第七节 二阶常系数线性微分方程

第七节二阶常系数线性微分方程第1页，课件共40页，创作于2023年2月一、二阶常系数齐次线性微分方程

1、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式第2页，课件共40页，创作于2023年2月2、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根第3页，课件共40页，创作于2023年2月(1)特征方程有两个不相等的实根两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为特征根为第4页，课件共40页，创作于2023年2月(2)特征方程有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第5页，课件共40页，创作于2023年2月(3)特征方程有一对共轭复根特征根为这时原方程有两个复数解:可得得齐次方程的通解为第6页，课件共40页，创作于2023年2月二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程:(2)求出特征根:(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.第7页，课件共40页，创作于2023年2月定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1第8页，课件共40页，创作于2023年2月解特征方程为解得故所求通解为例2第9页，课件共40页，创作于2023年2月解特征方程为解得故所求通解为例3第10页，课件共40页，创作于2023年2月例4

求解初值问题解特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第11页，课件共40页，创作于2023年2月特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：

阶常系数齐次线性方程解法第12页，课件共40页，创作于2023年2月解特征方程为解得故所求通解为例1第13页，课件共40页，创作于2023年2月例2

解特征方程：特征根:原方程通解:第14页，课件共40页，创作于2023年2月思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第15页，课件共40页，创作于2023年2月二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程的结构知:非齐次线性微分方程的通解=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解第16页，课件共40页，创作于2023年2月二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构f(x)常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.第17页，课件共40页，创作于2023年2月1、f(x)=Pm(x)e

x型设方程特解为其中Q(x)为待定多项式,代入原方程,得

第18页，课件共40页，创作于2023年2月从而得到特解形式为(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即即第19页，课件共40页，创作于2023年2月综上可得：(Page291)可设特解形式为不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.第20页，课件共40页，创作于2023年2月解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得

原方程通解为例1对应齐次方程为第21页，课件共40页，创作于2023年2月解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得

原方程通解为例2对应齐次方程为第22页，课件共40页，创作于2023年2月例3解特征方程为特征根为故对应齐次方程的通解为对应齐次方程为代入原方程,得

原方程通解为第23页，课件共40页，创作于2023年2月由解得所以原方程满足初始条件的特解为第24页，课件共40页，创作于2023年2月2、f(x)=e

x[Pl(x)cos

x+Pn(x)sin

x]型利用欧拉公式求如下两方程的特解：第25页，课件共40页，创作于2023年2月Page293注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.第26页，课件共40页，创作于2023年2月的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的根,可设非齐次方程特解为例1第27页，课件共40页，创作于2023年2月解对应齐次方程为例2特征方程为对应齐次方程通解为特征根为第28页，课件共40页，创作于2023年2月第29页，课件共40页，创作于2023年2月提示对应齐次方程通解为所求非齐次方程特解为原方程通解为例3第30页，课件共40页，创作于2023年2月例4解对应齐次方程的特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为设原方程的特解为第31页，课件共40页，创作于2023年2月故原方程的通解为第32页，课件共40页，创作于2023年2月例5第33页，课件共40页，创作于2023年2月3、小结二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法)第34页，课件共40页，创作于2023年2月第35页，课件共40页，创作于2023年2月练习写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解第36页，课件共40页，创作于2023年2月三、二阶常系数线性微分方程应用举例第37页，课件共40页，创作于2023年2月1、建立微分方程的基本条件1)要熟悉能用导数表示的各种常见变化率.第38页，课件共40页，创作于2023年2月2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理.第39页，课件共40页，创作于2023年2月2、建立微分方程及求解的注意点如果问题要求“运动规律”、“变化规律”等，则需要用微分方程来解决问题.这