2022届高三文科数学一轮复习之不等式

数学讲义之不等式【主干内容】1．不等式的基本性质：对称性：a>bb<a；传递性：若a>b，b>c，则a>c；可加性：a>ba+c>b+c；可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc2．不等式运算性质：同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；异向相减：，正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；开方法则：若a>b>0，n∈N+，则；倒数法则：若ab>0，a>b，则3．基本不等式（或均值不等式）：利用完全平方式的性质，可得a²+b²≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a²+b²≥2|ab|；或变形为|ab|≤；当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.4．不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集。对于一元二次方程，设，它的解按照可分三种情况.相应二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，列表如下:5．线性规划问题的解题方法和步骤:解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：①设出未知数，确定目标函数。②确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。③由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－x＋,所以求z的最值可看成是求直线y＝－x＋在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化）。④作平行线：将直线ax＋by＝0平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。⑤求出最优解：将④中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最值。6．绝对值不等式①｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。②【题型分类】题型一：不等关系与不等式〖例1〗(2022上海)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是()A．B．C．D．解：取a＝－3，b＝２，由（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都错，故（C）。〖例2〗若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是.解：(－3，3)〖例3〗已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．(1)证明：－＜＜1；(2)若x＋x1x2＋x＝1，求x－x1x2＋x；(3)求|x－x|．解：(1)∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b，∴a＞0，1＞∴－(2)（方法1）∵a＋b＋c＝0∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1，不妨设x1＝1，则由可得而，∴x2＝－1，∴(方法2)∵由＋，∴∵∴(3)由(2)知，∴，∴∴∴题型二：一元二次不等式及其解法〖例1〗（2022福建）是的什么条件……（）A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由得：－2＜x＜3，－2＜x＜2成立，则－2＜x＜3一定成立，反之则不一定成立，所以，选Ａ.〖例2〗(2022江西文)不等式的解集为__________．解：原不等式变为，由指数函数的增减性，得：，所以填：〖例3〗已知集合，，若，求实数的取值范围．解：．设，它的图象是一条开口向上的抛物线．（1）若，满足条件，此时，即，解得； （2）若，设抛物线与轴交点的横坐标为，且，欲使，应有，结合二次函数的图象，得即解得．综上可知的取值范围是．题型三：简单的线性规划〖例1〗（2022届新高考联盟）设实数满足不等式组，则的最小值为；解：〖例2〗（2022杭二模）设实数满足不等式组且的最小值为，当时，实数的取值范围是___________.解：X+2y-5≥0〖例3〗（2022浙江）若实数x，y满足不等式组2x+y-7≥0,则3x+4y的最小值是x≥0,y≥0A．13B．15C．20D．28解：A〖例4〗（2022天津）设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4B．0\f(4,3)D．4解：选D.作出可行域，如图1－1所示．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))当目标函数z＝3x－y移至(2,2)时，z＝3x－y有最大值4.〖例4〗（2022湖北）直线2x＋y－10＝0与不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解：画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．因为直线2x＋y－10＝0过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，0))，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－eq\f(4,3)，故只有一个公共点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，0)).题型四：基本不等关系〖例1〗（2022浙江）已知（）A． B． C． D．解：由,且，∴，∴。〖例2〗（2022重庆）若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋eq\r(2)