三角形全等的判定-全等三角形的常见模型课件沪科版数学八年级上册

沪科版八年级上册数学全等三角形的常见模型全等三角形“一线三等角”模型（1）认识：全等三角形“一线三等角”模型“一线三等角”模型，顾名思义三个相等角的顶点在一条直线上，这三个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角。①接下来我们先通过一些图形认识“一线三等角”模型，如图；

APCDBAPBCDAPBCD同侧ABPDCABPCDABPCD异侧全等三角形“一线三等角”模型

APCDBAPBCDAPBCD同侧ABPDCABPCDABPCD异侧“同侧”:指的是三个角都在这条直线的同一侧“异侧”:指的是三个角分别在这条直线的两侧。全等三角形“一线三等角”模型分析：如图所示；这里的A、P、B三点共线，∠CAP=∠CPD=∠PBD,且CP=DP,一般还会通过“等量代换”证出另一组角相等，进而证出△ACP≌△BPD.通过模型图我们不难理解“一线三等角”的定义，APCDB全等三角形“一线三等角”模型（2）解决此类问题的常用技巧：①题目中若有“一线三等角”的条件，再结合边相等，必然证全等。②“一线三等角”的背景图经常是正方形、等边三角形、等腰三角形等等。③题目中若没有“一线三等角”，通常也会根据需要构造，再证全等。④“等量代换”求证另一组角相等，是解题的关键。例.如图，等边三角形ABC中，ED=DF，∠EDF=60°，求证：BC=BE+CF．全等三角形“一线三等角”模型ABCEFD分析：可得△EDB≌△DFC（AAS）易得∠BED=∠FDC等边三角形的性质和外角的性质全等三角形的性质，等量代换可得结论60°例.如图，等边三角形ABC中，ED=DF，∠EDF=60°，求证：BC=BE+CF．全等三角形“一线三等角”模型证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDC=∠B+∠BED=60°+∠BED，∠EDC=∠EDF+∠FDC=60°+∠FDC，∴∠BED=∠FDC，在△BED与△FDC中，∴△EDB≌△DFC（AAS），∴DB=FC，BE=CD，∴BC=BD+CD=FC+BE．ABCEFD60°60°全等三角形“一线三等角”模型例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF____|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；ABCDEF图1分析：∠CBE=∠ACD∠CBE+∠BCE=90°∠BCE+∠ACD=90°由∠BCA=90°，∠α=90°可得已知CA=CB，∠BEC=∠CFAαα△BEC≌△CFABE=CF，EC=AFEF=|CF-CE|=|BE-AF|ααABCDEF图1（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

解：∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC与△CFA中，∴△BEC≌△CFA（AAS），∵EF=|CF-CE|，∴EF=|BE-AF|；例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF____|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；∴BE=CF，EC=FA，ACBEFD图2例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足怎样的关系？分析：由三角形内角和等于180°可知即∠CBE=∠FCA只有满足△BEC≌△CFA，才有①中的结论,∠α+∠BCE+∠CBE=180°，

即∠α+∠BCE+∠FCA=180°即可得到∠α+∠BCA=180°αα②∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°，理由为：

解：∵∠α+∠BCA=180°，∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形内角和等于180°），∴∠CBE=∠ACF，又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴BE=CF，EC=FA，∵EF=|CF-CE|，∴EF=|BE-AF|；则∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°；例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足怎样的关系?ACBEFD图2ααCD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点∠BEC=∠CFA=∠α

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．分析：ABCDEF图3即可得到EF=EC+CF=BE+AF．BE=CF，EC=AF通过条件证明△BEC≌△CFA（AAS）αααα（2）探究结论：EF=BE+AFCD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，∠BEC=∠CFA=∠α．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°又∵∠BCA=∠α=∠CFA，∴∠1=∠3；又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴BE=CF，EC=FA，∴EF=EC+CF=BE+AF．ABCDEF123αα全等三角形“三垂直”模型（1）认识：首先我们通过一些图形认识“三垂直”模型，如图；分析：通过三个图形我们很容易理解“三垂直”模型问题。如图所示；这里的每个图形都是由三个垂直组成，除了垂直生成的直角外，题目还会告诉我们至少一组边相等，例如AB=BC,一般通过“等量代换”证出另一组角相等，进而证出两三角形全等.ABCDEABCDEFABCDE△ABE≌△BCD

