带缝的长直圆柱面电容传感器电容的讨论

带缝的长直圆柱面电容传感器电容的讨论

“基于开口的长直柱表面容量传感器体积的讨论”涉及两个电子表格的计算方法，但结果不同。在文献中，它被分析为一个容量计算方法。能用其他导入波的计算方法吗？通过不同的计算方法计算同一容量，可以得到相同的结果。在这方面，本文将对此进行具体描述。1介质电极解析一般地说,可以认为两个任意形状的导体构成一个电容器.当一个导体上的电量为+q,另一个导体上的电量为-q时,此电容器的电容为C=q?(U1-U2)(1)式中的U1-U2为两导体间的电势差,而q为两导体上电量的绝对值.当然,两导体上的电量可以不等,但电容定义式中的电量q应为用导线联接两导体后两者间所交换的电量.上面的假设是为了简化,下面的讨论仍取这种假设.利用电容的定义式可计算几种常见电容器的电容.平行极板电容器的电容为C=εS?d(2)式中的S为极板面积,d为极板间的距离,ε为极板间介质的介电常数.球形电容器的电容为C=4πεR1R2?(R2-R1)(3)式中R1,R2分别为内外同心导体球面的半径,ε为两球面间介质的介电常数;圆柱形电容器的电容为C=2πεl?ln(R2?R1)(4)式中R1,R2分别为内外同轴导体圆柱面的半径,l为导体圆柱面的长度,ε为两圆柱面间介质的介电常数.还有其他电容器的电容,都可以应用电容的定义式来计算.这就是电容的定义计算法.由上述计算式可见,电容器的电容与电量无关,完全由电容器本身性质所决定.因此,如果知道电容器极板的几何形状、尺寸及其间的介质等,就可应用上述计算式直接去计算电容.但是,实际电容器并不只是上述几种,并不一定能直接应用上述公式计算其电容.对于这样的实际电容器,一般可以将其细分为微小电容器,模仿上述电容器,利用上述电容公式,以求和方式来计算电容器的电容,这就是电容的模拟计算法.这种计算方法可以不涉及电量而直接去计算,在实际中有一定的方便之处.设电容器的电容为C,极板上的电荷为q,对应的两极板间的电势差为U1—U2,则电容器所储存的能量为W=12C(U1-U2)2=q22C(5)电场是能量的携带者,以电场的观点可计算电容器所储存的能量为W=12∫VεE2dV(6)对同一状态的同一电容器,两种表示的能量应相等,即12C(U1-U2)2=12∫VεE2dV;q22C=12∫VεE2dV因而得C=1(U1-U2)2∫VεE2dV(7)1C=1q2∫VεE2dV(8)由式(7)、(8)可见,如给定电容器的电势差U1-U2,或者电量q,如知电场的分布,就可通过式(7)或式(8)求电容器的电容.这就是电容的能量计算法.对同一电容器的电容以这三种方法来计算一般说来应是等效的.在使用中,第一种方法应注意电量的值,第二种方法应注意合理的模拟,第三种方法应注意电场能量为q(或U1-U2)所对应的整个电场能量.2计算直柱电阻容量的直柱表面2.1电容器深值电势法求解带缝长直柱面电容器如图1所示,半圆柱面的半径为a,长为l,且l≫a,两狭缝对中心轴的张角均为2δ.为了简单,设筒内充满一种各向同性电介质,介电常数为ε,在此只计算极板内的电容.据文献的约定,分别具有电势U1,U2的长直半圆柱面构成的电容器的电势解,可以看成是一个恒定电势为(U1+U2)2的圆柱面的电势解与电势分别为±U=±(U1-U2)2的两个半圆柱面的电势解的叠加.因l≫a,且δ很小,所以电势、电场分布与轴向无关,可以在垂直于轴的平面内取极坐标(r,θ),其原点在轴上,应用分离变量法求解拉普拉斯方程,可得两半圆柱面间总电势解为φ=U1+U22+2(U1+U2)π∞∑Κ=0(ra)2Κ+1sin(2Κ+1)θ2Κ+1(9)式中的θ为极轴r与过半圆柱面轴的对称平面的夹角.由⇀E=-∇φ‚σ=-ε∇φ|r=a可以计算该电容器导体极板内表面的电荷为q=2(U1-U2)εlπ∞∑Κ=02cos(2Κ+1)δ2Κ+1=ε(U1-U2)πlncot2δ2(10)据电容的定义,带狭缝的长直圆柱面电容器的电容为C=qU1-U2=[ε(U1-U2)l?π]lncot2(δ?2)U1-U2,即C=(2εl?π)lncot(δ2)(11)2.2电容微元的计算这种电容器既不是平行板电容器,也不是圆柱形电容器,但据其对称性,我们可以模拟平行板电容器来计算.如图2所示,设其内只有一种均匀介质,且介电常数为ε.在θ处任取面元dS,与另一半圆柱面上对应的面元dS相距为2asinθ,模拟平行板电容器,其面积微元dS′=dSsinθ,对应的电容微元dC=εdSsinθ2αsinθ=εdS2a.由此可见,电容微元dC与θ无关,即在δ附近和在π2附近,电容微元一样,这与事实不符.如取dC=εdS?(2asinθ),但这相当于取了dS′的最大值,把本来不是平行板而当成了平行板.为了正确模拟,并考虑到δ很小,可取dS′=dSsinθ的平均值:dSav=42π∫δπ2dS′dθ=2π∫δπ2dSsinθdθ=2πdS.所以,取dS=ladθ,dSav所对应的电容微元为dC=εdSav2aSinθ=εdSπaSinθ=εldθπSinθ.于是,积分可得两半圆柱面内表面所具有的电容C=(2εl?π)lncot(δ2)(12)2.3带缝长直圆柱面电容器电极的计算由式(9)可得带缝长直圆柱面电容器的场强分布E⇀=∇φ(13)由式(7)可得其电容C=1(U1-U2)2∫VεE2dV=1(U1-U2)2∫Vε∇φ2dV,而∇2φ=0,所以据格林第一定理得C=1(U1-U2)2ε∮Sφ∇φ⋅dS⇀在此,S为V的边界面.在半圆柱面内表面上,或者φ=U1,或者φ=-U2,并且∇φ与表面垂直,所以即C=(2lε?π)lncot(δ2)(14)由此可见,以上述三种方法计算此电容,结果完全一样,而模拟计算法计算较为简单.如在两半圆柱面内的0≤r≤b区域充满各向同性均匀介质,介电常数为εx,在b≤r≤a