第三章 动态电路

第三章动态电路第1页，课件共73页，创作于2023年2月电阻电路的VAR是用代数方程描述。因此其激励和响应是瞬时关系，即电阻电路在任一时刻其响应与同一时刻的激励有关。（与过去的激励无关，是无记忆的）。动态电路是由至少包括一个动态元件的电路。动态元件（电感L和电容C）电压和电流的约束关系是微分与积分的关系，所以描述动态电路的方程是以电流或电压为变量的微分方程。动态电路在任意时刻的响应都和激励的过去历史有关，是有记忆作用的。第2页，课件共73页，创作于2023年2月1.定义:一个二端元件在任一时刻t所带电荷q(t)同其两端电压u(t)之间可以用u-q平面上一条曲线来确定，则该二端元件称为电容元件,简称为电容。

一、电容3.1动态元件0uq★线性非时变电容元件：在u-q平面上的特性曲线是过原点的一条直线，且不随时间变化。其所带电荷与两端电压关系是：式中，称为电容（量）单位:法拉F（微法，皮法）库伏特性第3页，课件共73页，创作于2023年2月2.符号★实际电容元件必须考虑其介质的漏电现象。因此一个实际电容的电路模型通常用一个表示漏电的电阻与理想电容器并联组成。R0c★实际电容的参数有两个

电容量

耐压值ic+uc–C第4页，课件共73页，创作于2023年2月由于：所以：而：iC+uc–

C当ic与uc非关联时：注：ic与uc为关联参考方向。3.电容的伏安关系ic与uc关联时：第5页，课件共73页，创作于2023年2月如果仅考虑某一时刻t0以后的情况：初始值t0以后的值★电容电压的性质

连续性质——电容电压不跃变。

记忆性质——记忆电流。第6页，课件共73页，创作于2023年2月

电容中电流与电压大小无直接关系，某一时刻电容中电流的大小取决于该时刻电压的变化率。

如果电压为直流则电流为零（等于开路）；所以电容元件有阻直流、通交流作用。

由于iC通常都是有限值，所以uC不能跃变。4.电容的特点第7页，课件共73页，创作于2023年2月★瞬时功率：[ic与uc为关联参考方向]5.电容的功率和能量

p(t)>0时,电容吸收功率,处于充电状态：|uc(t)|↑p(t)<0时,电容放出功率,处于放电状态：|uc(t)|↓★能量：当uC(-∞)=0时，电容的贮能为：无源元件第8页，课件共73页，创作于2023年2月解：例：已知C=2F两端电压波形如下,求iC(t)=?iC+uC–

Cu/Vt/s1345V010A-10At/s1340i/A第9页，课件共73页，创作于2023年2月+uL–iLL二、电感★线性非时变电感：在i-平面上的特性曲线是过原点的一条直线，且不随时间的变化。1.定义：i0单位：亨利、毫亨、微亨H、mH、HL:电感（量）

一个二端元件在任一时刻，通过它的电流i与其磁链可以用i-平面上一条曲线确定，则称其为电感元件，简称电感。韦安特性第10页，课件共73页，创作于2023年2月2.符号实际电感线圈由于有线绕电阻的存在。因此用一个电阻和理想电感元件串联的电路来等效。实际电感线圈的参数除了电感量外还含有额定工作电流，否则电感容易烧毁。iL+uL–R第11页，课件共73页，创作于2023年2月由电磁感应定律可知：电感线圈两端产生的自感应电压为：（方向由右手定则确定）关联参考方向时3.电感元件的伏安关系★电感电流的性质

