安徽省亳州市涡阳一中高二下学期月月考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年安徽省亳州市涡阳一中高二（下)3月月考数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有1个答案正确）1．有一段“三段论"推理是这样的：对于可导函数f（x),如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x)=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以,x=0是函数f(x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是()A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N＊）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时,该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时,该命题不成立 B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立 D．当n=4时,该命题成立4．若f(x）在R上可导，，则=（）A． B． C． D．5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=,推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2,则=（)A． B． C． D．6．函数y=sinx﹣的图象大致是(）A． B． C． D．7．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+x22等于（)A． B． C． D．9．正整数按下表的规律排列（下表给出的是上起前4行和左起前4列)则上起第2015行,左起第2016列的数应为(）A．20152 B．20162 C．2015+2016 D．2015×201610．设f(x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x)＞0，且f（1）=0,则不等式xf（x）＞0的解集为(）A．(﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1,0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1)∪（1,+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B． C． D．12．关于函数f（x）=+lnx,下列说法错误的是(）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1)=f（x2）,则x1+x2＞4二、填空题(本大题共4题，每题5分,共20分）13．设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）单调递增区间是．14．如图，函数F（x）=f（x)+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′(5）=．15．已知函数f（x）=2ax﹣,x∈（0,1]．若函数f（x)在(0，1］上是增函数，则实数a的取值范围是．16．已知函数f（x）的定义域为［﹣1，5］,部分对应值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）的命题：①函数f（x)是周期函数;②函数f（x）在[0，2］是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6题，第17题10分，其余每题12分,共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证:＜．18．已知函数f（x)=x3﹣3x（1）求函数f（x）的极值;（2）过点P（2,﹣6）作曲线y=f（x)的切线,求此切线的方程．19．设函数f(x）=x2+ex﹣xex(1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2］时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．20．已知数列{an｝满足an+1﹣an=1，a1=1，试比较与的大小并证明．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）若a＞0,试判断f(x）在定义域内的单调性;（Ⅱ）若f（x)在[1，e］上的最小值为，求实数a的值；(Ⅲ）若f（x）＜x2在（1,+∞）上恒成立,求实数a的取值范围．22．设函数f（x)=lnx﹣ax+﹣1（0＜a＜1）（1）求函数f（x)的单调区间；（2）当a=时,设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈［1，2]，∃x2∈[0,1]，使f（x1)≥g(x2）成立，求实数b的取值范围．

2016-2017学年安徽省亳州市涡阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有1个答案正确)1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x)，如果f′（x0)=0,那么x=x0是函数f(x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0,所以,x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中(）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提"错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x）,如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x)的极值点",不难得到结论．【解答】解:∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0,那么x=x0是函数f(x）的极值点”，不是真命题,因为对于可导函数f（x），如果f’(x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x)的极值点，∴大前提错误，故选A．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（)A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】一些正面词语的否定:“是”的否定：“不是”;“能”的否定:“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个"的否定:“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定:“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个"；“任意两个”的否定：“某两个"；“所有的"的否定:“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”;即“三内角都大于60度”．故选B3．某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N*）时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立 B．当n=6时,该命题成立C．当n=4时，该命题不成立 D．当n=4时，该命题成立【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法,由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推,对n＜k的任意正整数均不成立,由此不难得到答案．【解答】解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．故选C4．若f（x）在R上可导，，则=（）A． B． C． D．【考点】67：定积分．【分析】先求导，再求导，求出函数的表达式，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：f′（x）=2x+2f′(）+2cos2x，∴f′（）=2×+2f′()+2cosπ，∴f′（）=2﹣π,∴f（x）=x2+2（2﹣π）x+sin2x，∴f（x)dx=（x2+2（2﹣π）x+sin2x）dx=（x3+（2﹣π)x2﹣cos2x）｜=（+2﹣π﹣cos2）﹣（0+0﹣）=﹣π﹣cos2，故选：C5．