数学是研究哲学的基础数学哲学的源头、图景及趋势

数学是研究哲学的基础数学哲学的源头、图景及趋势

人类诞生以来，我们的祖先开始研究宇宙和自身。正是因为人类的好奇心、冒险和执着的气质,使人类从动物中区分出来,从最初的人类走出非洲,到驶离地球向宇宙深处进发,我们的世界观逐步扩大。在理解宇宙及其人在宇宙中所处位置的努力中,人类孕育出了哲学和科学。科学和哲学在我们对世界的理解中以各自独特的方式展开。无疑,当科学沿着已知世界的前沿发展时,不可避免地会触及关于知识和实在性质的哲学问题。科学哲学则在科学和哲学之间架设起了一座有价值的桥梁。科学哲学既是对世界进行科学探究的基础,又是对世界的科学说明自身的考量。当霍金宣称“哲学已死”《爱思唯尔数学哲学手册》共邀请了19位分别来自美国、英国、澳大利亚、比利时、加拿大、爱尔兰、南非等国的哲学家、数学家和逻辑学家,围绕数学知识及其实在的基本问题共撰写15篇文章,构成了本卷数学哲学的基本轮廓。正如本卷主编欧文(AndrewD.Irvine)所言:“数学哲学传统的中心问题有两类。第一类问题和发现并说明数学知识的本质联系在一起。……第二类问题和发现是否存在一种数学实在联系在一起,如果存在,数学实在的本质能被发现吗?”一数学哲学的源头《爱思唯尔数学哲学手册》开篇(由美国哲学家哈特(W.D.Hart)教授撰写的“危险关系”)就试图回到数学哲学的源头,通过对数学与哲学之间的互动、数学知识及其基础的哲学探究历程的分析,为我们提供了数学的哲学旨趣、二者如何相互影响、数学哲学学科的魅力所在的根源,也为本卷后续围绕数学知识之本质的哲学思考和争论奠定了基础。(一)证明思想在《泰阿泰德篇》中的应用,通过对推理进行逻辑学家的改造和对人根据哈特的分析,数学和哲学大致出现于同一时代,即辉煌的古希腊时期。也正是在这个时期,数学哲学伴随着数学和哲学之间的互动一起诞生了。哈特以两个标志性人物柏拉图和欧几里得分别作为哲学和数学兴起的典型代表。正如人们所熟知的柏拉图学园入口处的“不懂几何者不得入内”所显示的那样,在柏拉图看来,数学是研究哲学的基础。柏拉图的《泰阿泰德篇》主要讨论“何为知识”的哲学问题,其中有一个非常漂亮的关于只存在五种正多面体的数学证明,使得《泰阿泰德篇》在柏拉图的整个哲学对话中起着引领作用。亚里士多德作为柏拉图的学生,虽然更强调观察经验在建立知识中的基础地位。但他是历史上第一位伟大的逻辑学家,也是历史上公理方法的开创者。通过对逻辑和公理方法的论述,亚里士多德强调了推理在确证知识中的作用。“在《后分析篇》(PosteriorAnalytics)中,亚里士多德描述了一个从公理通过绝对可靠的逻辑演绎出的真正的知识体系。”在柏拉图和亚里士多德的影响下,曾于柏拉图学园学习的欧几里得,开创性地用公理方法把他之前的几乎所有几何学知识都组织在一个严密的逻辑推理的知识体系中,为我们写下了传世之作《几何原本》。《几何原本》共13卷,从23个定义、5条公理和5条公设出发,推演出467条定理,内容包括了三角形、圆、多边形、相似多边形、比例和算术、立体几何等。《几何原本》成为历史上第一部数学知识乃至所有知识的典范。与哲学家们追求从清晰的前提开始,给出整个知识的论证一样。数学家也通过公理和数学证明开始建立确定的数学知识体系。正是从这个时代起,随着哲学和数学相互孕育、交织及影响的进展,数学哲学的问题自然在这些伟大的先哲思想中表露出来,即数学知识何以可能?(二)数学哲学的产生和超越尽管柏拉图和亚里士多德在作为知识基础的理性和经验何者在先的问题上有所争论,但是他们似乎都同意公理方法是知识的一种理想描述。