广东省河源市阳明中学高三数学文联考试题含解析

广东省河源市阳明中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量为单位向量，且，则的值为（

）A.1

B.2

C.

3

D.参考答案：Ａ2.已知，则a，b，c的大小关系为(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据幂函数的单调性性，得到，再根据对数的运算性质，得到，即可得到答案.【详解】由题意，幂函数在上为单调递增函数，所以，又由对数的运算性质，可得，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.

B.

C.5

D.6参考答案：C

x+3y=5xy，，.4.已知直线的一条渐近线，则双曲线的离心率为参考答案：D5.安排A，B，C，D，E，F6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有（

）A.30种 B.40种 C.42种 D.48种参考答案：C【分析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉照顾老人甲的情况和照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的照顾老人甲的同时照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法其中照顾老人甲的情况有：种照顾老人乙的情况有：种照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种符合题意的安排方法有：种本题正确选项：C【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.6.设函数在内有定义,对于给定的实数,定义函数，设函数=,若对任意的恒有,则A.的最大值为

B.的最小值为

C.的最大值为

D.的最小值为参考答案：A略7.已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么（A）成等差数列（B）成等比数列（C）成等差数列（D）成等比数列参考答案：A略8.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.9.已知函数在上可导，其导函数为，若满足，，则下列判断一定正确的是A．

B．C．

D．参考答案：B10.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n∈N*），则S6=(

)A．44 B．45 C．（46﹣1） D．（45﹣1）参考答案：B【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由an+1=3Sn（n∈N*），可得Sn+1﹣Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+1=3Sn（n∈N*），∴Sn+1﹣Sn=3Sn，∴Sn+1=4Sn，S1=1，S2=3+1=4．∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为4．∴Sn=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足不等式组，则的最大值是

.参考答案：612.（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为

；参考答案：13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为

参考答案：14.已知,那么展开式中含项的系数为________________.参考答案：13515.观察：；；；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是___.参考答案：答案:

16.在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．参考答案：

【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解答】解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b?=3??c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．17.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点为直线上一点，点为曲线为参数）上一点，则的最小值为

.参考答案：

【知识点】参数方程化成普通方程．N3解析：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|===≥=．当且仅当t=2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．【思路点拨】把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．略19.(本小题满分12分)某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：小微企业短缺资金额(万元)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频率0.050.10.350.30.2(1)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；(2)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业3家小微企业和B行业的2家小微企业中随机选取3家小微企业，进行跟踪调研．设选取的3家小微企业中A行业的小微企业的个数至少有2家的概率．参考答案：(1)由统计表得，该市小微企业资金缺额的平均值约为＝10×0.05＋30×0.1＋50×0.35＋70×0.3＋90×0.2＝60(万元)．………5分(2)记选取的3家小微企业中A行业的小微企业的个数至少有2家为事件C，记A行业的小微企业选取2家为事件，记A行业的小微企业选取3家为事件，………6分则，

……………8分

，………10分所以P(C)=P()+P()=………12分20.（本题满分14分）某港口水的深度y（米）是时间，下面是某日水深的数据：T（时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象。

（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需下碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）。参考答案：（1）。（2）令，即，∴从2002年开始，该汽车开始获利。（3），即时，，∴此时共获利万元。21.已知函数f(x)=x2－2lnx,h(x)=x2－x+a.（1）求函数f(x)的极值；（2）设函数k(x)=f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）因为令，因为，所以10极小值

所以，无极大值（Ⅱ）所以令得当时，；当时，故在上递减；在上递增所以

即所以实数的取值范围是22.如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P（1）求证：PM2=PA．PC（2）若MN=2，OA=OM，求劣弧的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接ON，则ON⊥PN，由半径相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切线的性质和已知可得∠BOM=∠ONP=90°