（1）△ABE≌△BCD

（2）△ABE≌△ECD

（3）（2）此类问题的解题技巧：②通常借助模型中的直角三角形，两锐角互余，再结合“等量代换”证出一组角相等，再根据已知的边相等，证出三角形全等。①此类题目跟前面“一线三等角”模型解题思路很像，重点也是证三角形全等。FAGCHEDB346例.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是____。分析：可以得到∠EAF=∠ABG由题得AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG参考全等三角形的判定和性质，以及割补法求面积由AE=AB，∠EFA=∠AGB可得△EFA≌△AGB所以AF=BG，AG=EF同理证得△BGC≌△CHD，GC=DH可得CH=BG，FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16然后用大梯形的面积减去下面四个小直角三角形的面积，即可求出图形的面积

例.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是____。解：∵AE⊥AB，BG⊥FH∴∠EAB=∠BGA=90°，∴∠EAF=∠ABG，故S=S梯EFHD-2S△BGC-2S△EFA

=（6+4）×16-3×4××2-6×3××2=50．又∵AE=AB，∠EFA=∠AGB，∴△EFA≌△AGB同理证得△BGC≌△CHD得GC=DH=4，CH=BG=3．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16∴AF=BG=3，AG=EF=6．FAGCHEDB3463643∴∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°例.如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）求证：△ACD≌△CBE；

分析：△ACD与△CBE观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：根据AAS即可证明AlB图1CAlB图2CDE例.如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）求证：△ACD≌△CBE；证明：∴∠ADC=∠CEB=90°，（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠ECB=∠CBE．在△ACD与△CBE中，∠ADC=∠CEB

∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）；ALB图1CALB图2CDE例.如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．

分析：ALB图1CALB图2CDECD=BE，AD=CE由（1）知△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等得出从而求出线段AD、BE、DE之间的关系例.如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系，并说明理由．证明：∵△ACD≌△CBE，（2）AD=BE-DE，理由如下：∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CD-DE，∴AD=BE-DEALB图1CALB图2CDE例.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0），求C点的坐标.

分析：如图所示，A、B两点的坐标固定，但C点并没有说在哪个象限，所以很明显有两种情况，OABCx推出△ACD≌△BAO当C点在第一象限时，过C作CD⊥y轴于D，根据余角的性质得到∠ACD=∠OAB根据全等三角形的性质得到CD=AO，AD=OB由A点的坐标为（0，2），B点的坐标（4，0），得到OA=2，OB=4,即可得到结论；yD24例.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0），求C点的坐标。解：（1）如图1，当C点在第一象限时，过C作CD⊥y轴于D，∴∠CDA=∠AOB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠OAB=90°，∴∠ACD=∠OAB，在△ACD与△BAO中，∴△ACD≌△BAO，∴CD=AO，AD=OB，∵A点的坐标为（0，2），

B点的坐标为（4，0），∴OA=2，OB=4，∴CD=2，AD=4，∴C1（2，6）；DCyOABx图12442例.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0），求C点的坐标。

分析：xyOCAB推出△ACD≌△BAO当C点在第三象限时，过C作CD⊥y轴于D，根据余角的性质得到∠ACD=∠OAB根据全等三角形的性质得到CD=AO，AD=OB由A点的坐标为（0，2），B点的坐标（4，0），得到OA=2，OB=4，即可得到结论D24例.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0），求C点的坐标。解：如图2，当C点在第三象限时，过C作CD⊥y轴于D，由（1）同理得△ACD≌△BAO，∴CD=AO=2，AD=OB=4，∴CD=2，OD=2∴C2（-2，-2）；ABCOxy图2D22综上所述，C点的坐标为（2，6）；（-2，-2）例.已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D，若AE=CD,求证：①BF平分∠ABC;②AB+AE=BC.分析：ABECDF过点C作AC的垂线交AD的延长线于点M，利用余角的性质得到∠CAF=∠ABF推出△ABE≌△CAM由全等三角形的性质得到CM=AE,等量代换得到CM=CD利用对顶角的性质得到∠ADB=∠CDM再由等腰三角形的性质和等量代换可得∠ADB=∠BAD由等腰三角形的性质可证M例.已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D，若AE=CD,求证：①BF平分∠ABC;ABECDFM证明：①过点C