由此开始,公理方法被哲学家们看作确立知识的基础和看似完美的标准。哲学家们从确定无疑的前提开始,为我们的知识建立起秩序,即建立一种合法的认识论。比如,笛卡尔从“我思故我在”开始了他的知识重建。洛克、贝克莱和休谟这样的经验主义哲学家,则把感觉经验作为知识的基础。“数学知识何以可能?”这一中心问题,奠定了之后两千多年数学哲学的走向。它又由对数学知识的进一步追问划分成数学哲学的两大类核心问题:第一,数学知识是关于什么的?数学定理陈述的是什么样的事实?数、集合、无穷、函数、空间等数学实体存在吗?在哪里存在?数学是一种什么样的活动?发现还是发明?等等。第二,数学知识的本质是什么?数学是先验的还是经验知识?数学是逻辑吗?数学是公理化的假设-演绎形式推演系统吗?数学是数学家心灵的创造吗?数学是确定的必然知识还是不确定的归纳知识?等等。由柏拉图和亚里士多德对数学知识的哲学争论开始,这两类问题基本主宰了数学哲学的进程,构成了数学哲学发展的两条相互交织的线索。一条是数学实在性的形而上学追问,另一条是数学知识的哲学说明。但无论外在的表象是什么,数学哲学的根基最终是要为数学知识提供哲学说明,一切哲学活动都以此展开。柏拉图有关数学知识回忆的说明,为20世纪70年代由贝纳塞拉夫(PaulBenacerraf)提出的“数学柏拉图主义的认识论困境”埋下了质疑的种子。亚里士多德对数学知识初始公理的自明性基础的论述,为之后的哲学家和数学家确立数学知识合理性和可靠性所依赖的公理标准留下了争论的空间。康德之前,几乎所有的哲学家都把数学知识看成确定性知识的典范,是被先验认识到的必然知识。因此,数学哲学的任务一方面要说明数学知识的必然性,一方面则要为必然性的数学知识如何应用到经验世界提供解释。这样,康德创造性地把数学知识解释为先验综合知识。与康德及其之前的哲学家不同,密尔(JohnStuartMill)则一反常态为数学知识的经验本质提供辩护。哲学家们努力完成为数学知识提供说明的使命,只有那些意识到并努力去完成这一重大任务的哲学家才在数学哲学的历史长河中被载入史册。当然与此伴随的,除了哲学家对数学知识的思考之外,数学自身的进程中出现了诸如如何为新引入的数学实体(负数、无理数、无穷小等)的合法性进行辩护,数学如何前行,数学知识的确定性和可靠性如何保证等问题。在此过程中,数学家、哲学家和科学家一起卷入了对上述这些问题的探究中。到19世纪末20世纪初,随着超穷数被引进数学及对其合法性的哲学争论,数学界发生了一场有关数学究竟是一种发现还是发明的活动、数学该何去何从等问题的激烈论战。集合论的创立最终在这场论战中取得胜利,同时打破了欧几里得确立的“整体大于部分”这条真理的真理地位。另一方面,集合论自身悖论的出现颠覆了数学大厦确定性的基础。数学家、逻辑学家和哲学家们开始基于不同的哲学态度重建数学知识的确定性,这场运动以三大数学基础主义规划著称,造就了20世纪前半叶数学哲学的辉煌。对数学知识的哲学质疑、批判和说明促成了集合论的公理化,但它却早已不再是欧几里得意义上的公理化。公理的自明性标准受到挑战,一些公理(如选择公理)甚至能推出反直觉的结论。集合论中的连续统问题至今还未得到解决,对数学知识的令人满意的哲学说明依然行进在路上,数学实在性的形而上学和数学知识基础的哲学说明依然引领着今天数学哲学的下一步走向。(三)数学危机中的数学知识其实早在公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派就开启了“宇宙的数学化设计”的信念。