基于非仿射随机波动率模型的欧式期权定价

基于非仿射随机波动率模型的欧式期权定价

1仿射与非仿射随机波动率模型1973年，著名的加权价格公式是从赫罗运动的假设下获得的。在几何布朗运动假设下,股票收益率服从正态分布并且波动率是常数。然而,这些严格假设都偏离了实际情况,造成期权定价的误差以及“波动率微笑”(volatilitysmile)现象。大量研究表明,金融资产的收益率并非服从正态分布,而是呈现出尖峰、厚尾和非对称性等特征;波动率并非常数,而具有时变性和波动率聚集(volatilityclustering)特征;收益率与波动率之间存在着负向相关关系,即所谓的“杠杆效应”(leverageeffect)。为了刻画金融资产收益率和波动率的这些特征,众多学者对经典的Black-Scholes模型进行了扩展,提出了许多有影响的替代模型,例如Cox和Ross提出的不变方差弹性(constantelasticityofvariance,CEV)模型,Merton提出的跳跃-扩散模型,Hull和White,Stein和Stein和Heston提出的随机波动率模型等。由于随机波动率模型能够刻画金融资产收益率波动的时变性、波动率聚集以及杠杆效应,这类模型在金融计量经济学文献中引起了广泛的关注。其中,Heston模型是最著名的随机波动率模型之一。Heston模型设定相对简单,它是一个仿射(affine)随机波动率模型,它最突出的优点在于能够给出普通欧式期权的闭型定价公式以及解释期权定价中的“波动率微笑”现象。因此,Heston模型在金融市场上得到了广泛的关注和应用。然而,近几年的大量研究发现,仿射随机波动率模型对于波动过程的平方根设定并不能很好的刻画金融时间序列的非线性特征事实,越来越多的学者开始关注非仿射(non-affine)随机波动率模型。特别地,Chourdakis通过构造连续时间马尔科夫链来模拟隐波动率过程,提出了一个近似的方法对非仿射对数方差模型下的期权定价进行了研究。Christoffersen等采用S&P500看涨期权价格数据为研究样本,实证检验了仿射与非仿射随机波动率模型的定价效果。实证结果表明,非仿射随机波动率模型比仿射随机波动率模型具有明显更优越的期权定价效果,非仿射随机波动率模型期权定价的均方根误差比仿射随机波动率模型的要低25-27%。Christoffersen等从实现波动率(realizedvolatilities)、S&P500收益、期权面板数据三个不同的数据源对仿射与非仿射随机波动率模型进行了实证比较研究。结果表明,非仿射线性随机波动率模型(方差是线性扩散过程)在这三个数据源中都比仿射随机波动率模型具有更优越的表现。Durham采用S&P500指数及其期权数据为研究样本,研究了仿射与非仿射随机波动率模型的风险中性建模。实证结果表明,非仿射对数波动率模型比仿射随机波动率模型具有明显更优越的表现。Hansis对仿射与非仿射随机波动率模型在模拟分布、期权定价以及资产配置方面的影响进行了研究。结果表明,出于实际应用中易于实现的考虑,可以使用仿射跳跃随机波动率模型,这与Ignatieva等的结果是一致的。Chourdakis和Dotsis采用极大似然方法研究了非仿射波动率过程的参数估计问题。Drimus基于变换方法,研究了3/2非仿射随机波动率模型下实现方差期权的定价与对冲问题。然而,由于非仿射随机波动率模型标的资产对数价格分布的特征函数所满足的偏微分方程是非线性的,特征函数的精确解析解无法获得,通常不能得到欧式期权价格的闭型解。因此,为了计算非仿射随机波动率模型下的期权价格,学者们主要采用MonteCarlo模拟方法。虽然MonteCarlo方法可以得到较为精确的期权价格,但它具有计算量大、耗时长等缺点。此外,MonteCarlo方法每次只能得到同个标的资产下的一个期权价格,无法满足非仿射随机波动率模型应用于实际期权定价的计算要求。总之,为了更好的描述资产价格的动态特征,我们有必要引入更现实的非仿射随机波动率模型。