昆明市八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（）A． B． C． D．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，△ABC的面积为120，则△BCD的面积为（

）A．20 B．24 C．30 D．403．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（）A． B． C．﹣1 D．4．如图①，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图②方式折叠，使点A与点CB重合，折痕为，则与的面积之比为（）A． B． C． D．5．如图，在中，，垂足为D，M为上任一点，则等于（）A．93 B．30 C．120 D．无法确定6．如图所示，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则线段的长是（）A． B． C． D．7．有一圆柱高为12cm，底面半径为cm，在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（）A．12cm B．13cm C．10cm D．16cm8．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（）A． B． C． D．9．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中为中心，，，，是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线上与点相距处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．1211．若的三边a、b、c满足，则的面积是（）A． B． C． D．12．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边，在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A． B．C． D．二、填空题13．如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为__________．14．在中，，，，；在中，，，，．现有两个动点P和Q．同时从点A出发，P沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为；Q沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度为__________．15．如图，等腰直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为_________．16．在平面直角坐标系中，点A(0，－3)，B(4a＋4，－3a)，则线段AB的最小值为___________．17．公园3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设4，小正方形的面积是9，则弦长为_______．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AD＝5，AC＝4，则△ABD的面积为____________．19．如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________．20．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为_____尺．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）三、解答题21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=3，点D是CB延长线上的一个动点，线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结BE，与AC的延长线交于点M．（1）若BD=1，△ADC中AD边上的高为h，求h的值；（2）求证：M为BE的中点；（3）当D点在CB延长线上运动时，探索的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由．22．在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．23．已知的三边长分别为、、，且，，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与的面积相等时，求这个正方形的边长．24．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？25．如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝2cm，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为ts，点Q是线段BP的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；26．如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即）．量得，，求点A和点B间的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC的长度，连接AE，然后设BE=AE=x，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴，∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AB=5，∠EDB=90°，AE=BE连接AE，设AE=BE=x，则CE=x-6在Rt△ACE中，，解得：∴BE=AE=在Rt△BDE中，ED=．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．2．C解析：C【分析】根据已知条件可知∠A＝∠BCD＝30°，在Rt△BCD中设BD＝x，则BC＝2x，由勾股定理求得CD＝，在Rt△ACD中，AC＝2BC＝，根据△ABC的面积为120，即，求得的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD的面积．【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，∴在Rt△ABC中，∠A＝30°，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，∴设BD＝x，则BC＝2BD＝2x，CD＝，∴在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝，∵△ABC的面积为120，∴，解得：，∵，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．3．B解析：B【分析】先由勾股定理求出AB=，再由BD=BC=1，得AE=AD=AB-BD=，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=，∵BD=BC=1，∴AE=AD=AB-BD=，∴，故选B．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．4．D解析：D【分析】由折叠可得，，根据勾股定理可得，，的长度，即可求面积比．【详解】解：，，，折叠，，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，关键是熟练运用勾股定理求线段的长度．5．C解析：C【分析】由结合勾股定理可得：，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．6．A解析：A【分析】连接，由三角形全等以及三线合一可知垂直平分线段，推出，设，在中，，根据构建方程即可解决问题．【详解】如图，连接，由已知条件可知垂直平分线段，∴，设，，在中，，∴，∴，解得：，∴，故选：A．【点睛】本题考查了基本作图，圆的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．B解析：B【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即=5cm，矩形的宽是圆柱的高12cm．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线AB的长，即AB=cm故选：B．【点睛】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．8．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长==5cm，高为12cm，由勾股定理可得：杯里面管长=＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm），∴故选：B．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．9．B解析：B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P，则A(6，0)，B（3，0）；C（3，3）；D（4.5；1.5）；P（14，0）则AP=14-6=8m<10m，故A需调整；BP=14-3=11m>10m，故B不需调整；CP=>10m，不需调整；DP=<10m，故D需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.10．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度．【详解】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：，∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．