他们深信:宇宙是以数学方式设计的,借助于数学知识,人类可以充分地认识它。除前述提到的柏拉图、亚里士多德和笛卡尔等人外,斯宾诺莎就曾以更多几何学的方式写作他的《伦理学》。哲学始终关心的是基本问题,数学知识的基础毫无疑问成为哲学的核心。在历次的数学危机中,本质上都是哲学质疑对数学自身提出的挑战。这些质疑鞭策、引导和制约着数学的发展。古希腊无理数二数学哲学的传统问题围绕“数学知识何以可能?”这一中心问题,以数学实在性的形而上学追问和数学知识的哲学说明两条线索,《爱思唯尔数学哲学手册》对数学哲学的传统问题进行了详尽的讨论,这些讨论既包括经典的传统论证,也包括当代学者的工作。我们既能领略到历史上那些伟大开创者的思想,同时也能看到当代的继承者如何继往开来进一步推进数学哲学的事业。因此,像集合论、概率论、可计算性理论和不相容数学等具体数学分支引发的哲学问题、应用数学产生的哲学问题便作为数学哲学新鲜的血液融入进来,共同构筑成一幅数学哲学的图景。(一)数学的虚实在论数学知识所涉的实在性本质,自古希腊起至今一直都是数学哲学中最令人费解的难题。数学究竟描述了一种什么样的实在?如何理解数学中的存在?数学为何具有如此不可思议的有效性?围绕这些千古难题,古今历代的数学家、哲学家和科学家们都为此付出了智力上的努力,但至今仍未达成共识。本卷有四篇文章致力于探讨数学的实在性。由巴拉格尔(MarkBalaguer)撰写的“数学中的实在论和反实在论”为我们整体上勾勒了各种版本的实在论和反实在论。他以哲学家特有的分析风格对数学实在论和反实在论进行了分析和评价。巴拉格尔认为,数学实在论中唯一能经受所有反驳而幸存下来的是一种他称之为“全面柏拉图主义(fullbloodedplatonism)”(简称FBP)的实在论版本。FBP主张,所有逻辑上可能存在的数学对象实际上确实存在。与巴拉格尔的态度不同,富兰克林(JamesFranklin)为我们描绘了一幅别出心裁的刻画数学实在性的形而上学新图像。富兰克林不仅是一位哲学家,他同时还是数学家,由他创建和引领的澳大利亚数学哲学悉尼学派提出一种新的数学实在论:亚里士多德的实在论。他们主张:数学是一门真实世界的科学,数学研究真实世界中事物的量和结构方面的属性,比如比率、对称和连续等等。他们认为传统的科学分类已过时。过去简单地把科学划分为自然科学和社会科学,然后再加上逻辑和数学(在方法上以和前两者区分开)。这幅简洁的图景已经被过去几十年许多新科学的出现所打乱,这些新科学被称为各种“形式”或“数学”科学,“复杂性科学”或“人工科学”。这些形式科学种类繁多,包括运筹学、控制论、模式识别、信号处理、数值分类学、图像处理、网络分析、数据挖掘、游戏论、人工生命、数学生态学、统计力学和计算机科学等。作为一种精致的哲学立场,数学虚构主义充分体现了哲学的魅力。哲学往往对一些显而易见的概念和观点提出质疑,然后试图给出尽量完备的解释,以此促进我们对这些概念和观点的理解。虚构主义直指那些天然的数学柏拉图主义者,他们有何理由相信那些非时空、非因果的抽象数学对象呢?在此质疑下,他们完全可以像柏拉图主义者那样,重构一种与数学实践相容的解释。《虚构主义》的作者博内维奇(DanielBonevac)以其广博的学识和简练的语言为我们呈现了各种虚构主义的版本:还原虚构主义、工具论虚构主义、表征虚构主义、自由变程虚构主义、菲尔德(HartryField)的虚构主义、巴拉格尔的虚构主义、比喻主义、语义学策略等。虚构主义者可以完全不用诉诸真和存在来解释数学的成功。虚构主义虽然值得尊敬,但人们似乎不大喜欢这种解释。