第13章 全等三角形 单元练习 2023-2024学年 华师大版八年级数学上册（含解析）

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第13章全等三角形单元练习2023-2024学年华师大版八年级数学上册（含解析）

一、单选题

1．下列语句哪一个不是命题（）

A．生活在水里的动物是鱼B．作两条相等的线段

C．两点确定一条直线D．是有理数

2．如图，，的周长为10，且，则的周长为（）

A．10B．12C．14D．16

3．如图，的角平分线，相交于点G．下列结论中错误的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，且是的高，则也是的高

D．不论的形状如何，一定是钝角三角形

4．观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（）

A．①③B．①④C．②④D．③④

5．如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（）

A．B．C．D．

二、填空题

6．下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是（填写序号）．

7．如图，点B、A、D、E在同一直线上，，，要使，则只需添加一个适当的条件是（只填一个即可）

8．如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有个．

①；②；③；④；⑤若，则．

9．如图，在中，，，．

（1）的面积等于；

（2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）．

10．如图，等腰的底边长为6，面积是21，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为．

三、解答题

11．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例．

(1)两个钝角的和一定大于；

(2)异号两数相加和为零；

(3)若，则．

12．如图，平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于点、两点，满足．点为第一象限直线上一动点，过点作的垂线与过点且垂直于轴的直线相交于点．

(1)求，两点的坐标；

(2)如图1，当点在直线上的第一象限内运动时，求的值；

(3)如图2，延长与直线交于点，探究线段、、间的数量关系，并说明理由．

13．如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．

(1)当时，如图2，求证：；

(2)当时，如图3，延长交于点，求证：垂直平分；

(3)在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．

14．如图，中，．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）

(1)在斜边上找一点D，使；

(2)作的平分线，交于点E，连结；

(3)在（1）、（2）的条件下，请判断的形状，并说明理由．

15．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N．

(1)如图1，求证：；

(2)如图1，若，，求的度数；

(3)如图1，若，求的度数；

(4)如图2，若，求的度数．

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参考答案：

1．B

【分析】根据命题的定义，逐项判断即可求解．

【详解】解：生活在水里的动物是鱼，是命题，故本选项不符合题意；

B、作两条相等的线段，不是命题，故本选项符合题意；

C、两点确定一条直线，是命题，故本选项不符合题意；

D、是有理数，是命题，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了命题，熟练掌握具有判断语气的句子是命题是解题的关键．

2．C

【分析】由全等三角形的性质得出的周长为10，进而得出的周长的周长即可．

【详解】解：∵，的周长为10，

∴的周长为10，，

∴的周长

的周长

．

故选：C．

【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为10．

3．B

【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质得出，A正确；根据三角形外角的性质和角平分线定义求出，再利用三角形内角和定理求出可知B错误；证明是等边三角形，可得也是的高，C正确；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出可得D正确．

【详解】解：A.∵，

∴，

∵、是的角平分线，

∴，，

∴，

∴，正确；

B.∵，

∴，

∵、是的角平分线，

∴，，

∴，

∴，错误；

C.∵是的角平分线，是的高，

∴是等腰三角形，

又∵，

∴是等边三角形，

∴是的角平分线，也是的高，正确；

D.∵，、是的角平分线，

∴，，

∴，

∴，

∴一定是钝角三角形，正确；

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，熟知三角形的内角和是，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

4．B

【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可．

【详解】

由图①知，，

，

故图①能说明；

由图②知射线是的平分线，不能说明；

由图③知，不能说明；

由图④知是的垂直平分线，

．

中，

，

即．

故图④能说明．

故选：B

【点睛】本题主要考查了尺规作图法，和三角形三边之间的关系．初中阶段常考的尺规作图有：做一条线段等于已知线段，做一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，做一条线段的垂直平分线．熟练掌握以上尺规作图的方法，并且懂得其中的原理是解题的关键．

