《空间向量及其运算的坐标表示》同步练习及答案

《1.2空间向量及其运算的坐标表示》同步练习一、单选题1．已知向量，，则向量（）A．B．C．D．2．已知向量，向量，若，则实数（）A．B．C．D．3．若向量，且，则实数的值是（）A．B．0C．D．14．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A．B．C．D．5．已知，，且，则（）A．-4B．-5C．5D．-26．若，则的最小值是（）A．B．C．D．7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则()A．B．C．D．8．已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9．已知，，，若、、三个向量共面，则实数()A．3B．5C．7D．910．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（）A．B．C．D．二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（）A．B．C．D．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有()A．若，则B．若，则C．D．若，则为单位向量13．若，，与的夹角为，则的值为（）A．17B．－17C．－1D．1三、填空题14．已知，，则______.15．已知向量，，则____；若，则______16．已知，，，，，则______.17如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m，n的值.23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.答案解析一、单选题1．已知向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.2．已知向量，向量，若，则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，解得.故选：D.3．若向量，且，则实数的值是（）A．B．0C．D．1【答案】C【解析】由已知，由得：，，故选：C.4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即，故选：A.5．已知，，且，则（）A．-4B．-5C．5D．-2【答案】A【解析】因为，，且，所以存在实数，使得，即解得故选：6．若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，故选C7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，所以,则，故选D.8．已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，，故选：9．已知，，，若、、三个向量共面，则实数()A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】，，，、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数．故选：．10．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，，，，得，由，得，得，，，当时，取得最大值.故选：D.二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．故，而，所以或．故选：AC．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有()A．若，则B．若，则C．D．若，则为单位向量【答案】BD【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.故选：BD.13．若，，与的夹角为，则的值为（）A．17B．－17C．－1D．1【答案】AC【解析】由已知，，，解得或，故选：AC.三、填空题14．已知，，则______.【答案】【解析】，故答案为：15．已知向量，，则_____；若，则_______【答案】30【解析】∵向量，，∴.若，则，解得.故答案为：3，0.16．已知，，，，，则______.【答案】-1【解析】依题意，所以.故答案为：17．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【答案】【解析】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以为z轴，建立空间直角坐标系.则点，所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，.因为BC⊥BP,所以.故答案为：.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6；（2）-4.【解析】（1），∴，∴.（2），∵，∴，∴，∴.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），得，，，，解得；（2）由、、、四点共面，得，，使得，，，，解得.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)因为,所以.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】，．（1），所以与的夹角的余弦值为.（2），，所以,即，所以或.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m，n的值.【答案】（1）或.（2）或【解析】（1）设=(λ,2λ,-2λ)，而为单位向量，∴||=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=