11．B解析：B【分析】根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．【详解】解：∵，∴，解得，又∵，∴△ABC为直角三角形，∴．故选：B．【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键．12．B解析：B【分析】直接根据梯形ABCD的面积的两种算法进行解答即可．【详解】解：由图形可得：故答案为B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．二、填空题13．【分析】根据是的垂直平分线得到BD=CDBE=CE推出∠DBC=∠C根据BD平分推出∠ABD=∠CBD=∠C求出∠C=得到DE=1利用勾股定理求出CE即可得到BE【详解】∵是的垂直平分线∴BD=CD解析：【分析】根据是的垂直平分线，得到BD=CD，BE=CE，推出∠DBC=∠C，根据BD平分，推出∠ABD=∠CBD=∠C，求出∠C=，得到DE=1，利用勾股定理求出CE即可得到BE．【详解】∵是的垂直平分线，∴BD=CD,BE=CE，∴∠DBC=∠C，∵BD平分，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=∠C，∵∠ABD+∠CBD+∠C=，∴∠C=，∵，∴DE=1，∴BE=CE=，故答案为：．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟记线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．14．cm/s或cm/s或cm/s或cm/s【分析】当点P在边AC运动点Q在边AB运动有△APQ≌△DEF或△APQ≌△DFE；当点P在边BA运动点Q在边CA运动有△APQ≌△DEF或△APQ≌△DFE分解析：cm/s或cm/s或cm/s或cm/s【分析】当点P在边AC运动，点Q在边AB运动，有△APQ≌△DEF或△APQ≌△DFE；当点P在边BA运动，点Q在边CA运动，有△APQ≌△DEF或△APQ≌△DFE，分别利用路程=速度×时间计算．【详解】解：在△DEF中，DE=4，DF=5，∠E=90°，∴EF==3，当点P在边AC运动，点Q在边AB运动，△APQ≌△DEF时，AP=DE=4，AQ=DF=5，则点P的运动时间为4÷3=（s），∴点Q的运动速度为5÷=cm/s；△APQ≌△DFE时，AP=DF=5，AQ=DE=4，则点P的运动时间为5÷3=（s），∴点Q的运动速度为4÷=cm/s；当点P在边BA运动，点Q在边CA运动，△APQ≌△DEF时，AP=DE=4，AQ=DF=5，则点P的运动时间为（12+9+15-4）÷3=（s），∴点Q的运动速度为（12+9+15-5）÷=cm/s；△APQ≌△DFE时，AP=DF=5，AQ=DE=4，则点P的运动时间为（12+9+15-5）÷3=（s），∴点Q的运动速度为（12+9+15-4）÷=cm/s；故答案为：cm/s或cm/s或cm/s或cm/s．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15．【分析】根据中点的含义先求解作点C关于AB对称点则连接交AB于P连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C关于AB对称点交于则连接交AB于P连接解析：【分析】根据中点的含义先求解作点C关于AB对称点，则，连接，交AB于P，连接，此时的值最小，由对称性可知于是得到再证明，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：为的中点，作点C关于AB对称点，交于，则，连接，交AB于P，连接．此时的值最小．由对称性可知∴∴，点C关于AB对称点，∴AB垂直平分，∴根据勾股定理可得故答案为：．【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．16．【分析】根据勾股定理可得整理配方即可求解【详解】解：根据勾股定理可得：∵∴线段AB的最小值为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用根据勾股定理表示出是解题的关键解析：【分析】根据勾股定理可得，整理配方即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：，∵，∴线段AB的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用、完全平方公式的应用，根据勾股定理表示出是解题的关键．17．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解【详解】解：∵小正方形的面积是9∴AD=CD=3∴a=b-3∵4∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式关键是运用了数形结合的数学解析：【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】解：∵小正方形的面积是9，∴AD=CD=3，∴a=b-3，∵4，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．18．15【分析】过D作DE⊥AB垂足为E根据角平分线定理可得DE=CD=3然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D作DE⊥AB垂足为E∵∠C=90°∴在Rt△ACD中∵∠C=90°DE⊥A解析：15【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D作DE⊥AB垂足为E，∵∠C=90°，∴在Rt△ACD中，,∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，∴△ABD的面积为．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．19．【分析】先延长BG交AC与点D再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG得出BD⊥AC再利用勾股定理求出AB的长【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D∵点G为△ABC的重心BG=2∴AD=C解析：【分析】先延长BG交AC与点D，再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG，得出BD⊥AC，再利用勾股定理求出AB的长．【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D，∵点G为△ABC的重心，BG=2,∴AD=CD，BD=3，又∵AG＝CG，GD=GD，∴∆ADG∆CDG，∴∠ADG=∠CDG，∴BD⊥AC，∵AC＝4，∴AD=2，∴AB===，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD、AD的长以及证明∆ADG∆CDG是解决本题的关键．20．6【分析】设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据题意得x2+（x+68）2＝102解得：x＝28或﹣96（舍去）则宽是解析：6．【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．【详解】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．答：门的高是9.6尺；故答案为：9.6．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．三、解答题21．（1）；（2）见解析；（3）不变，【分析】（1）根据勾股定理求出AD=5，再根据等积法可求出h的值；（2）过E点作EF⊥AC于F，证明△ACD≌△EFA，可得CB=EF，再证明△BCM≌△EFM即可得到结论；（3）由△BCM≌△EFM，得CM=FM，即CM=CF，再证明CF=BD，即可得出结论．【详解】解：（1）∵AC=BC=3，BD=1∴CD=3+1=4，在Rt△ACD中，∵，∴（2）过E点作EF⊥AC于F，∵AD⊥AE，EF⊥AF，∴∠DAE=∠AFE=90°，∵∠DAC+∠EAF=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠DAC=∠AEF，在△ACD和△EFA中，∴△ACD≌△EFA（AAS）∴EF=AC=3，AF=CD，∵AC=CB，∴CB=EF，在△BCM和△EFM中，∴△BCM≌△EFM（AAS），∴BM=EM，∴M为BE的中点（3）由（2）知△BCM≌△EFM，∴CM=FM，∴CM=CF，由（2）知△ACD≌△EFA，∴AF=CD，∵AC=CB，又∵CF=AF-AC，∴CF=CD-CB=BD，∵CM=CF=BD，∴=．【点睛】本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用等积关系解决线长度问题．22．△ABC的面积为84．【分析】先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【详解】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD==15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴S△ABC=BC•AD=×21×8=84．∴△ABC的面积为84．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．23．（1）是直角三角形，理由见解析；（2）．【分析】（1）先比较根式的大小，再计算较小的两个边的平方和，与最大的平方比较，得出结论即可；（2）设这个正方形的边长为，由一个正方形的面积与的面积相等，构造方程，解之即可．【详解】解：（1）在中，，，，，，是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为，∵一个正方形的面积与的面积相等，∴，解得：，，．答