2022-2023 学年高一上学期期末《数学》试卷含答案解析

2022-2023学年高一上学期期末数学试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合U={x∣x<5,x∈N*},M={x∣f-5x+4=θ},贝IJC“M=()

A.{2,3}B.{l,5}C.{l,4}D.{2,3,5)

【答案】A

【解析】•・・U={1,2,3,4},M=WA],:.CuM={2,3},故选:A.

2.命题p:YX,eR,x+1ʃI≥0,则()

A.-∏p:3x∈7?,x+1X∣>OB.-ip,3x≡R,x+1%∣<O

C.—>p:3xeR,x+1XI≤0D.—\p:3Λ∈R,x+1%I≥0

【答案】B

【解析】命题为全称命题，则命题的否定:BXGRfx+1X∣<O.

故选：B.

3.下列函数中,最小正周期为左的是（）

A.y=sin尤B.y=tan2xC.y=sinLD.y=cos2x

2

【答案】D

【解析】

A.该函数的最小正周期为此故不符合题意B该函数的最小正周期町,故不符合题意.

C.该函数的最小正周期为4万,故不符合题意.O.该函数的最小正周期为》,故符合题意.

故选:。.

4.若角α顶点在原点，始边在X的正半轴上，终边上一点P的坐标为（Sinf,cosg）,则角α为

()角.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】∙.∙角C顶点在原点，始边在X的正半轴上，终边上一点P的坐标为（Sin^,COSME）,故点P的坐

标即（一等I）,角α为第二象限角.

5.要得到函数y=Cos2x-（的图象,只需将函数y=sin2x的图象（)

A.向左平咋个单位B.向右平移二个单位

12

-1-

C.向左平移二个单位D.向右平移工个单位

66

【答案】A

【解析】丁y=cos（2R-I）=Sin（2工+/）=sin+

.∙.只需将函数y=sin2x的图象向左平移合个单位即可得到函数y=cos（2x-?的图象故选:A.

6.已知〃，bsR+,^a+2h=3ah,贝IJ2〃+b的最小值为（）

A.3B.4C.6D.9

【答案】A

［解析］,.∙a,bsR：且。+2力=3ab,

2IC

.".—I—=3,

ab

:.2a+h=-（2a+⅛）（-+ɪ）=—+—（—+—）≥-+—×2A∕-×—=3（当且仅当α二8时取"="）,

3ab33ba33Nba

即2α+b的最小值为3.

故选：A.

2c

7.已知a,h,C为正实数，满足=log2^,βl=b,J=2-,则a,b,C的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【解析】画出函数），=（；）,y=Iog2X»y=Y,y=χ5的图象，如图所示：由图象可知，c<b<a，故

选：D.

y=X2

y

8.2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是风经过桥面时产生旋涡，形成了卡门涡街现象.设

旋涡的发生频率为了（单位：赫兹），旋涡发生体两侧平均流速为斤（单位：米/秒），漩涡发生体的迎面

-2-

宽度为d（单位：米），表体通径为。（单位：米），旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为加，

根据卡门涡街原理，满足关系式：，'=土卫，其中：t称为斯特罗哈尔数.对于直径为d（即漩涡发生体

m∙d

的迎面宽度）的圆柱m=l-2跌+μ,Sine=6，e∈[0,/.设4=得，当α≤0∙005时，在近似

计算中可规定α=0∙已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0.01米，表体通径为10米，当漩涡发生的频率为

640赫兹时，斯特罗哈尔数s.等于0.16,则旋涡发生体两侧平均流速万约为（）米/秒.

A.20B.40C.60D.80

【答案】B.

【解析】由题意知，"=0.01米，£>=IO米，/=640赫兹，sr=0.16,

因为α=4=0.001<0.005,则sin，=@“0,

DD

因为。∈[0,T,所以，=0,则相≈1.

