第三章 数字滤波器的基本结构

第三章数字滤波器的基本结构1第1页，课件共53页，创作于2023年2月§3-1数字滤波器结构的表示方法一、数字滤波器的概念数字滤波器：当输入、输出是离散信号,滤波器的冲激响应是单位抽样响应时，这样的滤波器称作数字滤波器。对其进行傅氏变换得:2第2页，课件共53页，创作于2023年2月

如下图示：πωcω0πωcπωω00为矩形窗时的情形图3-1数字滤波器频响示意图3第3页，课件共53页，创作于2023年2月数字滤波器的实现方法：

a.利用通用计算机编程，即软件实现；b.数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。二、数字滤波器的系统函数与差分方程

1、系统函数一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函数形式：4第4页，课件共53页，创作于2023年2月该式为IIR滤波器形式，若都为0时就是一个FIR滤波器。2、差分方程对于该系统，也可用差分方程来表示：H(z)X(z)Y(z)5第5页，课件共53页，创作于2023年2月描述常系数差分方程的三种基本运算：加法、单位延迟、乘常数。三、数字滤波器结构的表示法1、方框图法

单位延时:(n)

z-1乘常数:a相加:6第6页，课件共53页，创作于2023年2月例如：x(n)b0y(n)图3-2一阶数字滤波器的结构方框图7第7页，课件共53页，创作于2023年2月2、信号流图法

信号流图是由连接节点的有向支路构成的一种网络，和每个节点相联系的是一个变量或节点值。箭头的方向代表信号流动的方向。包括三种基本的运算：单位延时：乘常数：相加：8第8页，课件共53页，创作于2023年2月例如：1235467a1y(n-1)图5-3数字滤波器的信号流图表示9第9页，课件共53页，创作于2023年2月§3-2IIR数字滤波器的结构一、IIR滤波器的特点1、单位冲激响应是无限长的。2、系统函数在有限Z平面（）上有极点存在。3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。

10第10页，课件共53页，创作于2023年2月二、基本结构1、直接I型直接由IIR滤波器的差分方程所得的网络结构。由IIR数字滤波器的时域方程其系统函数为11第11页，课件共53页，创作于2023年2月式中，

，可知，实现了系统的零点；实现了系统的极点。其结构图如3-4示。12第12页，课件共53页，创作于2023年2月特点：第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:直接I型图3-4IIR数字滤波器的直接I型结构13第13页，课件共53页，创作于2023年2月第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:2、直接II型（正准型）对于直接I型：即交换子系统和顺序可得直接II型结构，如图3-5示。14第14页，课件共53页，创作于2023年2月

将图(a)中间两部分的延迟单元合并得到图(b)。图3-5IIR数字滤波器的直接II型结构图（a）图（b）直接II型15第15页，课件共53页，创作于2023年2月图(a)中对上两式进行Z变换16第16页，课件共53页，创作于2023年2月因此它和直接II型具有相同的系统函数。II型所用延迟单元减少M个，可节省存储器。17第17页，课件共53页，创作于2023年2月共同的缺点：系数ak、bk对滤波器性能的控制不直接，对极、零点的控制难，一个ak、bk的改变会影系统的零点或极点分布。对字长变化敏感（对ak、bk的准确度要求严格）。不稳定，阶数高时，上述影响更大。

18第18页，课件共53页，创作于2023年2月3、级联型（串联）先将一个N阶系统函数的分子、分母都表达为因子形式：19第19页，课件共53页，创作于2023年2月其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，dk

，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2

再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，则得20第20页，课件共53页，创作于2023年2月进一步完全分解成实系数的二阶因子：

用若干一阶、二阶子网络级联构成级联结构滤波器，二阶子网络称为二阶基本节（可用直接II型实现）。其中，L表示二阶节数(若M=N)。N为偶数时，L=N/2；N为奇数时L=21第21页，课件共53页，创作于2023年2月当（M=N=2）时

……AB图3-6级联结构滤波器22第22页，课件共53页，创作于2023年2月它表示一个基本二阶节，有AB当（M=N=4）时图3-7级联结构的二阶基本节23第23页，课件共53页，创作于2023年2月该式表示两个二阶节级联。当（M=N=6）时，则有三个二阶节级联，即AZ-1图3-8六阶IIR滤波器的级联结构24第24页，课件共53页，创作于2023年2月特点：简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统；极、零点可单独控制、调整。各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差；可流水线操作，所用的存储器的个数最少。缺点：

