刚体定轴转动的运动学重点课件

1刚体定轴转动的运动学第四章刚体的转动主要内容:2刚体定轴转动动力学2.2刚体定轴转动的动能定理2.3刚体定轴转动的角动量守恒定律2.1刚体定轴转动的转动定律11刚体定轴转动的运动学第四章刚体的转动主要内容:1.1刚体刚体就是有一定的形状和大小，但形状和大小永远保持不变的物体.刚体是一种理想模型.刚体可以看成是由许多质点构成，每一个质点称之为刚体的一个质元.可见刚体是一个特殊的质点组，其特殊性在于在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变.1刚体定轴转动的运动学21.1刚体刚体就是有一定的形状和大小，但形状和大小1.2刚体的定轴转动相对于某一惯性参照系（例如地面）固定不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动.这条固定不动的直线称之为固定轴.固定轴转动平面质元31.2刚体的定轴转动相对于某一惯性参照系（例如地面1.3刚体定轴转动的运动学描述角位置：角位移：平均角速度：角速度：41.3刚体定轴转动的运动学描述角位置：角位移：平均角速角速度是矢量!

5角速度是矢量!5角加速度：大小：对于定轴转动,一般仅计算角速度和角加速度的代数量（大小）即可.6角加速度：大小：对于定轴转动,一般仅计算角速度和角加速度角量运动学方程角量与线量的关系7角量运动学方程角量与线量的关系7例1一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机，如图所示.滑轮的半径为，如果升降机从静止开始以加速度匀加速上升，求：（1）滑轮的角加速度；（2）开始上升后t=5s末滑轮的角速度；（3）在这5秒内滑轮转过的圈数；（4）开始上升后末滑轮边缘上一点的加速度（假定缆索和滑轮之间不打滑）.8例1一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机，如图所示.滑解（1）由于升降机的加速度和滑轮边缘上的一点的切向加速度相等，所以滑轮的角加速度为（2）由于，所以5秒末滑轮的角速度为（3）在这5秒内滑轮转过的角度为9解（1）由于升降机的加速度和滑轮边缘上的一点的切向加速度相所以在这5秒内滑轮转过的圈数为(4)为了图示清晰，将滑轮放大为如图所示.10所以在这5秒内滑轮转过的圈数为(4)为了图示清晰，将滑轮放由此可得滑轮边缘上一点在升降机开始上升后时的加速度为这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向的夹角为11由此可得滑轮边缘上一点在升降机开始上升后2.1刚体定轴转动的转动定律2.1.1力矩对于定点转动而言：2刚体定轴转动动力学122.1刚体定轴转动的转动定律2.1.1力矩对于定点转动而对于定轴转动而言：注意:

(1)力矩是对点或对轴而言的;

(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动时；使刚体顺时针绕定轴转动时.13对于定轴转动而言：注意:(1)力矩是对点或对轴而言的2.1.2刚体定轴转动的转动定律2.1.3转动惯量适用于离散分布刚体转动惯量的计算适用于连续分布刚体转动惯量的计算在国际单位制（SI）中，单位为千克二次方米，即.142.1.2刚体定轴转动的转动定律2.1.3转动惯量适用1平行轴定理2正交轴定理151平行轴定理2正交轴定理152.2刚体定轴转动的动能定理2.2.1刚体定轴转动的动能(转动动能)整个刚体动能为162.2刚体定轴转动的动能定理2.2.1刚体定轴转动的动能2.2.2刚体定轴转动时力矩所做的功及功率172.2.2刚体定轴转动时力矩所做的功及功率172.2.3刚体定轴转动的动能定理182.2.3刚体定轴转动的动能定理182.3刚体定轴转动的角动量守恒定律2.3.1角动量(动量矩)对于定点转动而言：在国际单位制（SI）中，单位为192.3刚体定轴转动的角动量守恒定律2.3.1角动量(动对于绕固定轴oz转动的整个刚体而言:角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可用代数量来描述.20对于绕固定轴oz转动的整个刚体而言:角动2.3.2角动量定理（动量矩定理）212.3.2角动量定理（动量矩定理）212.3.3刚体的角动量守恒定律或

若刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变。刚体的角动量守恒定律222.3.3刚体的角动量守恒定律或若刚体所受合外力矩为零，物体的一般动力学公式Oxyy’x’Cθ一般分解为绕质心C点的转动和质心C点平动质心的平动绕质心的转动在保守力作用下，刚体的机械能守恒质心平动动能绕质心转动动能23物体的一般动力学公式Oxyy’x’Cθ一般分解为绕质心C点的例2.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为m和M的物体，且.滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为，半径为R，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示.由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩的作用.设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力.24例2.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为m和M解对于上下作平动的两物体，可以视为质点，由牛顿第二运动定律得若以顺时针方向转的力矩为正，逆时针转的方向为负，则由刚体定轴转动的转动定律得25解对于上下作平动的两物体，可以视为质点，由牛顿第二运动定绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即联立以上三个方程，得26绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，此时有，物理学中称这样的滑轮为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德机.27注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，此时有例3.求长为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量.（2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴.（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；解（1）如图所示，以过A端垂直于棒的为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在棒上取长度元，则由转动惯量的定义有:28例3.求长为L，质量为m的均匀细棒AB的转动