与此同时,需要寻找更为快速和有效的数值计算方法来计算非仿射随机波动率模型下的期权价格,本文,我们首先应用扰动法,将非仿射随机波动率模型的特征函数所满足的偏微分方程线性化,从而推导出特征函数的近似解析解;然后,应用傅里叶变换及其逆变换,进而推导出非仿射随机波动率模型下欧式期权的拟闭型定价公式,该定价公式在数值上可以利用快速傅里叶变换(FFT)方法进行计算,并且应用FFT方法可以通过一次计算同时得到多个不同执行价格的欧式期权的价格,部分克服了MonteCarlo方法的缺点,具有较高的计算效率;继而利用FFT期权定价方法,我们研究了非仿射随机波动率模型隐含的“波动率微笑”;最后,采用香港金融市场上的恒生指数认购权证进行实证研究,比较了Black-Scholes模型和非仿射随机波动率期权定价模型的定价结果,表明了非仿射随机波动率期权定价模型的定价精确性。2非模仿随机波动率模型及其特征函数的导出2.1资产生产率设St是t时刻资产的价格,vt是t时刻资产收益率的方差(波动率的平方),本文研究的非仿射随机波动率模型的形式如下:dSt=μStdt+√vtStdW1tdvt=κ(θ-vt)dt+σvγ/2tdW2t(1)其中μ,κ,θ,σ和γ都是常数,且κ,θ,σ和γ都大于零。θ是资产收益率方差的长期均值,κ是方差均值回归的速度,σ是资产收益率方差的方差。W1t和W2t是两个标准的布朗运动,且相关系数corr(dW1t,dW2t)=ρ。典型地,ρ<0,这意味着资产收益率与波动率之间存在负向相关关系,即负的收益率联系着一个波动率的增加,这代表“杠杆效应”。从(1)中可以看到,波动率过程与Chan等提出的用来描述利率过程的CEV模型相似,因此,非仿射随机波动率模型(1)在很多文献中也被称为CEV模型。在非仿射随机波动率模型(1)中,对于不同的参数限定,可以得到不同的嵌套模型,例如Heston模型(γ=1)和Nelson提出的GARCH扩散模型(γ=2)。因此,我们研究的非仿射随机波动率模型具有较强的一般性,应用前景广泛。事实上,非仿射随机波动率模型(1)在金融计量经济学文献中已经引起了学者们的广泛关注,例如Chacko和Viceira,Chernov等,Jones,Ait-Sahalia和Kimmel,Chourdakis和Dotsis,Christoffersen等。根据风险中性定价原理,为了计算期权的价格,我们需要确定风险中性概率测度下的随机过程。根据Heston和Jones,假设方差风险溢价是方差的线性函数,即λ(St,vt,t)=λvt,则风险中性调整的非仿射随机波动率模型为:dSt=rStdt+√vtStdW*1tdvt=κ*(θ*-vt)dt+σvγ/2tdW*2t(2)其中r是无风险利率,κ*=κ+λ,θ*=κθ/(κ+λ)。W*1t和W*2t是风险中性概率测度P*下标准的布朗运动,且相关系数corr(dW*1t,dW*2t)=ρ。2.2线性偏微分方程的近似根据Carr和Madan(1999),为了应用FFT,我们需要计算风险中性概率测度下标的资产对数价格lnST的特征函数:f*(x,v,τ;φ)=E*[eiφlnST|lnSt=x,vt=v](3)其中Τ≥t,τ=Τ-t,i=√-1,E*[⋅]为风险中性概率测度下的期望。给定风险中性概率测度下标的资产价格动态过程(2),根据Feynman-Kac定理,可知特征函数f*(x,v,τ;φ)满足如下的偏微分方程12v∂2f∂x2+ρσv(γ+1)/2∂2f∂x∂v+12σ2vγ∂2f∂v2+(r-12v)∂f∂x+κ*(θ*-v)∂f∂v-∂f∂τ=0(4)边界条件为:f*(x,v,0;φ)=eiφlnST(5)显然,方程(4)是一个非线性偏微分方程,通常情况下我们无法获得其解析解。下面,我们应用扰动法,使用线性偏微分方程对其进行近似。将v(γ+1)/2和vγ在方差的长期均值v=θ*处一阶泰勒近似展开,得到:v(γ+1)/2≈θ*(γ+1)/2(1-γ2)+γ+12θ*(γ-1)/2v(6)vγ≈θ*γ(1-γ)+γθ*γ-1v(7)将(6)和(7)代入方程(4),我们得到如下近似方程:12v∂2f∂x2+ρσ[θ*(γ+1)/2(1-γ2)+γ+12θ*(γ-1)/2v]×∂2f∂x∂v+12σ2[θ*γ(1-γ)+γθ*γ-1v]∂2f∂v2+(r-12v)×∂f∂x+κ*(θ*-v)∂f∂v-∂f∂τ=0(8)可以看到,此时(8)是一个线性的偏微分方程。