2

rπ.∣_f∙m∙d640×l×0.0l

sl.0.16

故选B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列各命题中，P是q的充要条件的有（）

A.p:四边形是正方形；/四边形的对角线互相垂直且平分

B.p:两个三角形相似；q:另个三角形三边成比例

C.:xy>0；q∙.X>0,y>0

D.p:X=I是一元二次方程Or2+⅛r+c=o的一个根；q-a+h+c=0（a≠0）

【答案】BD

【解析】菱形也是对角线互相垂直且平分的四边形，孙>0=x>0,y>0或x<0,y<0,故选BD

10.如图是函数y=Asin（<υx+夕）+8（0<9<;T）的部分图象，则下列说法正确的是（）

-3-

A.该函数的周期是16B.该函数在区间(2021,2025)上单调递增

D该函数的解析式是"10Sinex+爸+20

C.该函数图象的一个对称中心为(18,20)

【答案】ACD

【解析】根据函数y=ASin(GX+⑼+B(0<夕<%)的部分图象，可得A=30-20=10,8=20.令

JX红=14-6,求得ω=-.解根据五点法作图可得三x6+=双34

φ`.(p=—函数

2ω8824

2π

π3π

y=IOsin—x÷——+20.故该函数的最小正周期为&=16,故A正确;

848

当即。21,2025),A竺平斗AX)没有单调性，故B错误;

令X=I8,求得/0)=0,可得/(x)图象的一个对称中心为(18,20),故C正确；显然，D正确.

故选：ACD.

IL若α∕∈R,则下列命题正确的是()

A.若a<b<0,贝！jα+-<8+上B.若α>b,则2"R>；

ba

,22

C.若〃/?工0,且。<匕，则D.若a>0,b>0,贝1］上+幺≥α+%

abah

【答案】ABD

【解析】(〃+。］一(人+，］=。一8+^--=—~~")(""1)<o=a+J_<b+l.a+!vb+L故A正确；若

Vb)∖a)ahahbaba

a>h,2a~b>20=1>ɪ,故B正确；取。=一1,h=∖,可知C错误；.若α>0,⅛>0,则

f—+Λj+f^-÷⅛j≥2⅛+2a=>-+^-≥t7+⅛,D正确.

综上，选择ABD.

12.德国著名数学家狄利克雷(DiriChlet,1805〜1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个

“奇怪的函数'‘y=fX「八.其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数/(x)有如下四个

O,X∈CRQ

命题，正确的为()

A.对任意XWR,都有/(τ)+/(x)=()

B.对任意X］∈R,都存在/wQ，f%+%2=fx∖

C若a<0,⅛>1,则有{x∖f(x)>a}={x∖f(x)<b}

D.存在三个点Ax1,/x1，Bx2Jx2，Cx3JX3，使AABC为等腰直角三角形

-4-

【答案】BC

【解析】对于A,当无=O时，/(-0)=/(0)=1,/(-0)+∕(0)=2≠0,所以A错；对于B,分情

,xxe,

况讨论：①XleQ时，x2∈β,xi+x2∈Q有/ι+2=I=/不；②当XleCR。时，¾Q

ɪ,+X2eCκQ,有/%+尤2=O=∕x∣；由①和②知，对任意玉∈R,都存在j^eQ，

f尤1+x2=/x∣，所以B对；

对于C,因为α<0,fX=0或1,所以/(x)>α,从而{尤|/(X)>α}=R；

因为〃>1,/(x)=0或1,所以f(x)<b,从而{x"(x)<b}=R;则有{x"(x)>α}={x"(x)<6},

所以C对；

对于D,假设存在三个点A%,,/x1,Bx1,fX1,Cx3,fxi,使ZVlBC为等腰直角三角

形，不妨设NC=90°,分两类情况，①斜边AB平行X轴或在X轴上，

②斜边AB不平行X轴也不在X轴上，如图所示.

第①种情况：不妨设AB在X轴上，即七eQ，此时，AD=DB=1,x,,x2∈Q=>∕x2=fX1=1,

与假设矛盾；第②种情况：不妨设点在轴上，即,此时，

CXX3ECRQ

x2=x7eCκQ^>fx2=/x3=0,与假设矛盾；由①和②知，D错；故选BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一个面积为2,所对弧长为1,则该扇形的圆心角为弧度.

【答案】-

4

1ɔQ11

【解析】扇形面积公式为S=5>,即r=宁∙=4,所以扇形的圆心角Ial=

14.黑函数/(x)=x"τ(meZ)在定义域内为奇函数且在区间(0,ZO)上单调递减，贝∣J%=

【答案】±1

【解析】：幕函数/(x)=x"'—(meZ)在定义域内为奇函数且在区间(0,+⑹上单调递减，

-5-

.••加-4为奇数,且为负数，则M=±l.故填：±1.

15.已知函数"x)=[4'X>°,若加<〃，∕H=∕(n),则〃-机的取值范围是_______.

x+l,x≤O

【答案】5

_4_

【解析】m<n,/()%)=/(〃)，/(x)=l时，∕π=O,令G=1,x=∖,故〃=1,n-m-∖,

/(工)=0时；/?2=-1,令6=0,x=O,故〃=0,O<n≤l,-l<m≤0,

由G=〃?+1,得〃=(∕n+1)?,则"-m=(∕H+1)2-nι=m2+m+1,

当加=-∙!■时，〃-初取得最小值上，当机=0时.，〃-m的最大值为1.

24

・・・〃-加的取值范围是?工1"I.故答案为Γ：3-,1.

_4JL4

16.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称

之为“赵爽弦图如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形MG”拼成的一个大正方形

ABCDf若直角三角形中A尸=。，BF=b,较小的锐角NE48二即若(α+b)2=i96,正方形A8C。的面积

为100,贝(jcos21=,sin--cos—=.

22

【解析】在Rt尸中，由于7+属=IO0,(α+b)2=i96,由两式得：。=8,b=6.

所以sino=9=3,COSa=3.i⅛cos2a=cos2-sin2a--∙由于0<α<巴，所以0<色<色，

105525224

故Sing<cos-,所以sin®-CoSg=-ʌ/(sin--cos—)2=.

2222V225

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①{l,a}Q{a2-2«+2,6/-1,0},②关于X的不等式l<0r+b≤3的解集为{x∖3<x≤4],③一次函数

y=0r+b的图象过A(T,1),8(2,7)两点，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：已知,求关于X的不等式*2_51+。>0的解集.

-6-

【解析】选①，若l=∕-2α+2,解得α=l,不符合条件，

若l=α-l,解得α=2,则/-2α+2=2符合条件.

将α=22代入不等式整理得(X-2)(2X-l)>0,

解得x>2或x<L故原不等式的解集为：(-∞,3U(2,+8)∙

22

选②：因为不等式l<αr+b≤3的解集为{x∣3<x44},

所以「“+”=1,解得：“=2,b=-5,将n=2代入所要求不等式整理得：(x-2)(2x-l)>0

［4a+b=3

,解得：x>2或x<!所以不等式的解集为(F,3U(2,+∞)

22

a+b=］

选③:：由题意得：［~,解得：a=2,b=3,

［2a+b=l

将a=2代入所要求不等式整理得：(x-2)(2x-l)>0,解得：x>2或

所以不等式的解集为(TO,；)U(2,+∞).

18.已知函数/(X)=；CoS2x+gsinxcosx-；.

(1)求函数F(X)的最值及相应的X的值；

(2)若函数/(x)在［0,α］上单调递增，求"的取值范围.

兀+Ii

【答案】(1)x=kWZ),/(x)nm=ɪ>X=kπ-R(ksz),f(x)min=-^∙(2)［θɪ

6232I6

rAΛ4∙r-`i/八・・”、ɪ1÷cos2x√3.11,∖J3.-1­、1•—冗、

【解析】(1)・/(x)=----------------H-----sinIxzλ——=—(——sιn2x+-cos2x)=—sιn(2x+-),

224422226

当2x+工=2%〃+工时，函数取得最大值，止匕时X=kτ+5(k∈z),/(x)max=-,

6262

当2X+2=2版■-工时，函数取得最小值，此时X=Z乃-£(氏∈Z),f(x)min='∙

6232

(2)因为f(x)=—sin(2x+—),则---F2k冗<λx+—W—卜2kτc(k∈Z),

26262

JTjr

解得：kπ----≤x≤Aτr+—(女∈Z),

36

令人=0,得「工,生］可得AX)在“工,工］单调递增，

3636

若［0,α］上单调递增,则0<但工，

6

所以。的取值范围是(0二.

-7-

19(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，角α,夕的始边均为X轴正半轴，终边分别与圆。交

于A,B两点,若a∈([,π),β=气,且点A的坐标为(一1,m).

4ɜ

(1)若tan20=——,求实数〃7的值；(2)若tanNAoB=——，求sin20的直

34

【解析】(1)由题意可得，tan2σ=2tanɑ所以tanl=-L或2,因为女<i<π,

l-tan2cr3212

所以tana<0,即tana=/，即所以〃?=L

2-122

sin(α-ɪ)J

(2)因为tanNAo8=tan(α一β)=tan(α-―)=----------

“cos(α-ɪ)4

12

Il7isi兀TC11兀UU［、［./兀、3,兀、」

因为一<二---<---，所以sιn(α------)=—，CoS(α-----)=——，

21212125125

所以sin(2α--)=2sin(cr-ɪ)cos(a-ɪ)=--,COS(2α--)=2cos2(6⅛r-ɪ)-∖=-,

612122561225

所以sin2a=sin［(2α—J=sin(2α--)cos—+cos(2α--)sin-=--ɜ.

66666650

20.已知函数/(x)=〃---------为奇函数.

ex÷1

(1)求实数。的值，判断函数Fa)的单调性并用函数单调性的定义证明；

(2)解不等式f(lnx)<0.

【答案】(I)a=l.(2)(0,1)

【解析】(1)因为的解集是R,所以/(x)的定义域是R.又因为/(x)是奇函数，所以/(0)=0.即α=l.经检

ɔ

验知，当I时，—，符合题意.小)=J377,经判断可知〃X)在R上是增函数.

c

证明：任—，且g,则小)—Gd岛一高Ym所以…为增

函数，XlVX2,所以--滤<0,所以f(x∣)-f(X2)<0,即f(x,)<f(x2),所以/(X)在R上是增函数.

(2)由(1)/(X)在R上是增函数，且/(0)=0,因为/(Inx)VO,所以InX<0,所以0<x<l,所以原不

等式的解集为(0,1).

-8-

21.2020年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据表明2019年

10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒),对人类生命形成巨大危害.在中共中央、国务院强有力的组织领导

下,全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎,疫情早在3月底已经得到了非常好的控制(累计病亡人数3869

人)，然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力,新冠肺炎疫情越来越严重.疫情期间造成医用防护

用品短缺,某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元,每生产X万件,需另投入流动成本为W(X)

万元,在年产量不足19万件时,W(x)=2f+χ(万元).在年产量大于或等于I9万件时,W(χ)=26X+&-320

3X

(万元).每件产品售价为25元.通过市场分析,生产的医用防护用品当年能全部售完.

(1)写出年利润L(X)(万元)关于年产量X(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流

动成本)

(2)年产量为多少万件时,某厂家在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

--X2+24X-100,0<X<19

3当生产的医用防护服年产量为万件时,厂家所获利润最

【答案】(I)L(X)=■(2)20

…(400

220-1%+——,x≥19

大,最大利润为180万元.

【解析】(1)因为每件商品售价为25元,则X万件商品销售收入为25x万元,

l^,L(x)=25x-1#+x

依题意得,当0<x<-100=--X2+24X-100,

3

当x≥l9时,L(x)=25x-(26x+%-32O)-IOo=220一

-∣X2+24X-100,0<X<19

所以L(X)=,

22。-卜+?

,x≥19

2

(2)当0<X<19时,L(x)=-∙∣(X-18)2+116,此时,

当X=18时,L(x)取得最大值R8)=116万元,

400I_400丁—

当*19吐L(X)=220-x+---≤--220-2,Jx•--=220-40=18075π,

X

此时,当且仅当X=犯。,即X=20时,L(x)取得最大值118万元,因为116<180,

X

所以当生产的医用防护服年产量为20万件时,厂家所获利润最大,最大利润为180万元.

22.对于函数A(x),ʌ(ɪ),Λ(x)如果存在实数a,b使得∕ι(x)=a∙f1(x)+b∙f2(^x),那么称A(x)为fλ(x),

人(力的生成函数.

⑴设工(%)=lθg4χ,4(X)=IogIX,。=2,6=1,生成函数Il(X).若不等式2h2(x)+3A(x)+r<0⅛X∈[4,16].h

有解,求实数/的取值范围.

-9-

⑵设函数g∣(x)=10的(9*T+1),g2(x)=X-I，是否能够生成一个函数MX)•且同时满足:①/?(x+1)是偶函数;

②秋x)在区间[2,小)上的最小值为2k¾i10-2,若能够求函数MX)