毕竟我们希望数学和世界有某种关联,最好它们有统一的语义学。在此方向付出努力的是一种由蒯因和普特南发展起来的数学实在性的不可或缺性论证的立场。这种立场通过寻求数学在世界的科学说明中的不可或缺为数学的实在性进行辩护。科利范(MarkColyvan)对不可或缺性论证做了精致的说明和扩充,并提出了数学哲学需要倍加重视的论题和进一步发展的方向:数学不可思议的有效性以及应用数学的哲学说明。(二)数学的哲学理念“数学知识何以可能?”的哲学追问在两个方向上体现了哲学的价值。一个关涉对数学知识的哲学说明,往往哲学位于数学之后;一个关涉在数学前沿的岔路口,数学该如何前行,哲学位于数学之前或至少与数学同行。按照这种理解,我们就可以把本卷中的“数学哲学中的经验主义”和“康德的数学哲学观点”归为前者,把“逻辑主义”、“形式主义”和“数学中的构造主义”归为后者。试图把数学知识解释为一种经验知识,这种观点被称为经验主义。经验主义事实上在数学哲学中并不流行。经验主义本质上属于认识论(知识论)范畴,然而在某种程度上,对数学知识的哲学说明不可避免地要涉及数学本体论。经验主义之所以不受欢迎,是因为通过诉诸日常的感官来获知数学知识在认识论上有明显困难。无论是密尔的经验主义,还是麦蒂(PenelopeMaddy)的自然主义集合实在论,诉诸经验手段无法帮我们探测到数学实体。因此,博斯托克(DavidBostock)另辟蹊径,他把数学看作经验的,看作我们可以信赖的知识体系,是因为数学陈述被用在各种科学陈述中,数学提供了计算上的方便,数学仅仅是一种虚构,从而没必要是真的。虽然如此,这却并不影响数学解释经验世界时体现出的成功。与传统诉诸感官经验不同,博斯托克认为数学知识是通过分析和逻辑获得的。这种方案真的可行吗?理性和经验作为知识基础的两种选择,长期以来一直是西方哲学界争论的焦点。在康德之前,人们普遍认为通过经验获知的知识是扩展性知识,是偶然的;通过理性获知的知识是衍推知识,是必然的。按照这种观点,经验自然科学可以为我们提供世界的信息,数学则仅仅是一套自我封闭的推理系统。康德要打破这种传统观念,他认为数学同样是一种扩展性知识。数学是通过公理、公设、定义通过逻辑推理推演出定理的模式演进,然而许多数学公理、定义、概念和陈述中都包含了存在性断言。在康德看来,没有存在性断言是分析的,因而一定是综合的。同时,数学并不是关于经验对象的,是一种理性知识。人们如何获知这种综合的、必然的数学知识呢?康德的回答是:先天直观。人们拥有这种理性的先天直观能力来获知数学这门形式科学的知识。蒂勒斯(MaryTiles)对康德分析的新颖之处在于,康德利用空间和时间的先天直观探讨了“潜无穷”和“实无穷”概念赖以建立的基础:后继和共存顺序,这两者在算术基础的分析中没有谁更优先的问题,两者都需要。数学哲学漫漫两千年,无论是柏拉图和亚里士多德之争,还是康德和密尔对数学知识的说明,哲学上的质疑和沉思似乎并没有使数学前进的脚步放慢。这种模式的哲学并没有对数学的发展形成强有力的引导或鞭策。直到19世纪末20世纪初,数学自身的发展所引发的哲学困惑使数学家们看不清前进的方向时,数学家们自己不得不直面这些难题,亲自上阵。数学家们依据对数学知识不同的哲学态度,形成了不同的数学规划。与以往的哲学说明不同,逻辑主义、形式主义和数学中的构造主义似乎都包含了两种规划,一种是哲学规划,提出对数学知识的哲学说明;一种是数学规划,试图用各自的哲学理念提出详细的重构数学基础的方案。这种哲学模式对数学的影响是引领式的,数学家们不得不认真对待这些哲学立场。