为了求解(8),采用待定系数法,假设特征函数f*(x,v,t;φ)具有如下的函数形式:f*(x,v,τ;φ)=eC(τ)+D(τ)v+iφx(9)为了满足边界条件,我们有:C(0)=D(0)=0(10)将(9)代入方程(8),我们有:∂C∂τ+∂D∂τv=12σ2θ*γ(1-γ)D2+[ρσiφθ*(γ+1)/2(1-γ2)+κ*θ*]D+riφ+[12σ2γθ*γ-1D2+[ρσiφγ+12θ*(γ-1)/2-κ*]D+12iφ(iφ-1)]v(11)整理得:∂C∂τ=12σ2θ*γ(1-γ)D2+[ρσiφθ*(γ+1)/2(1-γ2)+κ*θ*]D+riφ(12)∂D∂τ=12σ2γθ*γ-1D2+[ρσiφγ+12θ*(γ-1)/2-κ*]D+12iφ(iφ-1)(13)(12)和(13)是两个线性的常微分方程,容易求得其解为:C(τ)=iφrτ-1γθ*γ-1σ2[ρσiφθ*(γ+1)/2(1-γ2)+κ*θ*]×[2ln(2d-(d-g)(1-e-dτ)2d)+(d-g)τ]+σ2θ*γ(1-γ)2(σ2γθ*γ-1)2[-4gln(2d-(d-g)(1-e-dτ)2d)+(d2-g2)(d-g)τ+(d-g)3e-dττ-4d(d-g)(1-e-dτ)2d-(d-g)(1-e-dτ)](14)D(τ)=2ζ(1-e-dτ)2d-(d-g)(1-e-dτ)(15)其中:ζ=-12(iφ+φ2)d=√g2-2σ2ζγθ*γ-1g=κ*-ρσγ+12θ*(γ-1)/2iφ3欧洲的优先性价格3.1标的资产1.k根据Carr和Madan,一旦得到了风险中性概率测度下标的资产对数价格分布的特征函数,我们便可以利用傅里叶变换及其逆变换得到欧式期权的定价公式,利用FFT可以实现定价公式的快速数值计算。考虑到期期限为T的欧式看涨期权,设期权标的资产在期权到期日的即期价格为ST,用k表示期权执行价格K的对数,即k=lnK,CT(k)表示期限为T、执行价格为ek的看涨期权在当前时刻的理论价格。假设时刻T标的资产价格ST的对数sT=lnST在风险中性概率测度下的分布密度函数为qT(s)。根据风险中性定价原理,欧式看涨期权的价格为:CT(k)=e-rT∫∞k(es-ek)qT(s)ds(16)然而,考虑到CT(k)在(-∞,∞)上不是平方可积的,Carr和Madan定义了如下调整的看涨期权价格:cT(k)=eαkCT(k)(17)其中α>0是阻尼因子。对cT(k)作傅里叶变换:ψT(ξ)=∫∞-∞eiξkcT(k)dk(18)将(16)和(17)代入(18),我们有:ψΤ(ξ)=∫-∞∞eiξkeαke-rΤ∫k∞(es-ek)qΤ(s)dsdk=∫-∞∞e-rΤqΤ(s)∫-∞s(es+αk-e(α+1)k)eiξkdkds=∫-∞∞e-rΤqΤ(s)[e(α+1+iξ)sα+iξ-e(α+1+iξ)sα+1+iξ]ds=e-rΤf*(x,v,Τ;φ=ξ-(α+1)i)α2+α-ξ2+i(2α+1)ξ(19)其中f*是风险中性概率测度下标的资产对数价格sT=lnST的特征函数。从而,通过傅里叶逆变换我们可以得到欧式看涨期权的价格:CΤ(k)=e-αk2π∫-∞∞e-iξkψΤ(ξ)dξ=e-αkπ∫0∞e-iξkψΤ(ξ)dξ(20)对积分(20)使用数值积分的复合梯形公式,我们有:CΤ(ku)≈e-αkuπ∑j=1Νe-i2πΝ(j-1)(u-1)eibξjψΤ(ξj)η(21)其中ξj=η(j-1)ku=-b+2bΝ(u-1)b=Νλ2λη=2πΝ事实上,期权定价公式(21)的精确性还可以进一步改进,对(20)使用复合Simpson公式,我们得到欧式看涨期权的价格为:CΤ(ku)≈e-αkuπ∑j=1Νe-i2πΝ(j-1)(u-1)eibξj×ψΤ(ξj)η3(3+(-1)j-δj-1)(22)其中δn是Kronecker-δ函数,即:δn={1,当n=00,其它显然,在数值计算上,(22)可以直接应用FFT进行计算。3.2fft不断被强调的模型参数c下面,我们讨论FFT期权定价方法的定价精确性。FFT期权定价算法采用MATLAB软件编程,在IntelCore21.79GHz计算机上实现。为比较起见,我们采用MonteCarlo方法作为基准。根据风险中性定价方法,到期期限为T、执行价格为K的欧式看涨期权的价格为:C=e-rTE*[max{ST-K,0}](23)其中E*[·]是风险中性概率测度下的期望。从而,欧式看涨期权价格的MonteCarlo估计为:C˜=e-rΤ1Μ∑i=1Μmax{SΤ(i)-Κ,0}(24)其中M是标的资产价格路径模拟数目。为了实际应用FFT期权定价方法,我们需要确定参数η,N和α。我们设定η=0.25和N=4096,相应的对数执行价格的间隔为8π/4096≈0.0061,这对于实际应用已经足够。对于阻尼因子α,我们设为α=3。其它参数为κ=10,θ=0.2,σ=0.7,ρ=-0.5,γ=2,λ=0,v0=0.2,r=5%,T=1,S0=1。我们使用FFT期权定价方法计算看涨期权的价格,然后将其与用M=50000抽样路径得到的MonteCarlo估计结果进行比较。表1给出了FFT期权定价的结果。可以看到,FFT期权定价方法的绝对百分误差(|PE|)没有超过1.6%,表明FFT期权定价方法是非常精确的。而且,在数值实验中,我们发现FFT期权定价方法计算4096个对应不同执行价格的期权价格只需大约0.03秒,而MonteCarlo模拟计算一个期权价格需要大约12秒,FFT期权定价方法的计算速度比MonteCarlo模拟方法快400倍。实际应用中往往需要同时计算多个不同执行价格下的期权价格,和MonteCarlo模拟相比,显然FFT期权定价方法具有更高的计算效率和更快的计算速度。3.3“波动率”曲线快速和精确的FFT期权定价方法允许我们进一步研究非仿射随机波动率模型隐含的“波动率微笑”。图1和图2分别显示了不同的γ值(γ=1,1.5和2)和相关系数ρ值(ρ=0,-0.5和-1)对隐含波动率曲线的影响。可以看到,随着γ或者负相关性的增加,隐含波动率都有很明显的下降趋势。4模型价格与市场价格之间的关系在期权定价模型的实际应用中,模型的参数估计一直是一个难点。通常,我们可以采用两种不同的估计方法:第一种是采用标的资产价格历史数据进行估计;第二种是采用期权价格数据估计市场隐含的模型参数。在第一种方法中,我们只能得到客观概率测度下的模型参数,而期权市场中的投资者更加关心市场期权价格数据中所隐含的模型参数(风险中性参数)。由于本文估计模型参数的主要目的是为了定价,因此,我们采用第二种方法来估计模型参数。在非仿射随机波动率模型中,有6个参数需要估计:κ*,θ*,σ,ρ,γ和v0,我们将通过求解如下的最小化问题来确定模型参数:minΘ∑i=1Ν(CiΘ(Κi,Τi)-CiΜ(Κi,Τi))2+p(Θ,Θ0)(25)其中Θ=(κ*,θ*,σ,ρ,γ,v0)是参数向量,Θ0是参数向量的初值,CΘi(Ki,Ti)和CiΜ(Ki,Ti)分别表示执行价格为Ki、到期日为Ti的期权模型价格与市场价格,p(Θ,Θ0)是一个罚函数。根据Mikhailov和Nogel,本文我们取罚函数为p(Θ,Θ0)=||Θ-Θ0||2。可以看到,在最小化问题(25)中,我们需要计算权证的模型价格CΘi,快速和精确的FFT期权定价方法为我们提供了一个非常有力的工具。最小化问题(25)可以通过不同的算法进行求解,例如模拟退火算法(simulatedannealing,SA),自适应模拟退火算法(adaptivesimulatedannealing,ASA),Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)算法,以及Nelder-Mead单纯形算法等。考虑到即使是在B-S模型下,CΘi是参数的非线性函数,最小化问题(25)的目标函数不一定是关于模型参数的凸函数,因此,为了避免陷入局部最优解,我们需要采用能得到全局最优解的算法。本文中我们采用ASA算法,它是一个全局最优化算法,可以得到模型参数的一个全局最优解。我们采用2011年3月3日香港金融市场上的恒生指数认购权证数据估计非仿射随机波动率模型参数。数据来源于香港交易所(HKEx),包括12个不同到期日的172支权证(每个到期日包含不同的执行价的权证)。取参数向量的初值为Θ0=(5,0.5,1,-0.5,2.5,0.1),采用ASA算法求解最小化问题(25),得到模型参数估计见表2。从表2可以看到,恒生指数方差的长期均值为θ*=0.0997,相当于年化波动率约为31.58%,方差均值回归的速度为κ*=0.6143,杠杆效应参数ρ值为-0.5934,它是一个负值,说明恒生指数收益率与波动率过程存在显著的