第三节二阶常系数线性微分方程的解法

第三节二阶常系数线性微分方程的解法第1页，课件共33页，创作于2023年2月1二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；第2页，课件共33页，创作于2023年2月2二阶常系数齐次线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理1(2)第3页，课件共33页，创作于2023年2月3二、二阶常系数齐次线性方程的解法代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).

(3)(2)第4页，课件共33页，创作于2023年2月4故它们线性无关,

因此(2)的通解为

(3)情形1

第5页，课件共33页，创作于2023年2月5情形2

需要求另一个特解第6页，课件共33页，创作于2023年2月6情形3

可以证明,是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的通解为

第7页，课件共33页，创作于2023年2月7小结特征根的情况通解的表达式实根实根复根第8页，课件共33页，创作于2023年2月8解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为特征根为第9页，课件共33页，创作于2023年2月9解特征方程为故通解为例3特征根为第10页，课件共33页，创作于2023年2月10对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解

.定理2那么方程(1)的通解为第11页，课件共33页，创作于2023年2月11问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论

f

(x)的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解为定理2第12页，课件共33页，创作于2023年2月12则第13页，课件共33页，创作于2023年2月13情形1

若

r

不是特征根,

即情形2

若

r

是特征方程的单根,即第14页，课件共33页，创作于2023年2月14情形3

若

r

是特征方程的二重根,即第15页，课件共33页，创作于2023年2月15综上讨论设特解为其中第16页，课件共33页，创作于2023年2月16解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得

第17页，课件共33页，创作于2023年2月17解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解为例5得第18页，课件共33页，创作于2023年2月18解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得第19页，课件共33页，创作于2023年2月19解对应齐次方程通解特征方程特征根例6注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。第20页，课件共33页，创作于2023年2月20解例7对应齐次方程通解特征方程特征根第21页，课件共33页，创作于2023年2月21此时原方程的通解为

第22页，课件共33页，创作于2023年2月22可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:第23页，课件共33页，创作于2023年2月23解例8所求通解为

对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

第24页，课件共33页，创作于2023年2月24解例9所求通解为

对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

第25页，课件共33页，创作于2023年2月25定理3(非齐次线性方程的叠加原理)

和的特解,的一个特解,第26页，课件共33页，创作于2023年2月26例10解代入得第27页，课件共33页，创作于2023年2月27解代入得原方程通解为例10第28页，课件共33页，创作于2023年2月28解例11是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,

故(B)也不对；

二阶非齐次线性微分方程

第29页，课件共33页，创作于2023年2月29第30页，课件共33页，创作于2023年2月30解例12求导，原方程改写为再求导，第31