吉林省长春市丁家中学高三数学文知识点试题含解析

吉林省长春市丁家中学高三数学文知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是(

) A．2 B．3 C．7 D．8参考答案：B考点：定积分的简单应用；子集与真子集．专题：计算题．分析：先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的个数．解答： 解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有22=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3．故选B．点评：此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基础题．2.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A． B． C．3 D．2参考答案：A设椭圆离心率，双曲线离心率，由焦点三角形面积公式得，即，即，设，由柯西不等式得最大值为.3.在平面上有一系列的点，，…，，…，对于所有正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的⊙与轴相切，且⊙与⊙又彼此外切，若，且．则【

】A．0

B．0.2

C．0.5

D．1参考答案：C略4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝5.等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为()A．7 B．8C．9 D．10参考答案：B略6.下列说法中正确命题的个数是

（

）①命题p:“”的否定形式为：“”；②若，则是的充要条件；③的展开式中第3项的二项式系数为；④设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ=2。A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：B7.若（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（

）

A．

B．-1

C．0

D．1参考答案：A略8.某几何体的直观图如图所示，AB是⊙O的直径，BC垂直⊙O所在的平面，且，Q为⊙O上从A出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧的长为x，CQ的长度为关于x的函数f(x)，则的图像大致为（

）

A．

B．

C.

D．参考答案：A如图所示，设，则弧长，线段，作于当在半圆弧上运动时，，，即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，只有选项适合，又由对称性知选，故选A.

9.已知直线：，：，过（，2）的直线与、分别交于、，若是线段的中点，则等于（

）A．12 B．

C． D．参考答案：B略10.设函数，则使得成立的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：4≤a＜8【考点】分段函数的应用．【专题】计算题．【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜8【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．12.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为

参考答案：1.4略13.已知约束条件若目标函数恰好在点处取到最大值，则的取值范围为

▲

．参考答案：【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】(，+∞)

作出不等式对应的平面区域，

当a=0时，z=x，即x=z，此时不成立．由z=x+ay得y=-x+

要使目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则阴影部分区域在直线y=-x+的下方，即目标函数的斜率k=-，满足k＞kAC，即-＞-3，

∵a＞0，∴a＞，即a的取值范围为(，+∞)，故答案为：(，+∞)．【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．14.把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．（1）当点与原点重合时，=___________；（2）的最大值是_________．参考答案：略15.等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于

.参考答案：答案：416.某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为

．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2﹣b2=c2，和离心率公式，计算即可．解答： 解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，则椭圆的焦距=m，根据离心率公式得，e==故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题．17.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19，……，仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则m的值为

．参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足,，数列{bn}满足.（Ⅰ）求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.【详解】解：（Ⅰ）当时，，故.当时，，则，，数列是首项为，公比为的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，.【点睛】（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法得出（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。19.设函数⑴若时，解不等式；⑵如果对于任意的，，求的取值范围。

参考答案：解：⑴因为函数，所以时不等式即，由绝对值的几何意义易知解为。⑵因为对任意的都有，即需对任意的都有也就是需要与之间距离，所以即可所以的取值范围是。

略20.（12分）设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，）处的切线平行于x轴，求f（x）；（Ⅱ）f（x）存在极大值点x0，且a＜e2（其中e=2.71828…），求证：f（x0）＜0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）令f（1）=，f′（1）=0即可解出a，b，得出f（x）的解析式；（II）根据f（x）有极大值点可得f（x）也有极小值点，利用二次函数的性质列出不等式组得出a，b的范围和关系，求出x0的范围，化简得f（x0）=﹣x02+alnx0﹣a，求出右侧函数在x0的范围内恒小于0即可．【解答】解：（I）f′（x）=x﹣b+，∵曲线f（x）在点（1，）处的切线平行于x轴，∴，即，解得a=﹣2，b=﹣1．∴f（x）=x2+x﹣2lnx．（II）f（x）的定义域为（0，+∞）．令f′（x）=x﹣b+=0得x2﹣bx+a=0，∵f（x）存在极大值点x0，且x→+∞时，f′（x）→+∞，∴f（x）存在极小值点x1，∴x2﹣bx+a=0有两个正实数根x0，x1，∴，∴a＞0，b＞0，b＞2．∵x0是f（x）的极大值点，∴f′（x0）=x0﹣b+=0，即x02﹣bx0+a=0，∴bx0=x02+a．∵x0==，b，∴0＜x0＜，∴f（x0）=x02﹣bx0+alnx0=x02﹣（x02+a）+alnx0=﹣x02+alnx0﹣a，∴f′（x0）=﹣x0+=＞0，∴f（x0）在（0，）上单调递增，∴f（x0）＜f（）=﹣a+aln﹣a=﹣+lna=（lna﹣3）＜0．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性、函数极值的关系，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21.已知函数，（，）．（1）当时，求函数的极小值点；（2）当时，若对一切恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）当时，，则．当时，，所以在上单调递增，故无极值点；当时，由，得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．所以的极小值点为．（2）当时，可化为，即，令，则．当时，对于一切，有，，所以恒成立．下面考虑时的情况．当时，对于一切，有，，所以恒成立，所以在上是增函数，所以，符合题意；当时，，，由零点存在性定理可知，一定存在，使得，且当时，，所以在上单调递减，从而有：时，，不符合题意．综上可知，的取值范围是．22.某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？

利用时间充分利用时间不充分总计走读生50

住宿生10

总计60

100K2=参考列表：

P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表，求出K2，由K2＞3.841，得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），推导出第①组1人，第②组4人，第③组10人，从而X的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）把“学生晚上有效时间达