逻辑主义的哲学规划试图把数学奠定在逻辑的基础上,用逻辑的普遍必然性来说明数学知识的分析性和先验性;其数学规划是试图把数学概念还原为逻辑概念,把数学真理还原为逻辑真理。这种方案在具体实施的过程中遇到了真正的障碍:像无穷公理这样的存在性断言并不是逻辑的,选择公理并不是自明真理,是反直觉的,因此集合论本质上是数学,无法还原为逻辑。形式主义的哲学规划把数学知识解释为一套假设-演绎系统,数学知识从公理出发,逻辑地推导出定理。“公理只是被规定或假定的陈述,不是因为它们被看到是真的,而是为了研究什么能从它们逻辑地推出。”构造主义的哲学规划以极其严谨的态度对待数学,其口号是“存在即被构造”。(三)数学哲学的展望以数学知识所涉的实在性及其本质为主线,本卷对一些新的数学进展引发的哲学问题进行了有益的探讨,一方面希望传统数学哲学的主题继续深入,另一方面希望对数学进展的哲学反思能及时跟进,积极扩展数学哲学的视域。集合论与20世纪的数学哲学紧密结合在一起,数学哲学的经典问题(包括数学的实在性和数学基础)及其延伸与当代的数学自然主义规划等都以此为焦点。集合论不仅作为数学基础得到了大量讨论,而且它自身已经成长为一个丰富、独特的数学分支。本卷邀请了专业的集合论学家把集合论的渊源、历程及最新进展呈现在读者面前。由美国日裔集合论学家卡纳莫里(AkihiroKanamori)撰写的“从康托尔到科恩的集合论”,从历史的视角详尽地追溯了从康托尔创立集合论、经哥德尔到科恩试图解决连续统问题所做的杰出的数学工作,以及他们各自工作的数学背景和哲学信念。另一篇由多位集合论学家合作撰写的“交错集合论”,详细介绍了标准集合论的各种备选方案。标准的一阶公理集合论ZFC,试图通过限定像全域V和罗素的集合{x|ue01ex∈x}这样的对象进入集合论,以保证集合论不受悖论的侵扰。一些集合论学家试图重新把这些对象引入集合论,以丰富标准集合论的全域,通过修改其逻辑和外延的概念,形成新颖丰富多样的集合论系统,比如正集合论、粗集理论和模态集合论等。这些新的备选方案同样可以引起哲学上的思考。概率论作为数学的分支,概率哲学自然应作为数学哲学的分支加以研究。不过实际的情形恰恰相反,概率哲学是科学哲学的经典领域,却几乎很少引起数学哲学家的重视。然而,概率的公理化、无穷定义域的推广、概率逻辑、概率的应用等等无不渗透着固有的数学风格。那么什么是概率?如何解释概率?概率如何做出对事件的预测和说明?通过概率如何将数学、统计与科学对世界的说明相结合?这些问题和传统数学哲学问题有何关联?无疑,这些哲学上的考虑是重要的,对数学哲学尤其如此。比如,如果按照贝叶斯的解释,概率是理性的信念度,那么数学就可以研究人的信念,这对传统的数学本体论的争论具有有益的参考。如果按照频率论的解释,概率是客观事件集合的性质,那么数学研究的就是客观世界。除此之外,还有有关概率的其他解释,这些无疑都可以为数学哲学的研究提供丰富的实例,可以扩充传统数学哲学的视野。可判定性和可计算性论题是本卷中最令人兴奋,最能体现数学之魅力、最挑战智力的一个哲学论题。它横跨逻辑、数学、计算机科学、人工智能、认知科学和心灵哲学等广泛的领域,不仅如此,它还与科学的可预测性论题联系在一起。但这一重要论题最初的渊源却来自哲学,技术性的发展则源自数学。人类能否认识世界?人类能否具有知识?是否存在着人类不可认识的数学真理?人类是否知道自己在某些方面是无知的?人类大脑的思考是否可以归结为机器的计算?人类大脑是否就像一台图灵机?人类智力是否可以形式化?人类智力的本质是什么?