2021年中考21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练（全国通用）

专练21二次函数的图像变换问题

1.已知抛物线y=ax2+bx+3经由A（-3,0）,B（-l,0）两点（如图1）,极点为M.

（1）a、b的值；

（2）设抛物线与y轴的交点为Q（如图1）,直线y=-2x+9与直线OM交于点D.现将抛物线平移，连

结极点在直线OD上.当抛物线的极点平移到D点时;Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间

所夹的曲线MQ'扫过的区域的面积；

（3）设直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D（如图2）.现将抛物线平移，连结极点在直

线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其极点的横坐标h的取值范畴.

2.定义：参加一条抛物线y=ax?+bx+c（a#0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的极点和这两个交点为

极点的三角形称为这条抛物线的“特点轴三角形”.明显，“特点轴三角形''是等腰三角形.

（1）抛物线y=x2-2V3x对应的“特点轴三角形''是；抛物线y=|x2-2对应的“特点轴三

角形”是.（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三

角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.）

(2)若抛物线y=ax?+2ax-3a对应的“特点轴三角形”是直角三角形，要求出a的值.

(3)如图，面积为12次的矩形ABCO的对角线0B在x轴的正半轴上，AC与OB订交于点E,

若4ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“特点轴三角形”，求此抛物线的解析式.

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3.已知抛物线y=x-2mx+m+2m-2,直线lx:y=x+in,直线12：y=x+m+b

(1)当m=0时，若直线12经由此抛物线的极点，求b的值

(2)将此抛物线夹在h与％之间的部分(含交点)图象记为C,若一|<b<0,

①判断此抛物线的极点是否在图象C上，并说明来由；

②图象C上是否存在如许的两点：M(a1,bi)和N(a2，b2),其中a14a2，b】Hb??若存在，求相

应的m和b的取值范畴

4.若抛物线h的极点A在抛物线L上，抛物线12的极点B在抛物线h上(点A与点B不重合)，我

们把如许的两抛物线h,L称为“伴随抛物线“，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。

(1)在图1中，抛物线h：y=-x2+4x-3与L：y=a(x-4)2-3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为

a的值为；

(2)在图2中，已知抛物线b：y=2x2-8x+4,它的“伴随抛物线”为I4,若b与y轴交于点C,点C

关于13的对称轴对称的点为D,诸求出以点D为极点的14的解析式；

(3)若抛物线y=ai(x-m)2+n的随意率性一条“伴随抛物线”的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出ai与a2的

关系式，并说明来由。

5.二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(xi,0)、B(X2,0),且(xi+1)(X2+I)=-8.

(1)求二次函数解析式；

(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C,极点为P,

求^POC的面积.

(3)在⑵的前提下，若自变量x在mMxWm+3时，函数的最小值为-5,则m=.

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6.已知抛物线yx=-x-2x+3与x轴交于点A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)直接写出点A,B.C的坐标；

(2)将抛物线yi经由向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B,B，两点(B'在B的右侧)，

,,

极点D的对应点D',若ZBDB=90°,求B'的坐标和抛物线y2的解析式；

(3)在(2)的前提下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或丫2上是否存在点P,使以

B〔C,Q,P为极点的四边形是平行四边形？参加存在，求出所有吻合前提的点P的坐标；参加不存

在，请说明来由.

7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于(p,0),(q,0),则该抛物线的解析式可以示意为：

y=a(x-p)(x-q)=ax2-a(p+q)x+apq.

(1)若a=l,抛物线与x轴交于(1,0),(5,0),直接写出该抛物线的解析式和极点坐标;

(2)若a=-l,如图(1),A(-1,O),B(3,0),点M(m,0)在线段AB上，抛物线Ci与x轴交于A,

M,极点为C；抛物线C2与x轴交于B,M,极点为D.当A,C,D三点在同一条直线上时，求

m的值；

(3)已知抛物线C3与x轴交于A(-l,0),B(3,0),线段EF的端点E(0,3),F(4,3).若抛物线C3与线段

EF有公共点，联合图象，在图(2)中探讨a的取值范畴.

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8.如图，二次函数y1=a(x-m)2+n、y2=6ax+n(a<0,m>0,n>0)的图像分别为C1、

C2,Ci交y轴于点P,点A在g上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交

点为B.

(1)若P点的坐标为(0,2),CI的极点坐标为(2,4),求a的值；

(2)设直线PA与y轴所夹的角为a.

①当a=45。，且A为好的极点时;求am的值；

②若a=90。，试说明：当a、m、n各自取差别的值时，段的值不变;

(3)若PA=2PB,试判断点A是否为Ci的极点？请说明来由.

9.阅读以下材•料，并解决相应问题:

小明在课外学习时遇到如许一个问题:

定义参加二次函数y=aix2+bix+ci(a"0,ai、bi、ci是常数)与y=a2X?+b2x+C2a2、b2、C2

是常数)满足ai+a2=0,bi=b2,ci+c2=0,则这两个函数互为'‘旋转函数求函数y=2x?-3x+l

的旋转函数，小明是如许摸索的，由函数y=2x2-3x+l可知，ai=2,bi=-3,ci=l,根据ai+a2

=0,bi=b2,ci+c2=0,求出a2,b2,C2就能确定这个函数的旋转函数.

请摸索小明的方式解决下面问题：

(1)写出函数y=x2-4x+3的旋转函数.

(2)已知函数y=2(x-l)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点A、B、

C关于原点的对称点分别为Ai、Bi,CI,试求证：经由点Ai、Bi、G的二次函数与y=2(x-

1)(x+3)互为“旋转函数”.

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10.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y=a(x-|)+g与x轴交于点A(-^,0)和点B.

与y轴交于点C.

（1）求抛物线Fi的表达式;

（2）如图2,将抛物线Fi先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2,若抛物线

Fi与抛物线F2订交于点D,毗邻BD,CD,BC.

①求点D的坐标；

②判断△BCD的形状，并说明来由；

（3）在（2）的前提下，抛物线F2上是否存在点P,使得ABDP为等腰直角三角形，若存在，

求出点P的坐标；若不存在，请说明来由.

11.如图1,抛物线y=-*x+2）2+6与抛物线y1=-x2+?x+t-2订交y轴于点C,抛物线y1

与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2=kx+3交x轴负半轴于点N,交y轴

于点M,且0C=ON.

（1）求抛物线y1的解析式与k的值;

（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D,毗邻AC,在x轴上方的对称轴上找一点E,使以

点A,D,E为极点的三角形与AAOC相似，求出DE的长；

（3）如图2,过抛物线yi上的动点G作GH1x轴于点H,交直线y2=kx+3于点Q,若

点