二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。25第25页，课件共53页，创作于2023年2月将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器：4、并联型共轭；当M<N时，不包含项；M=N时，其中，均为实数，和复该项为G0，则表示为26第26页，课件共53页，创作于2023年2月上式表明，可用个一阶网络、个二阶网络以及一个常数并联组成滤波器。图3-9并联结构（M=N）27第27页，课件共53页，创作于2023年2月

当N为奇数时，必定包含一个一阶节，即当M=N时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数二阶多项式，H(Z)可表为28第28页，课件共53页，创作于2023年2月例：M=N=3时，为奇数，故所以29第29页，课件共53页，创作于2023年2月其结构图如下：X(Z)Y(z)图3-10三阶IIR滤波器并联结构30第30页，课件共53页，创作于2023年2月并联型的特点：①系统实现简单；②极点位置可单独调整；③运算速度快（可并行进行）；④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。缺点：不能直接调整零点。31第31页，课件共53页，创作于2023年2月三、转置结构如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入和输出交换，其系统函数仍不改变。（原网络）32第32页，课件共53页，创作于2023年2月转置后的网络33第33页，课件共53页，创作于2023年2月四、几种结构的比较直接I型和直接II型简单直观，但直接II型比直接I型节省延时单元。直接型的主要缺点对滤波器的性能控制不直接，容易出现不稳定或产生较大误差。级联结构

可单独调整个别零极点对来改善滤波器的性能，能有效的减少有限字长效应。并联结构只能独立的调整各极点的位置，不能单独34第34页，课件共53页，创作于2023年2月调整零点的位置，但并联结构的误差比级联结构的运算误差小，运算速度快。例3-5

已知系统的传输函数为画出直接II型，级联型和并联型结构流图。解：将原式写成z-1的有理分式，可得35第35页，课件共53页，创作于2023年2月与滤波器的系统函数标准形式比较可得36第36页，课件共53页，创作于2023年2月则得到级联结构的流图将上式写成级联的形式得37第37页，课件共53页，创作于2023年2月则得到并联结构的流图再将H(z)部分分式分解得38第38页，课件共53页，创作于2023年2月§5-3FIR滤波器的基本结构一、FIR滤波器的特点1、单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。2、3、非递归结构。FIR滤波器的输出响应可由卷积公式求得

处收敛，极点全部在Z=0处。39第39页，课件共53页，创作于2023年2月则对应的传输函数为h(n)为一个N点序列，Z=0处为（N-1）阶极点，，有（N-1）阶零点。40第40页，课件共53页，创作于2023年2月h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)用转置定理可得另一种结构二、基本结构1、横截型（卷积型、直接型）图3-11FIR滤波器的横截型结构41第41页，课件共53页，创作于2023年2月2、级联型（串联型）[N/2]表示取N/2的整数部分，如N=3，[N/2]＝1h(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：图3-12图3-11的转置型结构42第42页，课件共53页，创作于2023年2月N为偶数时，N-1为奇数，这时因为有奇数个根，所以中有一个为零。当N为奇数时的结构如下：43第43页，课件共53页，创作于2023年2月一般情况：特点：每节结构可控制一对零点。所需系数多，乘法次数也多。图3-13FIR滤波器的级联型结构44第44页，课件共53页，创作于2023年2月3、线性相位型FIR滤波器的对称结构

若FIR滤波器的单位脉冲响应满足条件偶对称条件奇对称条件则FIR数字滤波器具有线性相位特性。45第45页，课件共53页，创作于2023年2月线性相位滤波器的流图结构★N为偶数：当满足偶对称条件时，则卷积求和可改写为46第46页，课件共53页，创作于2023年2月其中，“＋”表示偶对称，“－”表示奇对称；n0123456789n0123456789偶数偶对称偶数奇对称47第47页，课件共53页，创作于2023年2月

当满足奇对称条件，卷积求和可改写为由式(a)(b)画出下图示结构图:偶对称时取“+1”奇对称时取“-1”图3-14N为偶数时FIR线性相位滤波器的结构48第48页，课件共53页，创作于2023年2月当满足奇对称条件时，由于则卷积求和可改写为★若N为奇数时，当满足偶对称条件时，则卷积求和可改写为49第49页，课件共53页，创作于2023年2月网络结构如图6-5示。n012345678910n012345678910奇数偶对称奇数奇对称50第50页，课件共53页，创作于2023年2月根据式(c)(d)可画出其流图结构如下图且N为奇数奇对称时，,即支路断开。图3-15N为奇数时FIR线性相位滤波器的结构51第51页，课件共53页，创作于2023年2月特点：线相相位型结构的乘法次数减为（N偶数）（N奇数）(横截型结构乘法次数:N次)