立体几何中的空间距离问题

立体几何中的空间距离问题第1页，课件共22页，创作于2023年2月一、空间距离1.两点间的距离:连接两点的①

的长度.2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，②

的长度.3.点到平面的距离：自点向平面引垂线，③

的长度.4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___

的长度.线段点到垂足间线段点到垂足间线段到垂足间线段点第2页，课件共22页，创作于2023年2月5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的⑤

的长度.6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线,⑥

的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的⑦

的长度.线段这点到垂足间线段公垂线段第3页，课件共22页，创作于2023年2月二、求距离的一般方法1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用平面几何方法求解.2.直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求⑧

的距离.点面间第4页，课件共22页，创作于2023年2月

与异面直线都垂直且相交的直线有且只有一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度是两条异面直线的距离.一异面直线的距离ABCDA’B’C’D’如图所示：线段__为异面直线AA’与BC的距离。AB第5页，课件共22页，创作于2023年2月在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°.点D是BB1中点，则异面直线DA1与B1C1的距离是________.练习1第6页，课件共22页，创作于2023年2月

例：如图

8-7-4，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离. 图8-7-4二点面距离的求法第7页，课件共22页，创作于2023年2月解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC交BC延长线于点D，连接SD.图8-7-5∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC⊂平面SBC，第8页，课件共22页，创作于2023年2月

∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.

过点A作AH⊥SD于H，由平面与平面垂直的性质定理，可知：AH⊥平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离.第9页，课件共22页，创作于2023年2月第10页，课件共22页，创作于2023年2月于是h＝第11页，课件共22页，创作于2023年2月

方法三：如图8-7-6，以A为坐标原点，以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系.图8-7-6第12页，课件共22页，创作于2023年2月∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，第13页，课件共22页，创作于2023年2月第14页，课件共22页，创作于2023年2月线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影，或等积法间接求.若利用向量法，建系和求平面法向量是关键.第15页，课件共22页，创作于2023年2月练习2如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD,且PA=1，点F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD与平面PBC间的距离.第16页，课件共22页，创作于2023年2月

（1）通过论证平面PAC⊥平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长.（2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC，找到过点A的垂线.第17页，课件共22页，创作于2023年2月(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离.由已知AB=BC=1，所以AC=,PC=.在Rt△PAC中，得AH=.第18页，课件共22页，创作于2023年2月(2)因为BC∥AD，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.过A作AE⊥PB于E，又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE的长度即为所求的距离.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1,所以AE=.第19页，课件共22页，创作于2023年2月1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.第20页，课件共22页，创作于2023年2月3.在求距离时，要注意各种距离的转化；在