同一平面内，即/和优异面然后

利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果.

【详解】分两种情况：

（1）直线/和机在同一平面内，设该平面为丁，连结

因为平面。//夕///，«Ar-AD,pAT-BE,yflT-CF,所:以AD//BE//CF,

所以空=竺=?，又。尸=20,所以所=15；

BCEF3

（2）直线，和用不在同一平面内,即/和加异面，过。作W///AC,

平面a〃6〃y,QAB=DG,BC=GH,

设直线。〃与AC所确定的平面为J,

又==又尸〃7,所以GE//HF,

利用平行线分线段成比例，可得要=当=空=:，乂。尸=20,所以历=15.

BCGHEF3

综上，所=15.

故答案为：15.

三、解答题

6.（2021•新疆•伊宁市第四中学高一期末）已知E、F、G、”为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA

上的中点，求证：EH//FG.

A

【分析】根据中位线定理与平行公理证明即可.

【详解】证明：0在△430中，E、H为边AB、D4的中点，

SEH/IBD.

回在△BCD中，F、G为边BC、CD匕的中点，

SFG//BD.

0EH//FG.

7.（2022・陕西•铜川阳光中学高一期末）如图，在正方体ABC3-AgCQ中，点E,尸分别是棱8稣。2的

中点.求证：

（1）BDHAEF■,

⑵£FJ-平面ACC/.

【分析】（1）易证得四边形BDFE为平行四边形，可知BD//EF,由线面平行的判定可得结论；

（2）由正方形性质和线面垂直性质可证得班＞_L4C,由线面垂直的判定可得BOL平面

ACG4，由瓦7/%＞可得结论.

⑴；E,F分别为明,。。的中点，BB、=DD、,BBJ/DD、,

.•.^《〃。尸且班:二以^二四边形①）/为为平行四边形，；.^。//^,

又EFu平面AEF，BD<zTl前AEF,：.8。〃平面AEF.

⑵四边形A8c。为正方形，BDVAC-：EF//BD:.BDVEF；

•••然，平面ABC。，

乂ACnA4,=A,AC,A41u平面ACGA，

二.EF_L平面ACC；4

8.(2021•陕西•西安市远东一中高一期末)如图，正方体ABCO-ABCQ中，点E,尸分别为棱。A，

8c的中点.

⑴证明：平面ABCQ；

(2)证明：所//平面"CQ.

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理即证；

(2)设AOc4R=G,由题可得E/=BG8,再利用线面平行的判定定理可证.

⑴由正方体ABCO-AB|GA的性质，可得平面ADRA，

A.D,又A〃cA8=A,

13Aol.平面4BG。；

(2)设ADcAR=G,连接EG/G,

则EGHAD,EG=-AD,BF//AD,BF=-AD,

22

0EG"BF,EG=BF,

13四边形BFEG为平行四边形，

I2ER3G8,又所二平面ABCQ,G8u平面480。，

回所//平面48。。

9.（2022・陕西渭南•高一期末）如图，在正方体ABCO-AB。。中，E、F分别为力。、CC,的中点,

AC与BO交于点。.求证：

⑴CE//FR；

⑵平面AEC〃平面8FR.

【分析】（1）证明出四边形CE£>F为平行四边形，可证得结论成立；

（2）证明出0E//平面BFR,CE〃平面啊,利用面面平行的判定定理可证得结论成立.

⑴证明：在正方体A8C3-A8GR中，CCJ/DD,旦或小皿,

因为E、尸分别为。4、CG的中点，则C尸〃QE且CF=RE,

所以，四边形CEO尸为平行四边形，则CE//FR.

（2）证明：因为四边形A8CD为正方形，ACC\BD=O,则。为8。的中点，

因为E为。牛的中点,则0E//BD,,

•••0EO平面8FR,8Ru平面BFR,所以，0E〃平面8FR,

因为CE〃尸。，CE<z平面8FR,尸Ru平面BFR,所以，CE〃平面BFR,

因为OEcCE=E,因此，平面ACE〃平面8FR.

