2021年上半年教师资格证《数学学科知识与教学能力》(初级中学)试题

2021年上半年教师资格证《数学学科知识与教学能力》(初级中学)试题(网友

回忆版)

x-2r-112+1

［单选题］1.单(江南博哥)选题在空间直角坐标系下，直线丁=一〒与

平面3x-2y-z+15=0的位置关系是()

A.相交且垂直

B.相交不垂直

C.平行

D.直线在平面上

参考答案：D

参考解析：

本麟懿殖钻骊的陵氯由舸刻懿鲂向向勤n=(3,4,1怦面的法向量

为m=(3,-2,-1)SSn.m=3x3+4*(-2)+1*(-1)=0，所以直绷昉向向量与平面的法向垂直。

,.r=3/+2

x-1v-11:+1「=4+11

设麟臃为，,，则代入平舫程中，可得酸在箱上

故本题选D。

外)=：

［单选题］2.使得函数,一致连续的x取值范围是()

A.(0.1)

B.(0.1］

.3」L-J

C.

D.(-8,4-00)

参考答案：C

参考解析：

本题考查闭区间上连续函数的性质。根据一致连续性定理,如果函数在闭区间可用上遛卖那么

它在该区间上一致连续。可知，使得函数,一致连绷］X的取值范围’’故

本龌Q

［单选题］3.单选题方程Y-3》L6K-4=0的整数解的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

参考答案：C

参考解析：

、、64八

r*-3,r+-y=0

r'-3r'*6T~4=0V"

本解H妨瞰锻解对‘两边同0㈱以律

J—―-UK+-―J_U厂

可得r或V，解得或X=1或x=2。脚妨窗w廨有2个。故本

题选Q

［单选

题］4.

v=/(.v)防Ai'.O(AY)

单蟆噩数在的自辎殿勘AAv,相邮函数殿勤

鄙病小。若函教'"可微则初裁环画的剧)

Av=r（^o）ir

A.

B盯=/，(.％)&

Q毋=/'(.")Ar4。(AY)

DAv=dr+o(AY)

参考答案：A

参考解析：

本题考查微分的概念。根据微分的定义可得:打="函数的增量

州=餐+E6)=r(.v0)Ax-e(AY)可知人选嵋误。故本题选Ao

［单选题］5.抛掷两粒正方体骰子(每个面上的点数分别为1,2,....6),假定每个

面朝上的可能性相同,观察向上的点数,则点数之和等于5的概率为0

A.5/36

B.1/9

C.1/12

D.1/18

参考答案：B

参考解析：

(X,rl.

本题考查事件的嶙。设第一知掷的骰子点教为:x,第二欠的为y,用,表示哪俩次

的结果。其中"亡6,2”脂36种糠其中点数之和为5的网网网⑻共

%9

4种结果,根跚期颂-政本题选B。

［单选

题］6.

8(8±0)

单蟆对于叫咦阵A,陆喳旭阵使得AB二0成揶搬氯愎邮A的秩

rank®

满足0

Arank(J|<zz

B.rank(J|<H

Crank(A)-H

Drank(J)>〃

参考答案：A

参考解析：

本题考查矩阵的运鼠必要性，由条件可设人的的‘团

,48=4眸内….A8：.邛:,、姐）

则

肉肉…，p45=0

由题意可知B.为m搀向量，故中至少有一华E零向量若X

M，=（V=L2,s）以4卜〃

因此小啧转解，故充册:若

则用呈组"二°有揩解，设非麹为'〃'即，

3=（4%'%I

令则.林懿”

［单选题］7.一个五边形与其经过位似变换后的对应图形之间不满足下列关系的

是（）。

A.对应线段成比例

B.对应点连线共点

C.对应角不相等

D.面积的比等于对应线段的比的平方

参考答案：C

参考解析：本题考查位似图形的性质。两个图形位似，那么任意一对对应点到

位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线

上）。位似图形面积的比等于相似比的平方。位似图形对应点连线的交点是位似

中心，位似图形对应线段的比等于相似比。位似图形高、周长的比都等于相似

比。位似图形的对应角都相等。C选项不正确，故本题选C。

_x*-1x--3x+2

T=-----+-------_

(v+rrv+i、=、一乐

［单选题］8.设求当.-"时-，T的值”。主要考查学生的()

