数学必修5-2-2第2课时等差数列的性质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第2课时等差数列性质第1页第2页1.深入了解等差数列项与序号之间规律．2.了解等差数列性质．3.掌握等差数列性质及其应用.第3页1.对等差数列性质考查是本课热点．2.本课时内容常与解析几何、不等式结合命题．3.多以选择题、解答题形式命题.第4页第5页1．等差数列定义假如一个数列从第

项起，每一项减去它前一项所得差都等于

常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列

，通惯用字母

表示．2．等差中项假如

，那么A叫做a与b等差中项．3．等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d，n∈N*.2同一公差da，A，b成等差数列第6页

等差数列惯用性质性质1通项公式推广：an＝am＋(n，m∈N*)性质2若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an性质3若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…性质4若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差等差数列性质5若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为等差数列(n－m)dmd第7页1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：

∵a1＋a9＝2a5∴a5＝5答案：

A第8页解析：

由题意知a4＋a5＝a2＋a7∴a2＝15－12＝3，故选A.答案：

A第9页3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于________．解析：

设cn＝an＋bn，则数列{cn}为等差数列．c1＝a1＋b1＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100.答案：

100第10页4．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.第11页第12页第13页第14页由题目可获取以下主要信息：①3＋7＝4＋6＝2×5＝2＋8.②a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8.解答本题可用等差数列性质，对于(2)也能够用等差数列通项公式．第15页[解题过程]

(1)因为a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5，所以5a5＝450，所以a5＝90.又因为a2＋a8＝2a5，所以a2＋a8＝180.(2)方法一：因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.第16页第17页[题后感悟]等差数列“子数列”性质若数列{an}是公差为d等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下项仍组成公差为d等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d等差数列；(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．第18页1.已知等差数列{an}中，(1)a2＋a8＋a14＝1，求a3＋a13；(2)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(3)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.第19页第20页第21页(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首末两项积为－8，求这四个数．第22页由题目可获取以下主要信息：①依据三个数和为6，成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；②四个数成递增等差数列，且中间两数和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．解答本题也能够设出等差数列首项与公差，建立基本量方程组求解．第23页[规范作答](1)方法一：设等差数列等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，2分依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，4分故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分第24页方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，2分依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，4分这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分第25页(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，8分依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.10分又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求四个数为－2,0,2,4.12分第26页第27页又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，故所求四个数为－2,0,2,4.12分[题后感悟]利用等差数列定义巧设未知量，从而简化计算．普通地有以下规律：当等差数列{an}项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这么可降低计算量．第28页2.已知成等差数列四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．第29页某企业经销一个数码产品，第1年可赢利200万元．从第2年起，因为市场竞争等方面原因，其利润每年比上一年降低20万元，按照这一规律，假如企业不开发新产品，也不调整经营策略，从第几年起，该企业经销这一产品将会出现亏损？第30页由题设可知第1年赢利200万元，第2年赢利180万元，第3年赢利160万元，…，每年赢利组成等差数列{an}，且当an<0时，该企业将会出现亏损．第31页[解题过程]

设第n年利润为an万元，则a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*，所以每年利润an可组成一个首项为200，公差为－20等差数列{an}，从而an＝220－20n.若an<0，则该企业经销这一产品将会出现亏损，令an＝220－20n<0，解得n>11.又n∈N*，所以n＝12.故从第12年起，该企业经销此产品将会出现亏损．第32页[题后感悟]本例中因为公差小于零，所以该数列是一个递减数列．想一想，假如要求当该产品利润降到50万元以下时就放弃经销此产品，那么该企业应从第几年起放弃经销此产品？(1)在实际问题中，若包括到一组与次序相关数问题，可考虑利用数列方法处理，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法处理．(2)在利用数列方法处理实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．

第33页3.有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场都有销售．甲商场用以下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均降低20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价75%销售．某单位需购置一批这类影碟机，问去哪一家商场购置花费较少？第34页解析：

设某单位需购置影碟机n台，在甲商场购置每台售价不低于440元时，售价与台数n成等差数列，设该数列为{an}，an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18，当购置台数小于18时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于或等于18时，每台售价为440元．到乙商场购置，每台售价为800×75%＝600元，作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，所以，当n＜10时，600n＜(800－20n)n；第35页当n＝10时，600n＝(800－20n)n；当10＜n<18时，(800－20n)n＜600n；当n≥18时，440n＜600n.所以当购置台数少于10台时，到乙商场购置花费较少；当购置10台时，到两商场购置花费相同；当购置多于10台时，到甲商场购置花费较少．第36页1．等差数列通项公式推广由等差数列{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，轻易得到an＝am＋(n－m)d，这能够看作等差数列通项公式推广公式．实际上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d＝a1＋(n－1)d＝an.第37页2．等差数列“子数列”(1)在公差为d等差数列{an}中，能够有规律选择出一些项，使它们组成新等差数列，如数列{a2n}，{a2n＋1}，{an＋an＋1}，{an－an＋1}，{a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…}等都是等差数列，公差分别为2d,2d,2d,0,9d.(2)若{an}、{bn}为等差数列，则{an＋k}、{kan}(k≠0)、{an±bn}仍为等差数列，公差分别为d，kd，d1±d2.第38页第39页◎已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们项