这些最前沿的科学和哲学难题竟然可以通过数学的语言进行研究。无疑这一论题对于当代数学哲学领域的扩展,与其他相关领域的互动,以及对传统数学哲学问题的解答都具有重要的启示价值。数学中不可判定命题的存在、数学公理的可靠性问题以及数学系统的一致性和完备性等问题,毫无疑问地成为哲学上至关重要的问题。数学家们要么采取共识的方法(比如采取选择公理,不是因为它是真的,而是因为它在数学推演中带来的丰富性);要么诉诸一种人类固有的天性———本质主义,世界和我们的信念都不能处在不一致中,因此我们选择相信经典逻辑,相信排中律,这样所有的悖论和不一致就应当被看作不合法和错的,从而从数学中清除除去。然而,事实远非如此简单。不相容的数学依旧是我们面临的难题。本卷“不相容的数学:一些哲学影响”的作者莫腾森(ChrisMortensen)提出了突破传统的新理念。当他遇到像连续统假设及其否定都与集合论公理系统ZFC相容这样的问题时,他试图从相反的方向问道:不相容的数学如何可能是真的?如果我们把不相容的数学作为既定事实接受下来,而不是声称其不可判定或者为假,那么经典逻辑似乎看来就不那么真了。按照莫腾森的观点,我们可以采取更宽容的逻辑,以容纳数学中的不一致,从而扩充数学,使数学变得更丰富。这种新颖的思想对传统的数学柏拉图主义带来了挑战:要么放弃柏拉图主义,要么承认不一致的对象。同样,这也为人们提供了对传统的逻辑主义、直觉主义和形式主义重新审视的基础。这或许再次印证了康托尔的信念“数学的本质在于自由”,这会给数学哲学带来什么样的革新呢?综上,本卷的所有内容皆围绕“数学知识何以可能?”的线索展开,即使是具体数学分支领域哲学的最新进展,也是选择了和数学基础及其实在性的传统问题具有密切关联的那些领域。当然,数学哲学的论题决不仅限于本卷所涵盖的范围,正如欧文所言:“在20世纪后面的时间里,由试图说明数学知识的确定性转向了数学哲学中的其他领域。”三科学与哲学的命运数学哲学源远流长,通过在两千多年的历史画卷中穿梭,我们领略到了数学哲学的大致风景。由毕达哥拉斯最初的信念“宇宙是按数学的方式设计的”,到伽利略的“宇宙这部大书由数学语言所写”,再到康托尔的“数学的本质在于自由”,再到人类的大脑是否可以归结为有穷机器的计算,如何理解量子力学的概率性,弦论是否仅仅是一种数学等等,人类试图探索对宇宙及其人在宇宙中所处位置理解的进步,都与数学及其哲学发展的命运紧密相关。数学哲学有时需要站在数学的前沿,为数学的航向掌舵;有时又需要站在数学的身后,为人们进一步深刻理解数学的本性做出说明。所以,正如苏格拉底所言,数学哲学就像一只牛虻;又像蒯因所说,科学(包括数学)与哲学处于同一条纽拉特之船,共同为理解世界做出努力。但无论如何,数学日新月异的发展已经向数学哲学提出挑战,数学哲学不仅需要继续深入思考一般的数学哲学问题,还亟须扩充数学哲学的视域,向各分支领域探索数学的本体论、认识论和方法论努力,以期最终获得对数学及其在理解宇宙及人在其中所处位置的真相。因此,数学哲学未来的趋势更多地体现为下述两方面:(一)数学实践对科学哲学的追求数学哲学无疑是对数学本质的说明,更确切地说,数学哲学关注的不仅是数学知识的本质,而且是数学家现实的活动。从本卷所编排内容来看,数学哲学的核心围绕“数学知识何以可能”这一中心问题展开,形成了以数学家和以哲学家为主的两种不同的研究风格。哲学家更多地以拷问与说明数学知识的本质为己任,他们一方面以哲学的批判质疑的精神追问数学本体和概念的本质,以帮助数学家更严格准确地发展数学的概念和理论;另一方面,他们用哲学特有的分析风格为数