在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=(）A． B． C． D．【考点】F3:类比推理．【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a,则AE=，DE=设OA=R,OE=r,则∴R=，r=∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3:1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于故选C6．函数y=sinx﹣的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性,通过函数的导数，判断函数的单调性，利用特殊函数值判断图象即可．【解答】解：函数y=sinx﹣是奇函数，排除D,函数y′=cosx+，x∈（0，)时，y′＞0，函数是增函数，排除A，并且x=时，y=1﹣＞0，排除C,故选：B．7．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】67:定积分．【分析】利用定积分的几何意义计算定积分．【解答】解：y=，即（x+1)2+y2=1，表示以（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆，圆的面积为π,∵，∴表示为圆的面积的二分之一，∴m=0，故选：B8．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A． B． C． D．【考点】63：导数的运算；36：函数解析式的求解及常用方法;7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由图象知f（x）=0的根为0，1，2，求出函数解析式,x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解．【解答】解:由图象知f（x）=0的根为0,1，2，∴d=0．∴f(x）=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的两个根为1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x)=3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2=0的两根,∴．∴．9．正整数按下表的规律排列（下表给出的是上起前4行和左起前4列）则上起第2015行，左起第2016列的数应为（）A．20152 B．20162 C．2015+2016 D．2015×2016【考点】F1：归纳推理．【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，上起第2015行，左起第2016列的数是一个2016乘以2016的正方形的倒数第二行的最后一个数字，进而可得答案【解答】解：这些数字排成的是一个正方形上起第2015行,左起第2016列的数是一个2016乘以2016的正方形的倒数第二行的最后一个数字,所以这个数是2016×=2015×2016．故选：D10．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时,f（x）+xf′（x)＞0，且f(1)=0，则不等式xf（x）＞0的解集为()A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪(0，1) C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．(﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考点】3L：函数奇偶性的性质；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意构造函数g（x)=xf(x)，再由导函数的符号判断出函数g（x)的单调性，由函数f（x)的奇偶性得到函数g（x)的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g(﹣1)=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．【解答】解：设g（x）=xf（x）,则g’（x）=[xf（x）]’=x'f（x)+xf’（x）=xf′(x）+f（x）＞0,∴函数g（x)在区间（0，+∞）上是增函数,∵f（x)是定义在R上的偶函数,∴g（x）=xf（x)是R上的奇函数，∴函数g（x）在区间（﹣∞，0)上是增函数，∵f（1)=0，∴f（﹣1）=0;即g（﹣1）=0,g（1)=0∴xf（x）＞0化为g(x)＞0，设x＞0，故不等式为g（x）＞g(1），即1＜x；设x＜0，故不等式为g（x）＞g（﹣1)，即﹣1＜x＜0．故所求的解集为（﹣1,0）∪(1，+∞)故选A．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B． C． D．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k=y′｜x=x0=2x0﹣．∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．∴P（1，1)，∴d==．故选B．12．关于函数f(x）=+lnx，下列说法错误的是（)A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2）,则x1+x2＞4【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解:f′（x）=,∴(0，2）上，函数单调递减,（2,+∞）上函数单调递增,∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x)﹣x=+lnx﹣x,∴y′=＜0,函数在（0，+∞）上单调递减,x→0，y→+∞,∴函数y=f（x)﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=,则g′(x）=，令h（x）=﹣4+x﹣xlnx,则h′(x)=﹣lnx，∴（0，1)上，函数单调递增，（1，+∞)上函数单调递减，∴h(x)≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x)=在（0，+∞)上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确;对任意两个正实数x1，x2,且x2＞x1，（0，2)上,函数单调递减，（2,+∞）上函数单调递增,若f(x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．二、填空题（本大题共4题,每题5分,共20分)13．设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f(x）单调递增区间是［2，+∞）．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数的定义域,再求导数，令导数大于0,解得x的范围即为函数的单调增区间．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x﹣4lnx的定义域为(0，+∞），f′(x)=2x﹣2﹣=，令f′（x）＞0，∵x＞0,解得，x＞2，∴函数的单调增区间为[2,+∞），故答案为：［2,+∞）．14．如图，函数F（x）=f(x)+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8,则f（5）+f′(5）=﹣5．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程;3T:函数的值．【分析】根据切点在函数F(x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F’（x）,根据F'（5）=﹣1求出f′(5)，从而求出所求．【解答】解:F（5）=f（5)+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．又F′（x）=f′(x)+x，所以F′(5)=f′(5）+×5=﹣1,解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．故答案为：﹣515．已知函数f（x)=2ax﹣，x∈(0，1]．