题型三：证明面面平行的方法

一、单选题

1.（2021•贵州铜仁•高一期末）已知“，b,c表示直线，a表示平面，给出下列命题：

①若a〃a,blla,那么a//。；②若bua,alia,那么a//。；③若a_Lc,bLc,则。_|_力；④若

a_La,b±a,那么a//6.其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】对于①②③可以判断出直线。、b可能平行，可能相交，也可能异面;

对于②直线。、人可能平行，也可能异面；

对于④利用线面垂直的性质定理直接证明即可.

【详解】对于①若出/a，blla,那么直线小匕可能平行，可能相交，也可能异面；故①错误；

对于②若bua,alia,那么直线a、人可能平行、也可能异面；故②错误；

对于③若b±c,那么直线a、b可能平行，可能相交，也可能异面；故③错误；

对于④若。_Lc,b±a,按照线面垂直的性质定理可得：。//6故④正确.

故选:B

2.（2021•贵州•黔西南州同源中学高一期末）已知两条不重合的直线〃2，〃和两个不重合的平面a,3有下列

命题：

①若帆ua,n上0,a//J3,贝！〃*

②若小_La,nLp,tnIIn,则a///?；

③若根_L〃，mLa,则〃//a：

④若m//a,nlla,则加〃

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用空间线面、线线，面面的位置关系一一判定各选项即可.

【详解】①当mua,n工0,a/甲,则朋_1_〃，所以①错误；

②因为加_La,m//n=>n±a,乂〃_L尸则a///?,所以②正确；

③若〃2_L〃，则〃//a或〃ua,所以③错误；

④若〃z//a,〃//。，则〃或相，"相交或八〃异面，所以④错误.

故选：A.

二、多选题

3.（2021・江苏•金陵中学高一期末）己知私〃是两条不同的直线，％△是两个不重合的平面，则下列结论

正确的是（）

A.若m1n,n//a,则〃2_La

B.若加J■夕，则加

C.若a_LP，ac/=6,〃_L6,则〃J_尸

D.若mua,〃ua,且加与〃不平行，机//尸,九///,则a///?

【答案】BD

【解析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.

【详解】A：若“则阳与。平行或相交或，"ua,A选项错误；

B：因为，所以〃2///7或/u",又nX.B,所以加，〃，B选项正确；

C：若夕_1£℃胃=肛〃，加，则”与夕相交或平行或“U/7,C选项错误；

D：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D选项正确；

故选：BD.

三、填空题

4.（2019・湖南•临澧县第一中学高一期末）平面几何中我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”，试将该

命题中的直线（部分或全部）换成平面，写出一个在空间中成立的命题：.

【答案】"垂直于同一直线的两个平面平行"或"垂直于同一平面的两直线平行”

【分析】从直线到平面，从平面到空间进行类比得解.

【详解】从直线到平面，从平面到空间进行类比得到一个在空间中成立的命题：

"垂直于同一直线的两个平面平行"或"垂直于同一平面的两直线平行

故答案为："垂宜于同一直线的两个平面平行"或"垂直于同一平面的两宜线平行"

【点睛】本题主要考查空间位置关系，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

四、解答题

5.（2021•贵州黔东南•高一期末）如图，在四棱锥P-48CO中，ABC。是正方形，PDL平面ABCD,

PD=AB,瓦尸,6分别是小,尸。,3（7的中点.

⑴求证：PC1AD；

⑵求证：平面E48//平面EFG.

【分析】（1）由尸。_L平面A8C£>,得AD_LP£）,再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由

EF//AB证明斯〃平面PAB,由EG〃所证明EGII平面PAB.再由面面平行的判定定理证明即可.

