专题9 曲线系方程

学习数学领悟数学秒杀数学第三篇齐次化与曲线系专题2少林双截棍——曲线系方程独孤九剑是风清扬传给令狐冲的绝门秘籍，不同于其他的招数，独孤九剑是根据对方的套路后发而至的套路，相当于无招胜有招，曲线系就相当于独孤九剑，有着无招胜有招的功效，牢牢抓住两对直线活动的轨迹就是圆锥曲线这一特点，只要是与点与斜率有关的都可以利用这一原理搞定，堪称圆锥曲线的无招胜有招．当然了本节前两讲有点大材小用的味道，或者说这种优势体现不明显(因为题目难度本身不大)后两节圆系和曲线系有着非常优势的体现，本书将利用2020全国一卷2018北京卷2020北京卷等几道真题详细说明这一点，利用平移后曲线系更是曲线系的神来之笔，采用先退后进的方法一举将这些题轻松拿下．第一讲直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．几种常见的直线系方程：（1）过已知点的直线系方程（为参数）．（2）斜率为的直线系方程（是参数）．（3）与已知直线平行的直线系方程（为参数）．（4）与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．（5）过直线与交点的直线系方程为：（为参数）我们先来看看教材中的例题．引例1（必修2，2．1．4两条直线交点的例2）．直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，求直线l的方程．教材的方法为求出两条直线的交点，再求直线．换成下面的变式：引例1变式．直线l经过点，且经过另两条直线，的交点．求直线的方程．不难发现教材方法的问题是计算量偏大．此时，若采用直线系方程，即设所求直线l方程为：，将，代入求出的值为，回代即得直线的方程．这就是利用直线系解题的一种典型做法．【例1】（襄汾月考）过两直线，的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为A． B． C． D．【例2】（长丰期末）已知直线方程与，（1）求两直线的交点；（2）求经过交点，且与直线平行的直线方程．【例3】（重庆月考）（1）求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）求过直线与的交点，且与垂直的直线方程．第二讲圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系．几种常见的圆系方程：（1）同心圆系，、为常数，为参数．（2）过两已知圆．和的交点的圆系方程为若时，变为，则表示过两圆的交点的直线．其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线．（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线与圆相交，则过直线L与圆C交点的圆系方程为．我们先来看一个教材中的问题．引例2（必修2，2．2．3圆与圆的位置关系的习题2．2（2）思考·运用第6题）．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．常规方法依然是求出直线和圆两个交点．则所求圆是以这两个点为直径的圆．此法的症结依然是在求交点上．如果消元后无法十字相乘，那么运算量就会很大．但是我们采用曲线系方程，先设过直线和圆两交点的圆方程为，再配方得到圆心，利用圆心在直线上就可以确定.进而求出圆的方程．这是圆系方程的典型方法．【例4】（吉安期末）垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（）A． B． C． D．【例5】（红塔期末）已知圆的圆心在直线上并且经过圆与圆的交点，则圆的标准方程为．【例6】（金安期末）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为．第三讲圆系具有某种共同属性的圆的集合几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：，,为常数，为参数．（2）过两已知圆:和：的交点的圆系方程为：，若时，变为，则表示过两圆的交点的直线．其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线．（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线与圆相交，则过直线与圆交点的圆系方程为．曲线系：两相交直线与圆锥曲线相交构成的共同属性的集合．两条直线所组成的二次曲线方程：．圆锥曲线上的四点共圆问题：设圆锥曲线方程为，则存在四点共圆的情况必为，由于没有的项，必有．定理：圆锥曲线的内接四边形ABCD出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补．其方程可以写成，此时，方程表示一个圆．证明四点共圆的套路：1．设出曲线系方程，解出；2．根据证明四点一定共圆．【例7】(2014•全国大纲卷)已知抛物线的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且．(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．小结解决此类问题的步骤如下：①找出两条直线，这两条直线上的四个点在某条曲线上．．②找出过这四个点的曲线构造等式．③通过已知条件对比某些项的系数，求出未知数．如上题中四点共圆，则含项的系数为零．【例8】设A，B是双曲线上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线交双曲线于C，D两点．（1）确定实数的取值范围；（2）试判断A，B，C，D四点是否共圆？并说明理由．(2014年高中联赛湖北预赛题)第四讲二次曲线系的综合运用一、首先要了解的是二次曲线的三条线：1、过曲线上一点与曲线相切的直线，称为切线.2、过曲线外一点引两条切线，得到两个切点，这两个切点连成的直线，称为切点弦.3、过曲线内一点任作两条弦，与曲线有四个相异的交点，与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹，这种情况最常见(特别地，当这两条弦重合时，即过该点作一条弦与曲线交于两点时，对应的交点为过这两点的切线的交点，称为虚切线.贯穿本节的一个基本原理是：过两个二次曲线和的交点的二次曲线系，可以记为.实际处理当中，有时候会列出等式(注意三个函数仅有一个前的系数是1)一般来说高考中出现的二次曲线为两对直线(四条直线)与一圆锥曲线组成的体系，通过添加系数，包含三个元素，两对直线各算一个元素，圆锥曲线算另一个元素，（如果遇到切点弦，可以看成两条靠的很近的直线，如果遇到三角形，可以把一个顶点看成两条靠的很近的点，这“两个靠的很近的点”构成的直线可以认为是三角形那个顶点对应的切线）通过添加系数，可以通过其中的任意两个元素来表示第三个元素，从而建立等式，列出方程求解，特别的，有的时候为了方便计算，需要平移坐标系.【例9】（2020•新课标Ⅰ）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）求的方程；（2）证明：直线过定点．本题方法很多，曲线系是计算量较小的一种【例10】(2020•北京)已知椭圆过点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值．本题直接做需要用到非对称韦达定理计算量大，若采用特殊的曲线系，三角形的情况引入切线方程构成曲线系将非常方便.【例11】已知椭圆，点，任作一条斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，AP与椭圆交于点C，BP与椭圆交于点D，求证：．本题若直接运算，计算量很大，采用曲线系特别是平移后的曲线系会很方便通过上面两种方法对比，可以明显看出平移后的明显优势【例12】(2008•全国联赛一试改编)是抛物线上的动点，点B，C在y轴上，圆内切于，求将B，C两点间距离表示为关于t的函数关系式．将其平方变成为二次曲线(可以表示为两条靠得很近的直线，这样子就可以形成一个四边形为了保证次数一致，故将其平方)所以双直线，方程可以表示为．【例13】（沈河期末）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值及直线所经过的定点坐标．上题可以归纳为更一般的形式：归纳：在椭圆中，为上任一点(不与端点重合)，过作一条直线交椭圆于两点，为异于的另一点，分别与椭圆交于另一点，设直线的斜率为，直线斜率为，则(1)过定点,定点坐标为；(2)．【例14】（2018•北京文）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、．（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．【例15】（2021新课标1卷21题）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；EQ\O\ac(（2）)!异常的公式结尾设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．总结一下：第一，都没有使用韦达定理．韦达定理是个经典的不能再经典的工具，固然强大，但联立方程计算易错，两根和，两根积，一般是一摞一摞的分式，在卷面上总是有点那什么呢.第二，利用曲线系方程，实际上把计算难度转移到直线方程系数比较上．但是，比较系数，直观，不易错，原理也不难理解．调整两个多项式恒等，其对应系数必须都相等.第三，设出来的