若函数f(x）在（0，1］上是增函数，则实数a的取值范围是a≥﹣1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数，函数f（x）在（0，1]上是增函数，f′（x）=2a+≥0在（0，1]上恒成立，分离参数求最值,即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，∵f(x）=2ax﹣,∴f′（x）=2a+，∵函数f（x)在（0，1]上是增函数，∴f′(x)=2a+≥0在（0,1]上恒成立，∴2a≥﹣在（0，1]上恒成立,∴2a≥﹣2，∴a≥﹣1．故答案为:a≥﹣1．16．已知函数f（x）的定义域为［﹣1，5］，部分对应值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的导函数y=f′(x）的图象如图所示：下列关于f（x)的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x)在［0，2]是减函数；③如果当x∈[﹣1,t］时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是②⑤．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；3Q:函数的周期性；51：函数的零点；6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象,再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．【解答】解:由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图:由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数．②为真命题，因为在[0,2]上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t=5时，也满足x∈［﹣1，t]时，f（x)的最大值是2;④为假命题,当a离1非常接近时，对于第二个图,y=f(x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点．⑤为真命题,动直线y=a与y=f(x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个,故函数y=f(x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．综上得：真命题只有②⑤．故答案为：②⑤三、解答题（本大题共6题，第17题10分,其余每题12分，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证:＜．【考点】R6:不等式的证明．【分析】本题宜用分析法证．欲证要证＜a，平方后寻求使之成立的充分条件即可．【解答】证明：因为a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，要证明原不等式成立，只需证明＜a，即证b2﹣ac＜3a2,即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a﹣b）（2a+b）＞0，即证（a﹣b）（a﹣c）＞0．∵a＞b＞c，∴(a﹣b）•（a﹣c）＞0成立．∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3x（1）求函数f（x）的极值;（2）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数,通过导数为0，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．（2）设出切点，求出斜率，然后求解切线方程．【解答】解:（1）∵f（x)=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）(x+1)…令f'（x）=0，解得x=﹣1或x=1…列表如下x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞)f'(x）+0﹣0+f(x）↗极大值↘极小值↗…当x=﹣1时,有极大值f（﹣1）=2；当x=1时，有极小值f(1）=﹣2…(2）设切点，∴…∴切线方程…∵切线过点P（2，﹣6）∴，∴x°=0或x°=3…所以切线方程为y=﹣3x或y=24x﹣54…19．设函数f（x)=x2+ex﹣xex（1)求f（x）的单调区间;（2）若当x∈［﹣2，2]时，不等式f(x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K:导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】(1）求出导数，讨论x＞0,x＜0，导数的符号，注意运用指数函数的单调性，求出单调区间；（2）当x∈［﹣2,2］时,不等式f（x）＞m恒成立,即为当x∈［﹣2，2］时，f(x）min＞m，由（1）即可求出最小值．【解答】解：(1）∵函数f（x）=x2+ex﹣xex．∴f（x）的定义域为R，f’（x）=x+ex﹣（ex+xex)=x（1﹣ex），当x＜0时,1﹣ex＞0,f'（x)＜0；当x＞0时,1﹣ex＜0,f’（x）＜0∴f（x）在R上为减函数,即f（x）的单调递减区间为（﹣∞,+∞）．（2)当x∈[﹣2,2］时,不等式f（x）＞m恒成立，即为当x∈[﹣2,2］时，f（x）min＞m．由（1）可知，f（x）在［﹣2，2]上单调递减，∴f（x）min=f(2)=2﹣e2,∴m＜2﹣e2时,不等式f(x）＞m恒成立．20．已知数列｛an｝满足an+1﹣an=1，a1=1，试比较与的大小并证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】先求出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明即可【解答】解:an+1﹣an=1，a1=1,∴数列的通项公式为an=n，要证≥只要证1+++…+≥，下面用数学归纳法证明：（1)当n=1时，1+=，结论成立，(2)假设n=k时成立，即1++…+≥,则当n=k+1时，1++…+++…+＞++…+，＞+++…+，＞+=，即当n=k+1时，结论成立,综上(1）(2)可知，对一切正整数，都有1+++…+≥21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ)若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f（x）在[1,e]上的最小值为，求实数a的值;(Ⅲ)若f（x）＜x2在(1,+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求出f（x)的定义域,再求出f′（x）=,从而得出函数的单调区间；（Ⅱ)分别讨论①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值;（Ⅲ)由题意得a＞xlnx﹣x3，令g（x)=xlnx﹣x3，得到h（x)=g′（x）=1+lnx﹣3x2,h′(x）=,得出h（x）在（1，+∞)递减，从而g（x）在（1,+∞)递减,问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f(x）的定义域是(0，+∞），且f′（x)=,∵a＞0,∴f′（x)＞0，故f（x)在(0，+∞）单调递增；(Ⅱ)由（Ⅰ）可得f′（x）=，①若a≥﹣1，则x+a≥0,即f′（x)≥0在［1,e]上恒成立，此时f(x）在［1，e］上递增，∴f（x)min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍）,②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在［1，e］上恒成立，此时f(x）在［1，e］上递减，∴f（x)min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍)，③若﹣e＜a＜﹣1,令f′（x）=0，得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时,f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a)递减,当﹣a＜x＜e时,f′(x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）递增,∴f（x)min=f（﹣a)=ln（﹣a)+1=，∴a=﹣，综上a=﹣；（Ⅲ）∵f(x）＜x2,∴lnx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在(1，+∞）递减,∴h（x）＜h(1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g(x）在（1，+∞)递减,∴g（x）＜g（1）=﹣1