⑴由PDJ•平面口(：£>，得AD_LPD,乂4)_LCD(ABC。是正方形)，PDcCD=D、所以AD_L平面

PDC,所以ADJ.PC.

(2)由E,尸分别是线段PC,的中点，所以所//①，又ABC。为正方形，AB//CD,所以所〃又

上尸(2平面R4B，所以防//平面因为E,G分别是线段PC,8C的中点，所以EGUPB,又EG。平面

PAB，所以EG〃平面因为E/nEG=E,E£EGu平面EFG,所以平面瓦G〃平面RW.

6.(2021・广东江门•高一期末)如图，AB是圆。的直径，Q4垂直圆。所在的平面，C是圆。上的点.

(1)求证：BC_L平面PAC；

(2)设。为丛的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG//平面PBC.

【分析】(1)根据圆直径的性质，得BCLAC,山”，平面ABC得8CLB4,利用线面垂直的判定定

理，可证5CL平面PAC；

(2)延长OG,交AC于〃，连结GM、QM,证出QM是△%C的中位线，得QV/〃PC.利用线面平行

的判定定理证出QM〃平面PBC,同理可得。。〃平面PBC,根据面面平行的判定定理，可得平面

OQG//平面P8C.

【详解】解：(1)E1A8是圆。的直径，0BC1AC,

又回抬_1_平面ABC,BCu平面ABC,SBC!PA.

团巳4nAe=A,回BCL平面PAC；

(2)延长OG,交AC于〃，连结GM、QM,

0G为△AOC的重心，EIQM是△AOC的中线，

田。为Q4的中点，M为AC的中点，^QMIIPC,

回QM<Z平面PBC,尸(7匚平面「8(7,回。知//平面P3(7,

同理可得Q。//平面PBC,

E1QM、QO是平面OQG内的相交直线，

团平面OQG//平面PBC.

7.(2021•贵州毕节•高一期末)如图甲，已知在四棱锥P-A8CD中，底面A8CD为平行四边形，点”,

(1)若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求证：平面MNQ〃平面PBC；

(2)如图乙所示，若。满足PQ：Q〃=2,PM=tPA,当f为何值时，8M〃平面AQC.

【答案】(1)证胆见解析，(2)t=\

【分析】(1)由已知比例式结合平行线截线段成比例证明线线平行，进一步得到线面平行，再由面面平行

的判定定理可证得结论；

(2)连接AC交3。于。，连接发，取尸。的中点G,连接8G,则可得8G回OQ,可得BGE1平面

AQC,取E4的中点M,连接GM,则GM回A。，可得GM团平面4QC,则平面3GM团平面AQC,贝ij

回平面AQC,可得M为总的中点.

【详解】(1)证明：因为/W：M4=?Q：Q，

所以QMGIA。，

因为AO回BC,所以Q"国8C,

因为QMa平面PBC,BCu平面P8C,

所以QM回平面PBC,

因为BN:ND=PQ:QD,所以。7团心，

因为QVa平面PBC,P8u平面PBC,,

所以QN回平面PBC,

因为QWAQN=。,QMu平面MNQ,QNu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面P8C；

(2)连接AC交3£)于。，连接@2,取PQ的中点G,连接8G,则BG团OQ,

因为QOu平面AQC,BG<z平面AQC,

所以BG回平面AQC,

取Q4的中点M,连接GM,则GMEMQ,

因为AQu平面AQC,6知二平面人。＜7,,

所以GM团平面AQC,

因为BGcGM=G,所以平面BGM团平面AQC,

因为@Wu平面BGM,

所以BM回平面AQC,

此时M为上4的中点，

所以

2

因为PM=fP4,所以，=1

2

题型四：证明线线、线面垂直的方法

一、单选题

1.（2021•辽宁・辽河油田第一高级中学高一期末）设a,°,/为不同的平面，加，〃，/为不同的直线,

则下列条件一定能得到，"，夕的是（）

A.aC\Y=m,al/,pB.«±/7,ap/7-/,ml.I

C.〃_La,nY/3,mA.aD.a-L/,PLy,mLa

【答案】C

【解析】根据排除法，结合线面垂直的判定，可得结果.