连续性质：电感电流不跃变。

记忆性质：记忆电压。iL+uL–第12页，课件共73页，创作于2023年2月

电感中电压与电流大小无直接关系，某一时刻电感中电压取决于该时刻电流的变化率。

如果电感电流为直流则电压为零（相当于短路）；电感元件有通直流，阻交流作用。

由于uL通常都是有限值，所以iL不能跃变。4.电感的特点第13页，课件共73页，创作于2023年2月

瞬时功率：

贮存的能量：

当iL(-∞)=0时，电感吸收的能量为：5.电感元件的功率和能量[iL与uL为关联参考方向]无源元件第14页，课件共73页，创作于2023年2月在动态电路中，常称电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为状态变量——反映动态电路状态的最少数目的变量。若选初始时刻为t0，称uC(t0)和iL(t0)为电路在时刻t0的初始状态。第15页，课件共73页，创作于2023年2月1、电容的串联C1C2Cn+u1-+u2-+un-+-u2、电容的并联三、电容、电感的串联和并联iC1C2Cn+-uiCeq+u–i第16页，课件共73页，创作于2023年2月3、电感的串联+-L1L2+-u1u2+-uiLeq+-ui第17页，课件共73页，创作于2023年2月4、电感的并联：L1L2i1i2+-ui第18页，课件共73页，创作于2023年2月电感元件VAR关系(iL与uL为关联参考方向)：小结电容元件VAR关系(ic与uc为关联参考方向)：

电容电压与电感电流的记忆性质和连续性质。

在动态电路中，常称电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为状态变量——反映动态电路状态的最少数目的变量。若选初始时刻为t0，称uC(t0)和iL(t0)为电路在时刻t0的初始状态。第19页，课件共73页，创作于2023年2月一、电路方程

描述动态电路电压、电流关系的是一组微分方程，通常可以通过KVL、KCL和元件的VAR来建立。直流激励下动态过程的产生：换路----通过开关作用，使电路或元件参数发生突然变化。

如果电路中只有一个动态元件，则所得的是一阶微分方程，相应的电路称为一阶电路（如果电路中含有n个动态元件，则称为n阶电路，其所得的方程为n阶微分方程）。3.2动态电路的方程及其解第20页，课件共73页，创作于2023年2月例1在下面RC电路，t=0时将开关闭合,电路将进入充电过程：t>0时，由KCL得：CiRiCiSuC+-R取时间常数：τ=RC，则方程可以写成：+

任意只含有一个C的一阶动态电路，均可以将C以外的部分通过诺顿等效，简化成上图形式，故此微分方程，以及τ=RC具有一般性。

其中R为换路后，电路从动态元件C两端断开，剩余部分电路的等效电阻。第21页，课件共73页，创作于2023年2月

其中R为换路后，电路从动态元件L两端断开，剩余部分电路的等效电阻。例2在RL电路中，激励为uS，开关在t=0时闭合，t>0时可以按KVL列出方程：LiLuSuL+-+-R则方程可以写成：取时间常数：

任意只含有一个L的一阶动态电路，均可以将L以外的部分通过戴维南等效，简化成上图形式，故此微分方程，以及τ=L/R具有一般性。第22页，课件共73页，创作于2023年2月建立动态电路方程的基本步骤为：1、根据电路建立KCL、KVL方程。2、写出各元件VAR表达式。3、将KCL、KVL方程整理成所需变量的微分方程。4、求解该成微分方程。第23页，课件共73页，创作于2023年2月一阶线性时不变动态电路的微分方程为：激励齐次解常数该方程的解为：特解响应其特征方程为：s+a0=0特征根为：s=-a0二、固有响应和强迫响应暂态响应和稳态响应齐次解：待定常数特解：与激励相似第24页，课件共73页，创作于2023年2月t>0时，有微分方程：其中τ=RC特征方程为：特征根：齐次解：特解：将特解带入微分方程：全解为：续例1如图RC电路，t=0时将开关闭合，直流激励，CiRiCISuC+-R第25页，课件共73页，创作于2023年2月根据t≥0时的初始条件确定常数K：uC(0+)=K+RISK=U0-RIS设uC(0+)=U0，则有：=U0强迫响应（稳态响应）（暂态响应）固有响应RIS稳态uC0tU0-RIS暂态