A.空间观念

B.运算能力

C.数据分析观念

D.应用意识

参考答案：B

参考解析：本题考查数学教学论的基本概念。带入具体数值求解代数式，主要

考查学生的运算能力。故本题选B。

［问答题］L已知平面上一椭圆，长半轴长为a,短半轴长为b,0<b<a,求该

椭圆绕着长轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

参考答案：无

参考解析：\—L\

本题考查旋转体的体积计算。由题意知，无论长轴在X轴或y轴旋转体的体积

不变；不妨设长轴在x轴上，将椭圆回绕x轴旋转一周，所得的旋转体的体积

［问答题］2.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)的概率密度为

.vj-e,r>0

/f(%)=2

|o,其他

用变量Y表示顾客对银行服务质量的评价值若顾客等待时间不超过5(min)

F=「X"

1,X<15

则评价值为Y=l;否则，评价值为y=T,即

(1)求X的分布函数。(2)求Y的分布律。

参考答案：无

参考解析：(1)

1,

»-./v—c*».V>01H>o

仆x)=2A=i.

o.或他

°,其他是刈艮从参数2的指数分布，指数分布,

1-cAx>01-e2,*>0

A=1尸(加

aR他0,其他

布函数为,则当"时，

(2)

P(Xv5)=F(5)=L-e-s

P(.¥>5)=l-P(^<5)=e'i

答案：则')所以Y的

5

e二A二I

e2

分布律为

廿+牝「+的二=4

<a2lX+<722V+。23二=&'X

［问答题］3.已知方程组：的1»%.，+%;=4有惟一解当且仅当行列

式如心可3不等于零

请回答下列问题：

（1）行列式②的几何意义是什么？

（2）上述结论的集合意义是什么？

参考答案：无

参考解析：（1）

由解析几何知：是空间内的f平面，而是平面

o>iX+a”Y+a”：=&rii（a、】，a、，，____口：

的法向量...........是空间内的f平面、而-23,是平面的法向

。31“+。321+。33：=4口3（61，6”"33）Fla

量，是空间内的一个平面，而I"*"I是平面”3的法向量,

这样系数矩阵""%""的每一行就是三个平面的法向量，他们可以构成一个三维空间。

（2）

口n,例［：。］）：。门工a“：。“：。”

答案：W与“•两平面相交的充要条件是..............即相交的充要条俏:是

为生/、.

raukai2a23=3

,同理得三个平面相交于一点的充要条件是51%ai）；

，即线性方程系鳏阵的行列式的值不为零的几何意义为3个平面相交于一点。

［问答题］4.某教师在引领学生探究〃圆周角定理”时，首先进行画图、测量等探

究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；进一步寻找证明猜想的思路

并进行严格的证明；最后，教师又通过几何软件对两类角的大小关系进行验

证。

从推理的角度，请谈谈你对教师这样处理的看法。

参考答案：无

参考解析：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定

一个新的判断的思维过程。在初中数学中经常使用的两种推理是:合情推理和演

绎推理。合情推理是学生经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类女比，

然后提出猜想的推理，这位老师引领学生探究“圆周角定理”时，首先进行画

图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；就是应用了合

情推理。合情推理融合了学生的各种思维和活动在中，对于培养学生的学习兴

趣，开发学生的智力，培养学生的创新能力都是非常重要的。演绎推理是从已

有的实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证

明结论。盖老师在学生给出猜想后，引导学生进一步寻找证明猜想的思路并进

行严格的证明；并通过几何软件对两类角的大小关系进行验证。应用演绎推理

体现是数学的严谨性。两种方式相辅相成，更有利于学生掌握“圆周角定理〃

［问答题］5.数学课堂教学过程中，为了鼓励学生独立思考，深入理解问题，教

师常常在呈现任务后，不是立刻讲解，而是留给学生足够的思考时间，这种教

学方式可称之为“课堂留白”请你谈谈课堂留白的必要性及其意义。

参考答案：无

参考解析：课堂的精彩不仅要关注教师讲的多么精彩，更加关注学生学得多么

主动，教师一个人讲解的课堂不是精彩的课堂，只有当学生通过自己的主动活动

去建构自己对知识的理解，从而展现自己的精彩时，这样的课堂提精彩的，因

为课堂留白是十分有必要的。

“课堂留白”的意义：

①课堂留白可以激发学生的求知欲和潜能;课堂中给学生留下活动的时间、思维

的空间，使学生有所探索、有所思考，可放飞学生的思维。学生在开动学生的

脑筋、利肥学知识解决留白问题的同时顺利进行知识迁移、主动融合和构建知

识体系，容易激发学生的学习兴趣、提高教学效率。

②课堂留白能留给学生独立思考的机会，有利于发挥学生的主体意识。合理运

用教学留白，给学生留下独立思考的时间，让学生积极参与，自主体验，真正成

为学习的主人。

③课堂留白可以促进学生的个性发展。

④课堂留白激发学生的想象力，培养学生的创造力。在教学中给学生留下更多

的空间，正如画家留白的道理一样，可以让学生有足够的空间去充分地想想，可

以自由自在地展开联想或创造。

%+2X2-4X3-5.r4=-6

-Xj-_.q-t

)2t［+5x、—9电-12.q=-14

।怎+3心-5.r,+5］=-8

［问答题］6.已知非齐次线性方程组"

(1)a为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2?