5．B

【分析】连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出．

【详解】解：连接并延长，

点是、的垂直平分线的交点，

，，

，，

是的一个外角，

，

同理，，

，

，

，

平分，平分，

，，

，

，

故选：B．

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

6．①②

【分析】逐个判断各个命题的真假即可．

【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意；

②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意；

③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意；

④若，则，故④为真命题，不符合题意；

综上：假命题有①②，

故答案为：①②．

【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．

7．（或或）

【分析】，根据平行线的性质得，若，根据条件利用即可得证；若，根据条件利用即可得证；若添加，根据条件利用即可得证．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

若添加，

在和中，

，

∴；

若添加，

在和中，

，

∴；

若添加，

在和中，

，

∴．

故答案为：（或或）．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．

8．①②③④⑤

【分析】根据等边三角形的性质得到，，，得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，故③正确；根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，故②正确，推出，故④正确；根据全等三角形的性质得到，得到是等边三角形，求得，根据平行线的判定定理得到，故①正确；根据三角形的内角和得到．故⑤正确．

【详解】解：、都是等边三角形，

，，，

，

，，

，

，故③正确；

在与中，

，

，

，

，

，故②正确，

在与中，

，

，故④正确；

，

是等边三角形，

，

，

，故①正确；

，，

．故⑤正确；

故答案为：①②③④⑤．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

9．4见解析

【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；

（2）以C为圆心，CA长为半径画弧，与BC交于点Q，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解．

【详解】解：（1）的面积等于，

故答案为：4；

（2）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；

分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；

连接并延长，交于点；

点，即为所求．

【点睛】本题主要考查了尺规作图—作轴对称点，熟悉作对称点的尺规作图方法和点到直线的距离垂线段最短是解题的关键．

10．10

【分析】连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可．

【详解】解：∵的周长为，为定值，

∴当的值最小时，的周长最小，

连接，

∵的垂直平分线为，

∴关于对称，

∴，

∴当三点共线时，，

∵等腰，点为底边的中点，

∴，，

∴，

∴，

∴的周长的最小值为；

故答案为：．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．

11．(1)真命题

(2)假命题，见解析

(3)假命题，见解析

【分析】（1）根据钝角的定义以及角的和差计算即可解答；

（2）根据正负数的定义举出反例即可解答；

（3）根据平方根的定义即可解答．

【详解】（1）解：两个钝角的和一定大于，是真命题．

（2）解：异号两数相加和为零为假命题；反例：．

（3）解：若，则为假命题，，则．

【点睛】本题主要考查了命题真假的判断、角的和差运算、正负数的定义、平方根的定义等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键．

12．(1)，；

(2)4

(3)，理由见解析

【分析】（1）将整理为，直接求出，即可得到点A、B的坐标；

（2）过点P作于点M，过点P作轴于点N，根据题意可证，过点P作交轴于点E，连接，可证，根据题目即可求得；

（3）将线段绕点O逆时针旋转90°至，连接，，可得，再根据题意证明，即可得到．

【详解】（1）解：

，

，

，

，，

，；

（2）解：过点P作于点M，过点P作轴于点N，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

过点P作交轴于点E，连接，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

．

（3）解：将线段绕点O逆时针旋转90°至，连接，．

得，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴．

【点睛】本题考查非负性的数的特点、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．

13．(1)见解析

(2)见解析

(3)，

【分析】（1）利用“”证得即可得到结论；

（2）利用“”证得，推出，计算得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；

（3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．

【详解】（1）解：根据题意：，，，

，

，

在和中，

，

，

；

（2）解：根据题意：，，，

在和中，

，

，

，

，且，

，

，

，

，，，

，，

，

，

是线段的垂直平分线；

（3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，

当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：

，，，于，

，，

，，

的面积的最大值为：

，旋转角．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

14．(1)见解析

(2)见解析

(3)是直角三角形，证明见解析

【分析】（1）在截取即可；

（2）利用基本作图作∠BAC的平分线；

（3）证明得到，从而得到．

【详解】（1）如图，点D即为所求的点．

（2）如图，即为所求；

（3）是直角三角形

∵平分

∴，

在和中，

∵，，，

∴，

∴，

∵

∴

∴是直角三角形

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质．

15．(1)