【详解】在A中，因为"，所以〃?uamuy,

而尸J_y,机并不垂直于4内的所有直线，

所以夕和加可能不垂直,故A错误；

在B中，阳只垂直夕内的一条直线，

所以不能推出夕，故B错误；

在C中，因为〃，心〃，夕，所以a〃4，

又〃z_Le,所以〃故C正确；

在D中，由a_L7，£_Ly,不能推出a〃/，

所以由m_La不能推出“，/，故D错误.

故选：C

【点睛】本题主要是线面垂直的判定，属基础题.

2.（2021•陕西•西安市远东一中高一期末）已知a,0,7是三个不同的平面，/是一条直线，则下列说法

正确的是（）

A.若a_L£,aly,£口7=，，则/_La

B.若aL/3,lua,则/，6

C.若a1/3,。工丫,则

D.若a上厂,a口尸=/,/〃？，则6

【答案】A

【分析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.

【详解】对于A,在平面a内取一点P,在平面a内过p分别作平面a与夕，a与7的交线的垂线〃力，

则由面面垂直的性质定理可得用力，7,又pny=l,

0/±a,Z±6,由线面垂直的判定定理可得/_La,故A正确：

对于B,若/ua,则/与a位置关系不确定，可能,与夕平行、相交或/在尸内，故B错误;

对于C,若。，/?,P^y,则a与/相交或平行，故C错误；

对于D,如图平面a,£7,且cJL£,aA/?=/,l//y.

显然夕与/不垂直，故D错误.

故选：A.

3.（2022•陕西・宝鸡市渭滨区教研室高一期末）在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂

直，则这两个角的大小关系为（）

A.相等B.互补

C.相等或互补D.不确定

【答案】D

【分析】NED尸的边OE垂直平面£0尸，所以。E_LOE，作EF1OF则。F_LOF.

【详解】如下图所示，NEOF确定一个平面，NEDF的边DE垂直平面EOF,所以DELOE,

作EFLOF,因为。E_L平面EOF,而OFu平面EOF,故。ELO尸，

而EFcDE=E,故OF_L平面EOF,又£>Fu平面E£>F中，则。尸，。尸，

对于给定的NEOF，当。变化时，/即尸的取值范围为（0,^）,

故ZEOF的大小跟NEDF无关.

故选：D

二、填空题

4.（2022・宁夏•银川唐彳来回民中学高一期末）如图，在直四棱柱ABCO-ABGR中，当底面ABCD满足条

件时，有4C,线（只需填写一种正确条件即可）

【答案】ACJ.B0答案不唯一）

【分析】直四棱柱ABCO-ABCP，4G是AC在上底面AB|GP的投影，当AC，4A时，可得

AQBQ,当然底面A8C力满足的条件也就能写出来了.

【详解】根据直四棱柱ABS-ABGR可得：BBX^DDX,且期=DR,所以四边形明DQ是矩形，所以

BDOBR,同理可证：AC团AG，当ACLBD时，可得：AJ上BQ,,且CCJ底面A8G。，而8Qu

底面A81GR,所以CC,LBR,而AGncc,=£,从而8Q_L平面ACG，因为ACu平面ACG，所以

AC”R,所以当AC,8。满足题意.

故答案为：AC1BD.

三、解答题

5.（2021•江苏•南京市第二十九中学高一期末）已知直线加〃平面a,直线/，平面a.求证：口通

【分析】过山作平面夕交平面。于直线加，根据线面平行的性质易知机〃加，再由线面垂直的性质有/_L

m',由平行线的性质即可证结论.

【详解】证明：如下图，过，〃作平面夕交平面a于直线加，

团血/a,p（~\a-ni,

0m/Ini,

E）/_La,而WJ'ua,

0/1m,,

综上，/_Lm,得证.