(2)对于⑴中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。

参考答案：无

参考解析：(1)齐次方程组的解空间维数为2,可以得出齐次方程组的自由变

量个数为2,对应的齐次方程组系数矩阵的秩为2,可得系数矩阵为

12-4-5、12-4-^

^(-2)-7

01-1-2X301-1-2

01-1-2

25-9-12:■

J3-5a,01-14+5R(.4)=2.0+5=-2

所以得到“7

(2)当a=-7时得到增广矩阵为

127-51

’1-4-5-6

Q1-1-2-：

01-1

01-1-2-：

5-9-12-14

1a.001-1-2-：

,可得到

甬+2x>-4.v3-5XA=-6

'r_=_ii=(211of,3=(12

■与T-Q-由此可得导出组的基础解系"''''方程的通

解为〃i=*i-危另(乐后eR)；臼-»解。贝归院女程组的通解为

〃=k忘+电；2+Z

［问答题］7.数学运算能力是中学数学教学需要培养的基本能力。学生的数学运

算能力具体表现为哪些方面?请以整式运算为例予以说明。

参考答案：无

参考解析：

数学运篁主要表现为理解运篁对象，掌握运篁规则；探究运篁思路，求得运篁结果。

例：计篁誓道式中的一道因式分解问题：/一1=?首先要理解运篁的篁式特点，观察到要因

式分解题目彳导运用到平方差公式l八’的逆过程;同时要掌握平方差公式的篁

理，此处的a,b可以看成任何满足该条件的傲式，而不仅仅是新单的整式其次观察题目篁

/_］（74-1=（02）-1

式，探究运篁思路可以发现可以变形得到运用-次平方差公式的逆过程

，-1=（洲~-1=年+1）年-1）

得到此时颉还有可以提出因式的算式，继续运用一次平方

a4-1=（d

差州的逆过程得到得到最终的运算结悬

［问答题］8.案例：

下面是初中〃三角形的内角和定理”的教学案例片段。教师请学生回忆小学学过

的三角形内角和是多少度？并让学生用提前准备好的三角形纸片进行剪拼并演

示。下面是部分学生演示的图形（如图1、图2）:

图1图2

在图1中，三角形的三个内角拼在一起后，B、C、D在一条直线上，看似构成一

个平角。教师质疑，看上去是平角就是平角了吗？学生的回答是“不一定”。

接着，教师利用图1启发学生思考：

①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直线上（即组成平角），可以换个角

度，先构造一个平角，引导学生结合图1思考如何作辅助线构造平角。学生想

到了作BC的延长线BD,如图3所示。

②图1中，N1与NA是什么关系？启发学生在NACD内作N1=NA,或过点C作

CE//AB,如图4所示。

△6

IICI）

③现在只要证明什么？（证明N2=NB）

问题：

（1）该教师让学生回忆并用拼图的方法感知三角形的内角和，请简述其教学意

图。

（2）利用图2设计问题串，使得这些问题能够引导学生发现三角形的内角和定

理的证法。

(3)请再给出其他2种三角形纸片的拼法，并画图表示

参考答案：无

参考解析：(1)从学生已有的知识经验出发，利用物拼图的方式引导学生通过

动手实践，从而建立知识联系，体现学生才是学习的主体。

(2)

问题1：有同学把三角形的两个底角撕下来拼到顶角上，你发现了什么？

问题2：我们发现这样可以把三角形的三个内角凑到一起，可以凑成看似是一个

平角。怎么确定他就是一个平角呢？

问题3：根据图1,想一想如何作辅助线构造平角呢？

问题4：作出辅助线后，我们根据平行线的性质，你有什么发现？

(3)

证明方法一：

如图，过BC的中点D作DF〃AC,DE//AB,这时NA=N4,又N4=N2,即NA=N

2,由NC=N3,NB=N1知，我们将NA、NB、NC转移到了NBDC,由平角的定

义，可以证到三角形的内角和180°

证明方法