立体几何-棱锥的体积

棱锥的体积、表面积及二面角一个四面体有两组对棱互相垂直，则其第三组对棱也互相垂直，且这时每一个顶点在对面三角形所在平面内的射影，都是该三角形的垂心；反之也成立.特别地:正四面体的三组对棱都互相垂直，且每一个顶点在对面正三角形所在平面内的射彩，都是该正三角形的中心.任意一个四面体PABC都可补成一个平行六面体C'ADB-CAPB':若是以四面体的侧棱作为平行六面体的面对角线，则四面体PABC的体积，等于对应平行六面体CADB-CA'PB'的体积的三分之一；若是以四面体的侧棱作为平行六面体的棱，則四面体PABC的体积，等于对应平行六面体CADB-CA'PB'的体积的六分之一特别地:任意一个正四面体都可补成一个正方体；任意一个三组对棱分别相等的四面体都可补成一个长方体.若四面体PABC满足PA丄PB,PB丄PC,PC丄PA,则该四面体可补成一个长方体CADB-CA'PB'结论1:若三棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射彩是底面三角形的外心(或若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心)。此结论主要针对线面角的问题结论2:若三棱锥的侧面与底面所成的二面角相等，且顶点在底面上的射彩在底面三角形的内部，则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。此结论主要体现利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角的基本方法结论3:若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。此结论主要针对线、面之间的垂直问题练习:1•如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF丄DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体枳是12242.已知MBCA-BCD的体枳是12242.已知MBC中，AB=2,BC=bZABC=120°,平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2,则三棱锥P-ABC的体积是（）TOC\o"1-5"\h\z3.三棱锥P-ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面枳分别是6,4,3,则三棱锥的体积是 （）A.4 B.6 C.8 D.104正四棱锥P-ABCD中，ZAPC=60%则二面角A-PB-C平面角余弦值为(_)1 1 1 1A.— B.—一 C.— D.——7 7 2 2在正三棱柱ABC—AiBiCi中，若AB=V2BBi，则CAi与CiB所成的角的大小是（ ）A.60° B・75° C・90° D・105。6如图，己知正方体曲少一SAGA中，E、尸分别为曲、/A的中点・则平面a/\eG亦与平面％B所成二面角的平面角的正弦值为 （） F（4 ⑻普 （C）T 助 A\,E BIV17•如图，在多面体血BCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、ABCF均为正三角形，EF〃AB,EF=2,则该多面体的体积为（）34

C.4

C.—3D.-28•在四面体ABCD中，设AB=bCD=£,直线AB与CD的距离为2,夹角为孚则四面体ABCD的体积等于

(B)I(P)平(B)I9正三棱柱ABC-A^C］的9条棱长都相等，P是CC］的中点，二面角TOC\o"1-5"\h\zB-AP-Ei=8则sina= ・10•如图，在正三棱柱AEC-ABiC］中，D为棱AA的中点，若截面ABQD是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体枳为 ・第(11)题11•在三棱锥S-ABC中，SA=4,SB>7,SC>9,AB=5,BC<6,AC<8.贝9三棱锥S-ABC体积的最大值为 .12.四面体ABCD中，面ABC与面BCD成60°的二面角，顶点A在面BCD±的射影H是ABCD的垂心，G是AABC的重心，若AH=4,AB=AC,则GH= .13•直三棱柱ABC-ADG，底面AABC是正三角形，P,E分别为BBpCQ±的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PD丄PEo则直线AP,PE的夹角为_在三棱锥T-ABC中，TA.TB.TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D,下列命题：①D—定是△ABC的垂心； ②D—定是△ABC的外心；③AABC是锐角三角形； ④厶=厶+厶+厶：TD-TA"IB'TC-其中正确的是 （写出所有正确的命题的序号）四边形ABCD是正方形，PB丄平面ABCD,MA〃PB,PB二AB二2MA（1） 求证:AC〃平面PMD：（2） 求直线BD与平面PCD所成的角的大小；（3） 求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小在五棱锥P—ABCDE,PA二AB二AE二2aPB二PE二241a,BC二DE二a,ZEAB二ZABC二ZDEA二90°（1） 求证：PA丄平面ABCDE（2） 求二面角A—PD—E的大小（3） 求点C到平面PDE的距离。

答案:1.B2.D3.Ap4■解：如图，在侧面PAB内，作AM丄PB,垂足为M。连结CM、AC,则p斜高为万，故2x^7=AM-2V2,由此得A BZAMC为二面角A-PB-C斜高为万，故2x^7=AM-2V2,由此得A B中，由余弦定理得COSZAMCS：囂;产T5・解答：Co建立空间直角坐标系，以AD所在的直线为*轴・在平面a上垂直于A耳的直线为y轴，BB］所在的直线为z轴。则A（屁,o）,q（芈,£,0）,c（芈,£,1）,CA=（¥，一当，T），GE=（一f，一当，l），CA・C】E=0解：C・延长d、2尸、场交于一点G设棱长为1,可知B,G=V3,CG=・故EG丄EG同理，BOLBG:•乙CBD即为所求二面角的平面角，易求ZCBi/A=60°,其正弦值为百.A8解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1X羽Xsinfx2=3・而四面体ABCD的体积=舟><平行六面体体积=£.故选B.9.解：如图，pc=pc\,pa=pb.B设AE与眄交于点O,则BO2\=OB,OA=OBl,y\B丄餌.因为PA=P^,所以PO丄码，从而眄丄平面PAB.过O在平面PAB上作OE丄AP，垂足为E.连结，则Z^EO为二面角E-AP-鸟的平面角.设AAt=2t则易求得PB=PA=V5，AO=B1O=V2,PO=y/3•在直角APA。中，Aopo=APOE>即JI・、/J=亦・OE,・・・OE=又耳。=VI;又耳。=VI;=Jb。+OE?sin^z=sinZB1sin^z=sinZB1EO=丽一孫一〒10.8巧解：设AC=a,CCi=b,则由(a2+1/4b2)x2=a2+b2,得b2=2a2,又1/2x3/2xa2=6,.*.a2=8,/.V=—x8x4=873411•解：设ZSAB=a，根据余弦定理有<：03&=以十皿土,2xSAxAB2x4x5 5故sina=>/l-cos2a<—, =lxSAxABsinfZ<4x/6.由于棱锥的高不超过它5 2的侧棱长，所以Vsab u实上，取SB=7,BC=6且3CB丄平甬jSAE时，可以验证满足已知条件，此时艰=8衙，棱锥体积可以达到最人.12.答案：-^21・9解：设面AHD交BC于F,则因AB=AC,故G在AF上，且GF=-AF,3ZAFH=60°于是AF=ZAFH=60°于是AF=AH_8

sin6(P妇QGF=「=,在三角形3V3GFH中，由余弦定理得GH=-x/21913解答：因为平面ABC丄平面BCCiD，AD丄BC,所以AD丄平面BCC^,所以AD丄PE,又PE丄PD,PE丄平面APD,所以PE丄PD。即夹角为90°对于①，TA,TB,TC两两垂直可得：直线TA与平面TBC垂直，从而得出：TA丄BC,同理得至IJTB丄AC,TC丄AB；对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心•对于问题③可以通过余弦定理解决.对于④，在直角三角形ATE中，利用平面几何中面枳相等公式及射影定理即可证得；分析：第（2）问运用已知条件中的PB丄平面ABCD,类比结论3中的基本构图，将问题转化到三棱锥P-BCD中就能够顺利的找到问题的突破1丨。第（3）问在延长PM、BA,使PM、BA交于一点G,构成三棱锥M—ADG,由MA丄平面ADG利用三垂线定