全响应U0得全解：uC从U0变化到RIS的过程称为过渡过程（暂态过程）。假设：0<U0<RIS第26页，课件共73页，创作于2023年2月小结全响应=固有响应+强迫响应；全响应=暂态响应+稳态响应；建立动态电路方程：1、根据电路建立KCL、KVL方程。2、写出个动态元件VAR表达式。3、将KCL、KVL方程整理成微分方程。求解微分方程(一阶)。一阶动态电路微分方程中，时间常数τ=RCτ=L/R其中R为换路后，电路从动态元件两端断开，剩余部分电路的等效电阻。按照规律变换第27页，课件共73页，创作于2023年2月解：换路后，由KVL得：例3已知电容初始电压uC(0)=U0，t=0时开关闭合，求当t≥0时uC(t)=？代入：Ri+uC=USUS+-R+-uCiC+uR-得：取τ=RC，整理得：特征方程：特征根：

齐次解：特解：将特解带入微分方程：全解为：代入初始条件：uC(0)=K+USK=U0-US=U0全解为：第28页，课件共73页，创作于2023年2月全解:强迫响应（稳态响应）（暂态响应）固有响应U0>US>0假设USuC0稳态tU0-US暂态全响应U0画出波形图:第29页，课件共73页，创作于2023年2月分析动态电路:（1）根据电路的KCL，KVL，VAR建立描述电路动态过程的线性n阶常微分方程;（2）求微分方程时，必须由初始条件确定初始值。

3.3电路的初始值换路前的状态（旧稳态）t0-t0+过渡过程换路后新稳态换路t0t通常可在时间上对动态电路响应做如下规定：t0=0t→

t0+时刻电路响应的值就叫做电路的初始值。第30页，课件共73页，创作于2023年2月通常把uC(t0+)和iL(t0+)称为独立初始值，其余的电路变量称为非独立初始值。由于：若在t0-到t0+的瞬间iC为有限值，则：电容元件两端电压不发生跃变。一、独立初始值若在t0-到t0+的瞬间uL为有限值,则：同样：电感元件两端电流不发生跃变。换路定律：换路定律：第31页，课件共73页，创作于2023年2月求解非独立初始值（如ic.uL.uR.iR等)时，可根据换路定律画出t0+时等效电路，然后在t0+时等效电路中求解。二、非独立初始值t0+时的等效电路由如下原则确定：根据以上原则可以很方便地画出t0+时的等效电路，其中无动态元件，即为电阻电路。电压源U0

[uc(t0+)=uc(t0-)=U0]C电流源I0

[iL(t0+)=iL(t0-)=I0]L第32页，课件共73页，创作于2023年2月例：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

ic_uc_uLiLR34

CL4

2

+_RR2R1U8V++4

i14

ic_uc_uLiLR3LCt=0—时等效电路解：第33页，课件共73页，创作于2023年2月t=0+时等效电路4V1A4

2

+_RR2R1U8V+4

iC_iLR3i由换路定律：C2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

L(2)由t=0+电路求iC(0+)、uL(0+)uc(0+)iL(0+)由图可列出第34页，课件共73页，创作于2023年2月带入数据：解之得：

并可求出：t=0+时等效电路4V1A4

2

+_RR2R1U8V+4

iC_iLR3i第35页，课件共73页，创作于2023年2月计算结果：电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。第36页，课件共73页，创作于2023年2月小结求解初始值的一般步骤：（1）根据t0-时，电路处于稳态的等效电路，求出uC(t0-)和iL(t0-)；独立初始值：（2）根据换路定理，uC(t0+)=uC(t0-)，iL(t0+)=iL(t0-)；非独立初始值：（3）画出t0+时等效电路：电容C用uC(t0+)电压源替代，电感L用iL(t0+)电流源替代。（4）在t0+时刻等效电路中，求解非独立初始值。第37页，课件共73页，创作于2023年2月例t<0时，电容电压均为零，当t=0时开关K闭合，求电容电压的初始值uC1(0+)、uC2(0+)。K