6.（2021•陕西•西安市远东一中高一期末）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ为平行四边形,

/ADB=NP£）C=90。，平面皿＞_L底面ABC。，M是棱PC上的点.

p

⑴证明：PZU底面ABC。；

（2）若三棱锥A-的体积是四棱锥P-43co体积的；，设尸河=仅纥，试确定，的值.

【答案】⑴详见解析；⑵f=I.

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得8。，平面PAD,然后利用线面垂直的判定定理即证：

（2）由题可得匕皿M=%一皿=-V1B8,进而可得用C=；PC，即得.

（1）0ZADB=9O°,平面尸AD_L底面A8CD,

回A£）_LB。，平面PADn底面ABCC=AQ,8Du底面A8CZ）,

团8。1.平面上4£）,P£>u平面R4O，

51BD1PD,乂ZRDC=90。，

0PD工DC,BDlDC=D,

E）P£），底面ABCD-,

⑵设PD=h,M到底面ABCD的距离为“，

回三棱锥A-BDM的体积是四棱锥P-ABCD体积的工，

4

团匕l-H/加=^M-ABD=^P-ABCD，

乂VM-ABD=SJBD，人‘Vp-ABCD=gaABCD,用,^ABD=万^BCD'

a//=-/!,故MC=^PC,

22

又PM=tMC,

所以f=1.

题型五：证明面面垂直的方法

一、多选题

1.（2021•浙江嘉兴・高一期末）已知”,b是两条不重合的直线，a,尸是两个不重合的平面，则下列命题为

真命题的是（）

A.若a〃力，a与a所成的角和b与夕所成的角相等，则a//B

B.若a_La,aL[3,则a〃尸

C.若a〃b,aA-a,blip,则cr_L/?

D.若a"a,allp,则a//在

【答案】BC

【分析】判断命题真假可以直接对各选项逐个判断.对于A可通过直观想象判断其存在平行或异面或相交几

种情况；对于B可通过直线与平面垂直的性质得到；对于C通过直线与平面垂直性质和平面与平面垂直的

判定定理判断；对于D可直观想象知存在R/夕或au#两种情况.

【详解】对于A,若。//尸，〃与a所成的角和6与夕所成的角相等，贝!!。/力或。与b相交或。与b异面，故

A错误；

对于B,若a_Lc,aV/3,由线面垂直的性质可知a〃尸，故B正确；

对于C,若a〃b,a±a,则6_La,又因为"夕，则故C正确；

对于D,若a〃a,allp,则a〃夕或au/7,故D错误.

故选:BC

二、解答题

2.（2021•江苏南通•高一期末）如图，在四棱锥P-中，底面ABC。是矩形，点E、F分别是棱PC

和尸。的中点.

（1）求证：EF〃平面

（2）若加平面皿>1.平面ABC。，证明：平面B4DJL平面PC。

【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合矩形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可.

【详解】（1）证明：因为点E、尸分别是棱PC和尸。的中点，所以EF//CD

又在矩形ABCO中，AB//CD,所以所〃相

又A8i平面EF<Z平面用8

所以EF〃平面PAB.

（2）证明：在矩形45C£>中，ADA.CD,又平面R4Z）_L平面ABCD,平面尸490平面456=4£）,

C£>u平面ABCD

所以CD_L平面粗。，又AFu平面出。

所以COJ.AF.①因为A4=A£）目.尸是尸。的中点，所以AF_LP£>,②由①②及P£>u平面PCD,CDu

平面PCD,PDcCD=D

所以AFJ•平面PC/）.又AFu平面玄。，所以平面尸4），平面FC。.

3.（2021•广东•封开县渔涝中学高一期末）如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8C。是边长为3的正方

形，AP=y/6,PD=y/3,平面APD3平面4BCD,E为AP的中点，/为C£>的中点.