（2）如图所示，以过中点垂直于棒的为轴，沿棒长方向为x轴，原点在轴上，在棒上取长度元，则由转动惯量的定义有:29（2）如图所示，以过中点垂直于棒的为轴，沿棒长方向为例4.试求质量为m、半径为R的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.解作示意图如右,由于质量连续分布，所以由转动惯量的定义得30例4.试求质量为m、半径为R的匀质圆例5.试求质量为m、半径为R的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.解如图所示,由于质量连续分布，设圆盘的厚度为l，则圆盘的质量密度为31例5.试求质量为m、半径为R的匀质圆

例6.一长为l

、质量为m

的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定绞链O相接，并可绕其转动。当其受到微小扰动时，细杆将在重力的作用下由静止开始绕绞链O转动。试计算细杆转到与铅直线呈θ角时的角加速度和角速度。32例6.一长为l、质量为m的匀质细杆竖直放置，其下端由转动定律于是得由角加速度定义进行变换细杆绕轴

O的转动惯量为33由转动定律于是得由角加速度定义进行变换细杆绕轴O的转动惯移项得积分后化简得角速度为利用初始条件34移项得积分后化简得角速度为利用初始条件34例7.如图所示，一质量为M、半径为R的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m的物体，问物体由静止落下h高度时,物体的速率为多少？35例7.如图所示，一质量为M、半径为R的匀质圆盘物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度，所以解法一用牛顿第二运动定律及转动定律求解.分析受力如图所示.对物体m用牛顿第二运动定律得对匀质圆盘形滑轮用转动定律有36物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切物体m落下h高度时的速率为圆盘的转动惯量为联立以上五式，可得物体m落下h高度时的速率为小于物体自由下落的速率37物体m落下h高度时的速率为圆盘的转动惯量为解法二利用动能定理求解.对于物体m利用质点的动能定理有其中和是物体的初速度和末速度.对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有其中是在拉力矩TR的作用下滑轮转过的角度，和是滑轮的初末角速度.38解法二利用动能定理求解.对于物体m利用质点的动能由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所经过的弧长，即.联立以上各式，可得物体m落下h高度时的速率为解法三利用机械能守恒定律求解.39由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物体落下的距离应等于若把滑轮、物体和地球看成一个系统，则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的拉力T对物体做负功（），对滑轮做正功（）即内力做功的代数和为零，所以系统的机械能守恒.若把系统开始运动而还没有运动时的状态作为初始状态，系统在物体落下高度h时的状态作为末状态，则解之可得物体m落下h高度时的速率.40若把滑轮、物体和地球看成一个系统，则在物体落下、滑轮例8.设某机器上的飞轮的转动惯量为J，其在制动力矩作用下，角速度由减小到，问此过程所需的时间和制动力矩所作的功各为多少？解：由转动定律：移项后两边积分：41例8.设某机器上的飞轮的转动惯量为J，其在制解：得再由转动动能定理得42得再由转动动能定理得42例9.

试证半径和质量都相同的实心圆柱体、圆筒和实心球，沿同一斜面、同一高度从静止纯滚动地滚下时，它们到达底部的次序是：实心球最先，圆柱体次之，圆筒最后。

证：机械能守恒考虑到纯滚动：43例9.试证半径和质量都相同的实心因为所以即——得证得44因为所以即——得证得44

例10.哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是

,速率；它离太阳最远时的速率，这时它离太阳的距离45例10.哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，解彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒.代入数据可,得46解彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力例11.如图所示，一个长为l、质量为M的匀质杆可绕支点o自由转动.一质量为m、速率为v的子弹以与水平方向成角的方向射入杆内距支点为a处，使杆的偏转角为.问子弹的初速率为多少？解把子弹和匀质杆作为一个系统,分析可知在碰撞过程中角动量守恒.设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为,则47例11.如图所示，一个长为l、质量为M的匀质杆可子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒，因此有联立上述这两个方程得子弹的初速率为48子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以例12.如图所示，一根质量为M、长为2l的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置.今有一质量为m的小球，以速度垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞.试求碰撞后小球的回跳速度及棒绕轴转动的角速度.49例12.如图所示，一根质量为M、长为2l的均匀细棒，解以棒和小球组成的系统的角动量守恒.碰撞前系统的角动量就是小球的角动量:碰撞后系统的角动量:由角动量守恒定律得碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒50解以棒和小球组成的系统的角动量守恒.碰撞前系统的角动量就是联立以上两式，可得小球的速度为棒的角速度为要保证小球回跳，则必须保证.51联立以上两式，可得小球的速度为棒的角速度为要保证小球回跳