uC2R2-R1

-uC1

-C1C2Us第38页，课件共73页，创作于2023年2月q1(t)=C1uC1(t)q2(t)=C2uC2(t)t=0-时有：q1(0-)=q2(0-)=0而C1的负极和C2的正极在同一点A，故该点总电荷为：-q1(0-)+q2(0-)=0当开关闭合后，在t=0+时：A点：-q1(0+)+q2(0+)=0-C1uC1(0+)+C2uC2(0+)=0K

uC2R2-R1

-uC1

-C1C2UsAuC1(0+)+uC2(0+)=US另外:在t=0+时根据KVL：计算，得：解：第39页，课件共73页，创作于2023年2月结论：通常“强迫跃变”发生于两种情况：（1）如果电路中存在有全部由电容元件组成的回路或由电容元件与理想电压源组成的回路，当发生换路时，电容电压可能发生跃变。（2）如果电路中存在某节点连接的全部支路都含有电感元件或理想电流源，当电路发生换路时，电感电流可能发生跃变。

在电路发生“强迫跃变”的情况下，可根据电荷守恒和磁链守恒的原理确定有关初始值。第40页，课件共73页，创作于2023年2月零输入响应零状态响应y(t)=yx(t)+yf(t)3.4动态电路的响应完全响应固有响应强迫响应完全响应暂态响应稳态响应

yx(t)：没有外加输入时，仅靠电路中初始状态所产生的响应。yf(t)：初始状态为零,仅由外加激励产生的响应，只与输入有关。初始状态：uC(t0+)，iL(t0+)第41页，课件共73页，创作于2023年2月一、一阶RC电路的零输入响应零输入响应:

无外施激励,仅由储能元件的初始储能所产生的响应。+-SRUab+–+–实质：RC电路的放电过程。换路前电路已处稳态电容C经电阻R放电t=0时开关第42页，课件共73页，创作于2023年2月+-SRUab+–+–1.电容电压uC的变化规律(t0)(1)构建方程由KVL得：由：一阶线性常系数齐次微分方程齐次微分方程的通解：由初始值确定积分常数A根据换路定律，则，第43页，课件共73页，创作于2023年2月电容电压uC从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。(2)电容电压uC的变化规律2.电流及电阻电压的变化规律电阻电压：电流：电容电压：tO3.、、变化曲线第44页，课件共73页，创作于2023年2月4.时间常数令:单位:S时间常数

决定电路瞬态过程变化的快慢.(1)物理意义当

时时间常数等于电压衰减到初始值U0

的所需的时间。第45页，课件共73页，创作于2023年2月0.368UUt0uc越大，曲线变化越慢，达到稳态所需要的时间越长。第46页，课件共73页，创作于2023年2月(2)瞬态持续时间理论上认为、电路达稳态工程上认为~、电容放电基本结束。当t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减第47页，课件共73页，创作于2023年2月二、RC电路的零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程uC(0-)=0sRU+_C+_iuC分析：t=0时，合上开关S。1.uC的变化规律(1)构建方程由KVL得：由VCR得：一阶线性常系数非齐次微分方程第48页，课件共73页，创作于2023年2月微分方程的通解为:确定积分常数A根据换路定律在t=0+时，则：(3)电容电压uC的变化规律瞬态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-U+U仅存在于瞬态过程中

63.2%U-36.8%Uto第49页，课件共73页，创作于2023年2月2.电流

iC的变化规律t

U3.时间常数的物理意义当t=

时表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。第50页，课件共73页，创作于2023年2月三、RC电路的全响应全响应:

