概率思维与切比雪夫不等式

概率思维与切比雪夫不等式

“微课程”以其短的教育内容、清晰的教育目标、灵活的应用形式和方便的特点而闻名。教师和学生非常喜欢这些孩子。近年来，有关微课程设计的比赛和应用平台层出不穷。本文的微课程设计案例构思来源于作者在2016年参加的全国高校数学微课程设计大赛的国家一等奖获奖作品。“切比雪夫不等式”是概率论与数理统计中的一个重要知识点一、身份证明:仪征队的整齐要从概率思维出发以名人名言引入概率问题的普遍性、概率思维的重要性著名的法国数学家拉普拉斯曾经说过:“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”我们要学会用概率的思维观察问题，用概率的知识分析问题，用概率的方法解决问题。例1．仪仗队的整齐程度在2015年9月3日，为了纪念抗战胜利70周年，我国举行了盛大的阅兵仪式。展示了众多的新型武器，显示了我们祖国的强大，身为中华儿女我们无比自豪。其中，印象最深刻的是三军仪仗队，他们威武雄壮的步伐走出了国威，走出来军威。这和他们整齐划一的队形是有密切联系的。那么，如何来刻画仪仗队的整齐程度呢?请同学们思考:我们如何利用概率思维分析这个问题呢?显然，身高是一个非常重要的指标。我们可以把队员的身高看作是一个随机变量X，而平均值就是数学期望E(X)。为了彰显国威，仪仗队队员的平均身高在1.88m左右。当然希望队员的身高与平均值的偏离程度尽可能地小。这种偏离程度在概率统计里面用什么来刻画呢?实际上可以用X与期望E(X)的偏差平方的期望即方差D(X)来度量随机变量取值的离散程度。我们还可以把X的取值画在数轴上是一些离散的点，如图1所示，平均值就是数学期望E(X)。当方差大时，X的取值与平均值的距离比较大的点就比较多，这时X与期望距离大于等于某个正数ε的概率，即P{|X-E(X)|≥ε}就比较大。反之，当方差小时，X的取值多数集中在期望附近，这时概率P{|X-E(X)|≥ε}就小。这里我们发现X的方差与P{|X-E(X)|≥ε}之间是有一定的关系的。那么如何来定量的刻画二者之间的关系呢?二、有条件区分来区分是否具有连续型随机变量a俄罗斯数学家切比雪夫得到了一个非常重要的不等式:切比雪夫不等式。定义下面只证明(1)式。分析:如何证明这个结果呢?从不等式左右两端观察，需要利用方差的公式。证明:不妨假设X为连续型随机变量，那么它一定具有概率密度函数f(x)。则有:下面再从不等式右端分析。由于观察(3)式和(4)式的积分区间，我们推想可以将(3)式中分子的积分区间从(-∞，+∞)缩小为|X-E(X)|≥ε，则对应的积分值也缩小了。即有:这样我们只需要考虑是否有由此，可以把(6)式中左端的不等式放大为右端结果。这样从(1)式两端分别入手，证明出了X为连续型随机变量时切比雪夫不等式的形式。那么，如果X是离散型随机变量，我们只要把积分改成求和，概率密度函数换成分布律，就可以容易证出。(2)式为(1)式的等价形式，即利用对立事件的概率可以直接得到。三、高数学荣誉专利切比雪夫是俄罗斯数学家、机械学家。1849年获得彼得堡大学博士学位及最高数学荣誉奖。1859年成为彼得堡科学院院士，1872年荣获功勋教授称号。一生发表了70多篇论文，内容涉及数论、概率论、积分学等。证明了大数定律的一般形式及中心极限定理。他不仅重视纯数学，而且十分重视数学的应用。四、应用(一)血液中的输注后细胞的估计切比雪夫不等式体现了方差的意义，还可以用来估计X在期望E(X)左右对称区间的概率。请看这样一个实际问题。例2．血液检验已知成年男性血液中，每毫升的白细胞数平均值是7300，标准差是700。估计每毫升血液的白细胞数在(5200,9400)之外的概率。分析:对于这个实际问题我们怎样利用概率知识解决呢?这里我们可以将每毫升血液中的白细胞数看作随机变量X，平均值就是X的数学期望E(X)=7300，标准差就是方差的算术平方根为了应用切比雪夫不等式，可以将两边同时减去数学期望7300。则(8)式可转化为:X-7300≥2100，或者X-7300≤-2100(9)这两个不等式可以归为一个:这就是要估计概率的事件。解:根据切比雪夫不等式(1)式，只要把ε换成2100，有:这说明每毫升血液中的白细胞数在(5200,9400)之外的概率小于等于0.11。这个结果有多大的精确程度呢?实际上，每毫升血液中的白细胞数从大数据角度是近似服从正态分布的，其中的期望和方差就是正态分布的参数。即X～N(7300,700比较而言，这个精确值0.0026要远远小于0.11。因此利用切比雪夫计算得到的区间概率值只是一个非常粗略的估计。那么为什么还要利用它进行估计呢?实际上，切比雪夫不等式仍有它独特的魅力。因为当X的分布未知的时候，我们仍可以利用期望和方差估计概率的值，而分布未知的情况在实际中经常遇到。因此，切比雪夫不等式还是有非常重要的应用价值的。(二)证明离散属性的属性五、切比雪夫定理我们主要介绍了切比雪夫不等式，简要总结一下(如图2)。首先，它体现了方差的意义，其次，可以用来估计概率的值，另外，我们还证明出了方差为0的充要条件定理。除此之外，切比雪夫不等式还有一个非常重要的应用，就是证明著名的大数定律。这一部分的内容我们在后面的大数定律的学习中再进行详细讲解。六、切比雪夫型的应用本微课的教学设计旨在引导学生对于概率思维的建立，培养学生将实际问题转化为概率语言，并利用所学概率知识解决问题。在知识点的引入中，由抗战胜利70周年的阅兵仪式切入，激发学生的民族自尊心和自豪感，体现了概率课程的思政元素。由于这个知识点所在的位置是在介绍随机变量的数字特征方差之后，利用分析方差的意义解释切比雪夫不等式的深层含义，将二者之间的关系和盘托出，立意新颖。证明不等式的方法也是标新立异。从不等式两端朝中间验证，更贴合学生的思维导向，自然易懂。在应用中，例举白细胞数的问题，由浅入深分析，细致入微，并点明切比雪夫不等式的应用价值。证明方差为0的充要条件定理作为学生扩展内容，使学生开阔了眼界，从而加深对方差性质的理解。最后，点出其第4个应用———证明大数定律，为后续课程的学习奠定基础。小结简洁明了，层次分明。微课整体设计简明连贯，逻辑紧密，拓宽了学生对该知识点学习的深度、广度和宽度。将“切比雪夫不等式”知识点独立制作成微课，有利于学生利用碎片时间学习，精致实用。同时为教师讲授提供一定的思路。事实上，由于|X-E(X)|≥ε，故回想前面我们在学习方差的性质时知道，当X≡a(a为常数)时，常数D(a)=0。那么，反之是否成立呢?就是说，当方差等于0的时候，能否得到X恒等于一个常数呢?这个结论是不对的。事实上关于方差为0的充要条件有如下定理。定理证明:首先看充分性由于P{X=a}=1，容易求得X的数学期望E(X)=a，且E(X这样证明出了充分性。再看必要性由于D(X)=0，因此期望E(X)存在。那么，由