例13.一个质量为M，半径为R的水平转台（可看作匀质圆盘）可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为m的人站在转台边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上沿边缘走一周时，人和转台相对地面各转过的角度为多少？

52例13.一个质量为M，半径为R的水平转台（可看作匀质即令代入（1）式得两边乘dt

并积分得53即令代入（1）式得两边乘dt并积分得53当人在盘上走完一周时，应有联立（2）、（3）式，得54当人在盘上走完一周时，应有联立（2）、（3）式，得54

例14.水平面内有一静止的长为l，质量为m的细棒，可绕通过棒一端O点的铅直轴旋转。今有一质量为、速率为v的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点，子弹穿出时速率减为。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k）。试求：（1）子弹穿出瞬间，棒的角速度为多少？（2）当棒以ω转动时，受到阻力矩为多少？（3）棒从变为时，经历的时间为多少？55例14.水平面内有一静止的长为

解：（1）系统所受外力矩为零，角动量守恒：所以得56解：（1）系统所受外力矩为零，角动量守恒：所（2）得（3）由有57（2）得（3）由有57

例15.

如图，已知滑轮的质量为M，半径为R，物体的质量为m弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为θ，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）解:选取m,M,k和地球为系统，重力和弹性力均为系统保守内力，其它外力和非保守内力均不做功，系统机械能守恒。58例15.如图，已知滑轮的质量为

设m未释放时为初态，此时重力势能为零。当m下滑x后为终态。初态能量：终态能量：59设m未释放时为初态，此时重力势能为零。当由机械能守恒得由角量和线量的关系得联立式（1）、（2）、（3）得60由机械能守恒得由角量和线量的关系得联立式（1）、（2）、（3解：由转动定律得:两边积分并由初始条件得:例题16.如图所示,一通风机的传动部分以角速度绕其轴转动,空气的阻力矩与角速度成正比,比例系数为一常量c.若转动部分对其的转动惯量为J,问(1)经过多少时间后其角速度为初速度的一半?(2)在此时间一共转过多少圈?61解：由转动定律得:两边积分并由初始条件得:例题16.如图所进一步可得:最后运算得:由题目条件和式(1)可得:将式(3)代入(2)可得:62进一步可得:最后运算得:由题目条件和式(1)可得:将式(3BARrm1gT1T1m2gT2T2解：对组合轮和两物体受力分析如图所示:对组合轮有:对两物体有:例17.如图所示,质量为m1和m2

两物体A,B分别悬挂在如图所示的组合轮两端.设两个轮的半径分别为R和r,其转动惯量分别为J1和J2,摩擦和绳子的质量都不计.试求两物体的加速度和绳子的张力.63BARrm1gT1T1m2gT2T2解：对组合轮和两物体受力整理(1)-(3)式可得:将(4)代入上面式(1)-(3)中可得A和B物体的加速度和绳子张力分别为:64整理(1)-(3)式可得:将(4)代入上面式(1)-(3)中θABm2gT2T2T1NT1fm1g解：对定滑轮和两物体受力分析如图所示对定滑轮:对两物体有:例18.如图所示装置,定滑轮的半径为r,绕转轴的转动惯量为J,滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B.A置于倾角为θ,它与斜面的摩擦系数为μ,若B向下做加速运动时,求:(1)其下落的加速度(2)滑轮两边绳子的张力65θABm2gT2T2T1NT1fm1g解：对定滑轮和两物体受可得:A和B物体的加速度和绳子张力分别为:66可得:A和B物体的加速度和绳子张力分别为:66解：系统的角动量守恒OAm1lv1v2m2f例19.有一均匀棒长l,质量为m1，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上。它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的小滑块，质量为m2,以水平速度v1从左侧垂直于棒与棒的另外一端A相碰，碰撞时间极短。小滑块碰后的速度为v2与v1相反，如图所示。求木棒从碰后开始转动到停止的所用时间。67解：系统的角动量守恒OAm1lv1v2m2f例19.有一均由角动量定理得：得：68由角动量定理得：得：68CO’mgNfOyxCx质心C点的平动方程：绕质心C点的转动方程：例20.半径为a,质量为m的圆柱体，沿着倾斜角为α的粗糙斜面无滑动地滚下。求斜面对它的支持力和摩擦力。k为回旋半