既有外加激励、储能元件又有初始储能作用产生的响应。uC(0_)=U0sRU+_C+_iuC根据叠加定理全响应=零输入响应+零状态响应第51页，课件共73页，创作于2023年2月结论1：全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应零状态响应全响应稳态分量瞬态分量稳态值初始值结论2：全响应=稳态分量+瞬态分量第52页，课件共73页，创作于2023年2月3.5一阶电路的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。uC(0-)=UosRU+_C+_iuc稳态解初始值据经典法推导结果全响应第53页，课件共73页，创作于2023年2月一阶电路的三要素法在直流激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值--（三要素）

稳态值--时间常数

--利用求三要素的方法求解瞬态过程，称为三要素法。第54页，课件共73页，创作于2023年2月1、τ>0的情况：y(t)t0y(∞)y(0+)y(0+)>y(∞)y(0+)y(0+)<y(∞)强迫响应(稳态响应)固有响应(暂态响应)稳态值第55页，课件共73页，创作于2023年2月y(0+)y(0+)<y(-∞)2、τ<0的情况：虚平衡值y(t)t0y(-∞)y(0+)>y(-∞)y(0+)此时电路是不稳定的，不存在稳态响应。第56页，课件共73页，创作于2023年2月一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和

的基础上,可直接写出电路的响应。响应中“三要素”的确定(1)初始值的计算(2)稳态值的计算(3)时间常数

的计算对于一阶RC电路R0:换路后的电路，将独立源置零后，从储能元件两端看进去的无源二端网络的等效电阻（戴维南等效电阻）。若初始时刻t=t0,则三要素公式为第57页，课件共73页，创作于2023年2月例1：电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压

和电流、。S9mA6k

2F3k

t=0+-CR第58页，课件共73页，创作于2023年2月解：用三要素法求解(1)确定初始值由t=0-电路可求得由换路定律t=0_等效电路9mA+-6k

RS9mA6k

2F3k

t=0+-CR第59页，课件共73页，创作于2023年2月(2)确定稳态值由换路后电路求稳态值

t

∞电路9mA+-6k

R3k

(3)由换路后电路求时间常数

第60页，课件共73页，创作于2023年2月三要素代入三要素公式：18V54VuC变化曲线tOuC的变化曲线如图第61页，课件共73页，创作于2023年2月用三要素法求S9mA6k

2F3k

t=0+-CR3k

6k

+-54V9mAt=0+等效电路54V18V2k

t=0+++--第62页，课件共73页，创作于2023年2月例3电路如图(a),t=0时开关S闭合，已知uC(0+)=-2V.受控源的控制系数为g.(1)若g=0.5S,求uC；(2)若g=2S,求uC.解：(a)原电路+uC-Is1A

1

2+u1-R1gu1S1/6FCR2+u-(b)求戴维南等效电路Is1A

1

2+u1-R1gu1R2i得Requoc+_(c)戴维南等效电路+uC-1/6FC+u-i第63页，课件共73页，创作于2023年2月(1)当g=0.5S时，Requoc+_(c)戴维南等效电路+uC-1/6FC+u-i得(2)当g=2S时，得-2uC/Vt/s040.405(1)g=0.5S-2uC/Vt/s040.255(2)g=2S第64页，课件共73页，创作于2023年2月本节重点：直流激励下一阶动态电路的响应：三要素公式三要素的计算利用三要素公式分别求解零输入响应和零状态响应第65页，课件共73页，创作于2023年2月K(t-t0)t0t0K一、单位阶跃函数t01延时阶跃函数

(t-t0)0t<01t>0=0t<t01t>t0=(t-t0)t0t01在t=t0时发生阶跃K(t-t0)0t<t0Kt>t0=在t=t0时发生阶跃一般的阶跃函数3.6阶跃函数和阶跃响应第66页，课件共73页，创作于2023年2月用途：（2）截取信号t0t0t0（1）单边信号N

N

f(t)St=0t0t1t2第67页，课件共73页，创作于2023年2月（3）表示阶梯信号tf(t)0K3K2K1t1t2tf(t)0K3K2K1t1t2tf(t)012312-1-2t01第68页，课件共73页，创作于2023年2月二、阶跃响应（