（2）求证：平面APB0平面PCD.

【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明

即可；

（2）根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可.

【详解】（1）设所的中点为G,连接EG,FG,

因为E为AP的中点，所以EG〃AB且=

因为F为。的中点，底面A8CD是正方形，

所以fC//AB且此'=\AB'因此9C〃£G且fC=EG,

所以四边形EGCF是平行四边形，因此所//GC,因为“0平面PBC,GCu平面PBC,

所以平面PBC；

(2)因为底面A8C。是边长为3的正方形，所以AQ=3,因为”=#,PD=0

所以有A£)2二%心?。，因此pr>_LR4,

因为底面ABCO是正方形，所以B4LD4,因为平面APDO平面ABCD,

平面APD0平面A8CD=AD.

所以ABJ•平面AP。，因为PDu平面4P。，所以

因为A8cF4=A,AB,PAu平面APB,

所以P£>_U平面AP8,因为PDu平面4P。，

所以平面APRS平面PCD.

4.(2021•江苏扬州•高一期末)正方体A8C£>-A8|C|R中，E为棱。。中点.

(1)求证：B。//平面AEC；

(2)求证：平面4ACJ,平面gBDQ.

【分析】(1)由线面平行的判定定理可证得结果；

(2)证得AC,平面8。。用，进而由面面垂宜的判定定理可证得结果.

【详解】(1)设4c与8。交于点O,连结OE.因为ABCD-A鸟GA是正方体，所以ABCD为正方形，0

为BD中点.

又因为E为。。中点，所以OE//3R.又因为OEu平面AEC,B。<Z平面AEC,所以8。//平面AEC.

(2)因为ABCD-AMG。是正方体，881平面ABCD又ACu平面ABC。，所以ACJ■网.又ABCD为

正方形，所以AC_LBD.

因为AC_L8。,AC，8月,u平面BDD国,BDu平面BDDtB«BB\CBD=B,所以AC，平面BDDtBt.

又因为ACu平面BtAC,所以平面B.AC1平面BXBDD..

5.（2021•山东枣庄•高一期末）如图，4B是圆。的直径，点C是圆。上异于A,8的点，直线PCJ_平面

ABC,E,尸分别是线段抬，PC的中点.

（1）证明：平面3EF_L平面R5C；

（2）记平面3EF与平面ABC的交线为/,试判断直线跖与直线/的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF//1,理由见解析.

【分析】（1）推导出AC_LPC,AC±BC,4cd.平面P8C,从而EF//AC,进而EFJ.平面P8C,由此

能证明平面BEF_1_平面PBC.

（2）推导出所〃AC,EF//平面ABC,根据线面平行的性质，即能证明EF〃/.

【详解】解：（1）因为PC_L平面ABC,ACu平面ABC,

所以AC_LPC.

因为C是以A8为直径的圆。上的点，

所以AC_LBC.

又PCcBC=C,

所以AC_L平面P8C.

因为E,尸分别是R4,PC的中点，

所以£f7/AC.

所以Er1.平面PBC.

又£Fu平面BEF,故平面3EF_L平面PBC.

（2）EFHl.

证明如下：由（1）,E/7/AC.又ACu平面ABC,EFC平面ABC,

所以EF〃平面ABC.

又EFu平面BEF,平面8EFI平面ABC=/,

所以EFM.

6.（2021•山东济南•高一期末）如图，在直四棱柱A8C3-A8GR中，底面ABCQ为菱形，M,N分别

为A〃，CR的中点.

（1）求证：平面用RMJL平面A4.CC；

（2）求证：MN〃平面AACC.

【分析】（1）由底面44GA为菱形,得与2，AG，由四棱柱为直四棱柱，得AA_L平面ABGR,

A4,，乌R,从而BQ_L平面MCC，由此能证明平面，平面A4,GC.

（2）设B内交A&于点E,连接A